（北京专版）2019年中考数学一轮复习 第五章 空间与图形 5.3 解直角三角形（试卷部分）课件.ppt

5.3解直角三角形,中考数学(北京专用),2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2012北京,19,5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,BAC=90,CED=45,DCE=30,DE=,BE=2.求CD的长和四边形ABCD的面积.,解析过点D作DFAC于点F.在RtDEF中,DFE=90,DEF=45,DE=,DF=EF=1.在RtCFD中,CFD=90,DCF=30,CD=2DF=2.FC=.在RtABE中,BAE=90,AEB=CED=45,BE=2,AB=AE=2.AC=AE+EF+FC=3+.,S四边形ABCD=SACD+SABC=ACDF+ACAB=(3+)1+(3+)2=+.四边形ABCD的面积是+.,2.(2011北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且CBF=CAB.(1)求证:直线BF是O的切线;(2)若AB=5,sinCBF=,求BC和BF的长.,解析(1)证明:连接AE.AB是O的直径,AEB=90.1+2=90.AB=AC,1=CAB.CBF=CAB,1=CBF,CBF+2=90,即ABF=90.AB是O的直径,直线BF是O的切线.(2)过点C作CGAB于点G.,sinCBF=,1=CBF,sin1=.AEB=90,AB=5,BE=ABsin1=.AB=AC,AEB=90,BC=2BE=2.在RtABE中,由勾股定理得AE=2,sin2=,cos2=.在RtCBG中,可求得GC=4,GB=2,AG=3.GCBF,AGCABF,=,BF=.,评析将解直角三角形与圆、相似等知识结合在一起考查是北京市中考命题常采用的形式.,教师专用题组,考点一锐角三角函数,1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3B.C.D.,答案AAC=1,BC=3,C=90,tanA=3.,2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为()A.B.1C.D.,答案B如图,连接BC.在ABD和BCE中,ABDBCE(SAS),AB=BC,ABD=BCE.BCE+CBE=90,ABD+CBE=90,即ABC=90,tanBAC=1,故选B.,3.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在RtABC中,C=90,AB=4,AC=1,则cosB的值为()A.B.C.D.,答案A由勾股定理可得BC=,所以cosB=.故选A.,4.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()A.B.C.D.,答案C在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120m,故这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于=,故选C.,思路分析先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,5.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设POB=,则点P的坐标是()A.(sin,sin)B.(cos,cos)C.(cos,sin)D.(sin,cos),答案C过P作PQOB,交OB于点Q,在RtOPQ中,OP=1,POQ=,sin=,cos=,即PQ=sin,OQ=cos,点P的坐标为(cos,sin).故选C.,6.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos的值是()A.B.C.D.,答案D过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.cos=.故选D.,7.(2015甘肃兰州,4,4分)如图,ABC中,B=90,BC=2AB,则cosA=()A.B.C.D.,答案D设AB=k(k0),则BC=2k,B=90,AC=k,cosA=,故选D.,8.(2015河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上.符合条件的示意图是(),答案D本题考查方向角的简单识别,选D.,9.(2014浙江杭州,3,3分)在直角三角形ABC中,已知C=90,A=40,BC=3,则AC=()A.3sin40B.3sin50C.3tan40D.3tan50,答案DC=90,A=40,B=50,又tanB=,AC=BCtanB=3tan50,故选D.,10.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4cm,则EF的长为cm.,答案(+),解析如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4cm,A=60,AB=8cm,DB=4cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4cm,EM=AD=2cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2cm,MN=EM=2cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm.,一题多解过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2cm,ABD=30,BD=AD=4cm,CBD=45,BC=2cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,11.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是,则的值是.,答案8-,解析过H作HGAC于点G,如图.AF平分EAC,EAF=CAF.DEBF,EAF=AFC,CAF=AFC,CF=CA=2.AM=AF,AMMF=12.DEBF,=,AH=1,SAHC=3SAHM=,2GH=,GH=,在RtAHG中,AG=,GC=AC-AG=2-=,=8-.,解题思路过H作HGAC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可.,12.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin700.94,cos700.34,tan702.75,sin370.60,cos370.80,tan370.75),解析由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80.在RtACD中,cosACD=,0.34,CD27.2,在RtBCD中,tanBCD=,0.75,BD20.4.答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,13.(2018吉林,21,7分)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,制定了如下测量方案,使用的工具是测角仪和皮尺,请帮助组长林平完成方案内容,用含a,b,的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间:2018年4月2日活动地点:学校操场填表人:林平,解析测量步骤:(1)测角仪.(1分)(2)皮尺.(2分)计算过程:由题意可知ADE=,DE=BC=a,BE=CD=b.在RtADE中,AED=90.tanADE=,AE=DEtanADE.(4分)AE=atan.AB=AE+BE=(b+atan)米.(7分)评分说明:计算结果没写单位或不加括号不扣分.,14.(2017黑龙江哈尔滨,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰ABC,且点C在小正方形的顶点上;(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tanEAB=.