典型曲线曲率半径的物理求法.pdf

难点挑战 不要慨叹生活的痛苦！慨叹是弱者 山东 王光儒 在物理竞赛中， 经常碰到一些涉及典型曲线的曲 率半径的问题， 曲率半径在数学上有严格的意义和 表达式， 在曲线的方程已知的条件下， 还需利用二阶 导数 对于参加物理竞赛的中学生来说， 利用物理方 法求解曲率半径较为简单利用的运动学公式： 可得 （ 其中是质点在曲线上的运动速度， 是在曲线上某点运动时沿法线方向的加速度） 该类题目的基本思路是首先选择在此轨道上的 一种运动， 然后在此运动下给出轨道上观察点的运动 速率和法向加速度， 最后由上式得到观察点的曲率 半径 抛物线的曲率半径 例 将小球以 的初速度从楼顶平抛 出去， 如果小球做曲线运动的法向加速度为 ， 问小球这时下降的高度及所在处轨迹的曲率半 径各为多少？（ 空气阻力不计） 如图所示， ， 当 时， ， 得 图 由几何知识得， 与的夹角 因为， 所以 槡 ， ， 根据 得 椭圆的曲率半径 例 质点运动的椭圆轨道方程为： 图 试利用物理方法求（，） 和（，） 两点处的曲率半径， 如 图 所示 解法 要用物理方法求、 两点的曲率半径， 就要想象一 种质点的运动， 该质点运动的轨道是一椭圆， 由简谐 运动的合成知识， 可把质点的椭圆运动看成个互相 垂直的同频率且相位差为 的简谐运动的合成 设质 点的运动方程为： ， ， 对应的轨道方程就是题中给出的椭圆方程 （，） 的速度是切向速度， 又是质点在方 向振动时的最大速度， 有 ， 此处质点受力沿方向， 即曲线的法向， 大小为： ，由简谐运动知识可得： ， 所以 法向加速度为 由式和， 得到（，） 处曲率半径 同理求得（，） 处切向速度、 法向加速度、 曲率 半径： ， ， 解法 我们还可以把此椭圆轨道方程选择成地 球在太阳引力场中运动的一条轨道， 然后由这个质点 的运动确定其曲率半径 设质量为的太阳位于焦点处， 如图所 示， 质量为的地球绕太阳运动轨道是题中所给的椭 圆 由地球在太阳引力场中运动机械能守恒和角动量 守恒， 可推出地球绕太阳运动的机械能可表示为： 对于点： ， 其中， 所以 （） （槡 ） 对于点： 难点挑战 宿命论是那些缺乏意志力的弱者的借口 ， 其中 槡 ， 所以 槡 利用质点做曲线运动的法向动力学方程 可得到行星椭圆轨道各处的曲率半径表达式 图 如图所示， 椭圆轨 道上任一点处， 行星运 动法向动力学方程为 对于点： ， 将式代入得 对于点： ， ， 将 代入得 这个结果与解法所得结果相同 螺旋线的曲率半径 例 一杂技演员在圆筒形建筑物内壁表演飞 车走壁演员骑摩托车从底部开始运动， 随着速度增 加， 圈子越来越大， 最后进入圆筒形直壁上行驶开始 在直壁上同一高度内做圆周运动， 继而又在直壁上做 等距螺旋运动 已知圆筒直壁的半径为， 摩托车行 驶速率为（ 匀速率运动）当摩托车在圆筒形内壁上 做等距螺旋线运动时， 设螺距为 如图 （） 所示， 试 求螺旋轨道的曲率半径和摩托车的法向加速度 图 摩托车做等距螺旋线运动时， 由于速率不 变， 无切向加速度 将摩托车的速度分解成 水平方向速度水和竖直方向速度竖， 由于摩托车做 等距螺旋运动， 且运动中速率不变， 所以可以知道， 竖 在运动中方向和大小均保持不变； 水在运动中大小不 变， 方向不断变化， 其运动相当于在同一水平面内半 径为的匀速圆周运动则水竖 摩托车的加速度为 （水竖） 水 这里已利用 竖 因此摩托车做螺旋线 