向量组的极大无关组与向量空间.ppt

主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三向量组的秩与矩阵秩的关系,第3.4节向量组的极大线性无关组,一、等价向量组,若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。,即,等价向量组的基本性质:,(2),则向量组必线性相关。,推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组(零向量线性相关)。,简称极大无关组。,那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。,（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示。,（2）向量组A中每一个向量均可有线性表示。,例如：在向量组中，,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,定理：一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩,记作,例如：向量组的,秩为2。,1.向量组的秩,（4）等价的向量组必有相同的秩。,关于向量组的秩的结论：,（1）零向量组的秩为0。,注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。,2.矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。,定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。,例如：矩阵,的行向量组是,因为，由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,问题：矩阵的行秩矩阵的列秩,引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）,（1）对换矩阵A的两行,A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，所以矩阵A的行秩不变。,（2）用非零常数k乘以A的第i行,即A的行秩不变。,（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上,所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。,引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）,则,下面证明A的列向量组的极大无关组,经过初等行变换变为,是矩阵B的列,因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。,线性无关。,向量组的极大无关组。,（2）再证B的列向量组中任一向量,可由向量组,线性表示。,是A的列向量组的极大无关组,使得,所以，B的列秩rA的列秩,综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理：矩阵的行秩矩阵的列秩,证：任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式，,而它的行秩为r，列秩也为r。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,从而，矩阵A的秩矩阵A的行向量组的秩非零行的行数.,求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,解：看行秩,例2：求上三角矩阵的秩,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数,求向量组的秩、极大无关组的步骤:,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。,引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）,解：,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,2.3矩阵秩的性质,(1)等价的矩阵，秩相同。,(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,(4),当AB=0时，有,3.矩阵的秩与行列式的关系,定理:,n阶方阵A，,即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）,A的n个行（列）向量线性无关,A的n个行（列）向量线性相关,主要内容:,一向量空间的概念,二向量空间的基与维数,三向量在基下的坐标,四思考练习题,第3.5节向量空间,一、向量空间的概念,说明:,n维向量的全体，也是一个向量空间。,定义1：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间,集合V对于加法及数乘两种运算封闭指,例1：3维向量的全体是一个向量空间。,例2:判别下列集合是否为向量空间.,解：,所以，是向量空间。,(2)不是向量空间。,是否为向量空间.,（这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间）,一般地，由向量组所生成的向量空间为,例3：设a，b为两个已知的n维向量，判断集合,解：,所以V是一个向量空间。,二、向量空间的基与维数,且满足:,注（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。,（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关