连接CD,请直接写出线段CD的长.,解析(1)正确画图.(2)正确画图.CD=.,15.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果:sin27+sin2830.122+0.992=0.9945,sin222+sin2680.372+0.932=1.0018,sin229+sin2610.482+0.872=0.9873,sin237+sin2530.602+0.802=1.0000,sin245+sin245=+=1.据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1.(1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.,解析(1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260=+=+=1.所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,ABC中,C=90,设A=,则B=90-.sin2+sin2(90-)=+=1.,16.(2014重庆,20,7分)如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanBAD=,求sinC的值.,解析ADBC,tanBAD=,(1分)tanBAD=,AD=12,=,(2分)BD=9.(3分)CD=BC-BD=14-9=5,(4分)在RtADC中,AC=13,(6分)sinC=.(7分),考点二解直角三角形,1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin360.59,cos360.81,tan360.73)()A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米,答案A作BFAE于F,如图所示,易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,斜面AB的坡度i=12.4,AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5,DE=BF=5米,AF=12米,AE=AF+FE=18米,在RtACE中,CE=AEtan36180.73=13.14米,CD=CE-DE=13.14-58.1米,故选A.,2.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km,从A测得船C在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为()A.4kmB.(2+)kmC.2kmD.(4-)km,答案B如图,在RtABE中,AEB=45,AB=EB=2km,AE=2km,EBC=22.5,ECB=AEB-EBC=22.5,EBC=ECB,EB=EC=2km,AC=AE+EC=(2+2)km.在RtADC中,CAD=45,AD=DC=(2+)km.即点C到l的距离为(2+)km,故选B.,3.(2015四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC成120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为()A.(11-2)米B.(11-2)米C.(11-2)米D.(11-4)米,答案D延长BC、OD交于点E,CDOD,DCB=120,E=30,B=90,OB=22=11米,EB=11米,在RtDCE中,CE=2DC=4米.BC=EB-CE=(11-4)米,故选D.,4.(2015江西南昌,12,3分)图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,已知AB=AC=15cm,BAC=40,则点A到BC的距离为cm(参考数据:sin200.342,cos200.940,sin400.643,cos400.766.结果精确到0.1cm,可用科学计算器).,答案14.1,解析过点A作ADBC于点D,因为AB=AC,BAC=40,所以DAC=BAC=20.在RtADC中,AD=ACcos20150.940=14.1cm.,5.(2014浙江宁波,17,4分)为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45角,那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.(1.4),解析如图,易知BC=2.2cos45=2.21.54米,CE=5sin45=53.5米,则BE=BC+CE=5.04米,EF=2.2sin45=2.23.14米,(56-5.04)3.14+1=50.963.14+116+1=17(个).故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.,答案17,6.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数).参考数据:tan481.11,tan581.60.,解析如图,过点D作DEAB,垂足为E.则AED=BED=90.由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90.可得四边形BCDE为矩形.ED=BC=78,DC=EB.在RtABC中,tanACB=,AB=BCtan58781.60125.在RtAED中,tanADE=,AE=EDtan48.DC=EB=AB-AE=BCtan58-EDtan48781.60-781.1138.,答:甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约为38m.,思路分析过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解直角ABC和直角ADE可求出答案.,7.(2018贵州贵阳,20,10分)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.(1)求证:AEF是等边三角形;(2)若AB=2,求AFD的面积.,解析(1)证明:AE是BC边上的高,AEB=90.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,EAD=AEB=90,AED是直角三角形.F是ED的中点,AF=EF=FD.AE与AF关于AG对称,AE=AF,AE=AF=EF,AEF是等边三角形.(2)由(1)知AEF是等边三角形,EFA=EAF=AEF=60.,又AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称,BAE=GAE=GAF=30,AGEF,设垂足为点N,B=90-BAE=60.在RtABE中,AE=ABsinB=,FD=AE=.在RtAEN中,AN=AEsinAEN=,SAFD=FDAN=.,8.(2018贵州贵阳,18,8分)如图,在RtABC中,以下是小亮探索与之间关系的方法:sinA=,sinB=,c=,c=,=.根据你掌握的三角函数知识,在图的锐角ABC中,探索,之间的关系,并写出探索过程.,解析如图1,过点A作BC边上的高AD,图1在RtABD中,sinB=,在RtACD中,sinC=,AD=csinB,AD=bsinC,csinB=bsinC,=.同理,如图2,过点B作AC边上的高BE,图2,在RtABE中,sinA=,在RtBCE中,sinC=,BE=csinA,BE=asinC,csinA=asinC,=.综上,=.,9.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.30.82,tan84.310.02),解析解法一:由题意知,AEB=FED=45,AEF=90.在RtAEF中,=tanAFE=tan84.3,在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED,ABEFDE,=tan84.3,AB=FDtan84.31.810.02=18.03618(米).