运动的法向加速度与水平分速度水做半径为的圆 周运动的加速度相同， 它只有法向加速度， 没有切向 加速度， 即 水 另外， 我们同样可以从摩托车运动的角度求出法 向加速度 尽管螺旋线是一条三维空间的曲线， 但是 在三维曲线上取一小线元， 当线元趋于零时， 可以看 成是趋于同一平面上的小圆弧， 对应的圆弧半径就是 在该处的曲率半径由此可以求出法向加速度因等 距螺旋线的对称性， 各处的曲率半径相同， 设为， 摩 托车做螺旋运动时的法向加速度可以写为 比较得： 水， 利用摩托车在筒壁绕一圈的几何关系， 如图（） ， 得到 水 （ ） 槡 ， 代入的表达式， 得螺旋线曲率半径 ， 摩托车运动的法向加速度为 摆线的曲率半径 例 一个刚性圆轮在直线轨道上做纯滚动， 圆 轮边缘上一点所经历的轨迹称为滚线（ 又称旋轮线、 摆线） 所谓纯滚动就是圆轮与直线轨道的接触点无 相对运动 设圆轮半径为 （ ） 试写出摆线的轨道方程（ 利用滚过的角度 作为参量， 如图所示） （ ） 试求摆线上各点的曲率半径（ 用物理方法） （ ） 如图所示， 设点从直线轨道上 的点开始， 随着圆轮向右滚动，点将在 滚动平面内经历一条轨迹 建立坐标轴 由纯滚动可得圆轮上点滚过角度时，点的 坐标（ ，） 分别为： 非常道 我们唯一不会改正的缺点是软弱 图 （ ） ， （ ） 这就是参数为的滚线轨道方程 （ ） 摆线的形状与圆轮滚动快慢无关但为了用 物理方法给出曲线上各点的曲率半径， 我们选定一种 圆轮滚动的方式， 然后由此运动算出圆轮上点的速 度和法向加速度， 最后求出曲率半径 当然， 正像例题 那样， 求出的曲率半径与选取什么运动是无关的 设圆轮滚动时， 圆心 以不变的速度沿直线 轨道向右运动， 同时圆轮绕圆心 以不变的角速度 转动， 为保证圆轮在直线轨道上做纯滚动， 应有关系 式 设圆轮滚动角，点达图示位置，点 瞬时速度为 ， 其方向必沿摆线在点的切线方向点的加速 度为 （ ） 此处认为是常量， 轮心做匀速运动， 是点相对 的相对速度此式说明， 由于牵连加 速度为零， 绝对加速度等于相对加速度且 因为绕 匀速转动， 所以方向由指向 因 此，点的法向加速度为 （ ） 这里点处曲线的法向为 方向由式和 ， 得 点曲率半径为 （ ） （ ） 这就是各点处曲线的曲率半径 其中几个特殊点的曲率半径： （ ）， （ ） 槡 ， （ ） （ 曲线的最高点） （ 作者单位： 山东省泰安第二中学） 安徽 华兴恒 在各种物理模型、 物理现象、 物理规律中， 普遍存 在着和谐而优美的对称， 在解题的过程中， 如果能够 巧妙而灵活地运用对称性， 常可使一些复杂的问题变 得简单 平衡位置对称 对有关平衡位置对称问题， 应注意相关物理量在 对称位置的大小关系， 并在解题过程中加以利用 图 例 如图所示， 小球自点 静止自 由下 落， 到点时 与弹簧接 触， 到点时弹簧被压缩到最短， 若 不计弹簧的质量与空气阻力， 则小球 在点的加速度 （ 填“” “” 或“” ） 这是一道同学们普遍感到较 为棘手的问题， 因为无法定量分析小球在 点受到的弹力大小 如果我们适当转换一下思维的角 度， 改成让小球无初速地从点释放， 则小球将在 和 间做简谐振动 依据简谐振动的对称性可知， 小 球在点与 点的加速度大小相等（ 两个最大位移 处） ， 等于 那么当小球从处落下时， 小球所能到 达的最低点低于 点， 因此小球在点受到的弹 力大于在 点受到的弹力， 所以小球在点具有的向 上的加