答:旗杆AB的高度约为18米.(10分)解法二:作FGAB于点G,由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在RtAFG中,=tanAFG=tan39.3,即=tan39.3,解得AB=18.218(米).答:旗杆AB的高度约为18米.(10分),思路分析思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中对应边的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.,10.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN;(2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tanC的值;(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值.,解析(1)证明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90,MAB=NBC,ABMBCN.(2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N,则PMNAPB.=tanPAC=,设PN=2t,则AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得ABPCBA,AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tanC=.,(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=.,思路分析(1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论;(2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出=,设PN=2t,则AB=t,再判断出ABPCBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;(3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.,11.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:sin580.85,cos580.53,tan581.6)A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米,答案B如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中,=,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2,则有9k2+16k2=4,解得k=,BM=CJ=,DJ=,又BC=MJ=1,EM=MJ+DJ+DE=,在RtAEM中,tanAEM=,tan58=1.6,解得AB13.1(米),故选B.,思路分析延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J,则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中求出CJ、DJ的长,再根据tanAEM=即可解决问题.,方法总结解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找到直角三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计算即可;若图中没有直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.,12.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm.参考数据:sin82.40.991,cos82.40.132,tan82.47.500,sin80.30.983,cos80.30.168,tan80.35.850),解析在RtCAE中,AE=20.7.(3分)在RtDBF中,BF=40.(6分)EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151.四边形CEFH为矩形,CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm.(9分),思路分析根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,13.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;(2)求斜坡CD的长度.,解析(1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60,AC=20米.(2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE.设CD=x米,在RtCDE中,DE=x米,CE=x米,在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF=米,DF=AE=AC+CE,20+x=60-x,解得x=80-120,即CD=(80-120)米.,14.(2018山西,19,8分),祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表:,(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索端点C到AB的距离(参考数据:sin380.6,cos380.8,tan380.8,sin280.5,cos280.9,tan280.5);(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).,解析(1)如图,过点C作CDAB于点D.(1分)设CD=x米,在RtADC中,ADC=90,A=38.tan38=,AD=x.(2分)在RtBDC中,BDC=90,B=28.tan28=,BD=2x.(3分)AD+BD=AB=234,x+2x=234.(5分)解得x=72.(6分)答:斜拉索端点C到AB的距离为72米.(7分)(2)答案不唯一,还需要补充的项目可为测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.(8分),15.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120cm,两扇活页门的宽OC=OB=60cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若OBC=50,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60cm时,求O在此过程中运动的路径长.参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.19,取3.14.,解析(1)如图,过点O作ODAB于点D,在RtOBD中,BD=OBcosOBD=60cos50600.64=38.4(cm).OC=OB,BC=2BD.AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm).(2)如图,AB=120cm,AC=60cm,BC=AB-AC=60cm.,OC=OB=60cm,BC=OC=OB,OBC为等边三角形,OBC=60.点O的运动路径为,点O运动的路径长为=20=62.8(cm).,思路分析(1)过点O作ODAB于点D,先根据OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的性质求得BC,进而求得AC的长;(2)点O运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当点C从点A向右运动60cm后OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.,解题关键解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确理解点O的运动路径.,16.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为30(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin420.67,cos420.74,tan420.90,1.73),解析如图,过点A作AEBD于点E,(1分)由题意得DAE=42,EAB=30,在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30,BE=AB=10=5.(2分)cosEAB=,AE=ABcos30=10=5.(4分)在RtDEA中,DEA=90,DAE=42,tanDAE=,DE=AEtan4250.90=,(5分),CD=BE+ED-BC=5+-6.56.3(m).(6分)答:标语牌CD的长约为6.3m.(7分),思路分析作AEBD于点E,构造直角DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得BE,DE的长,进而可求出CD的长度.,方法总结解直角三角形的应用问题时,一般根据题意抽象地画出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关系、锐角三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,17.(2017天津,22,10分)(本小题10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数).参考数据:sin640.90,cos640.44,tan642.05,取1.414.,解析如图,过点P作PCAB,垂足为C,由题意可知,A=64,B=45,PA=120,在RtAPC中,sinA=,cosA=,PC=PAsinA=120sin64,AC=PAcosA=120cos64.,在RtBPC中,sinB=,tanB=,BP=153(海里),BC=PC=120sin64,BA=BC+AC=120sin64+120cos641200.90+1200.44161(海里).答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.,思路分析在RtAPC中,利用A的三角函数求出PC和AC;在RtPCB中利用B的三角函数求出BC和PB即可解决问题.,解题关键解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准三角形.,18.(2017贵州贵阳,20,8分)贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图所示,消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯将其救出.已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角CAD=60.求第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD的度数.(结果精确到1),解析如图,延长AD,交BC所在的直线于点E,由题意,得BC=17米,AE=15米,CAE=60,AEB=90,在RtACE中,tanCAE=,CE=AEtan60=15(米),在RtABE中,tanBAE=,BAE71.答:第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD的度数约为71.,19.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m,=75,=45,求DE的长.(参考数据:sin750.97,cos750.26,1.41),解析在RtBDF中,由sin=可得,DF=BDsin=600sin45=600=300423(m).(3分)在RtABC中,由cos=可得,BC=ABcos=600cos756000.26=156(m).(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).(8分),20.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin53,cos53,tan53,1.41,解析过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90.(1分)已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里.BD=AD-AB=(x-5)海里.(3分)在RtBDC中,CD=BDtan53,即x=(x-5)tan53,x=20.(6分)BC=20=25海里.B船到达C船处约需时间:2525=1(小时).(7分)在RtADC中,AC=x1.4120=28.2海里,A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时).(8分)而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.(9分),解题技巧本题是解三角形两种典型问题中的一种.以下介绍两种典型问题:,(1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD=,BD=.CD+BD=a,+=a,x=.(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD=,CD=,CD-BD=a,-=a,x=.,21.(2015江苏南京,23,8分)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得CAO=45.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h和36km/h.经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得DBO=58.此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin580.85,cos580.53,tan581.60),解析设B处距离码头Oxkm.在RtCAO中,CAO=45,tanCAO=,CO=AOtanCAO=(450.1+x)tan45=4.5+x.(2分)在RtDBO中,DBO=58,tanDBO=,DO=BOtanDBO=xtan58.(4分)DC=DO-CO,360.1=xtan58-(4.5+x).x=13.5.因此,B处距离码头O大约13.5km.(8分),22.(2015重庆,24,10分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD,其中ABCD.大坝顶上有一錡望台PC,PC正前方有两艘渔船M,N,观察员在錡望台顶端P处观测到渔船M的俯角为31,渔船N的俯角为45.已知MN所在直线与PC所在直线垂直,垂足为E,且PE长为30米.(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度i=10.25.为提高大坝防洪能力,请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固,坝底BA加宽后变为BH,加固后背水坡DH的坡度i=11.75,施工队施工10天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的2倍,结果比原计划提前20天完成加固任务.施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?(参考数据:tan310.60,sin310.52),解析(1)由题意得,E=90,PME=31,PNE=45,PE=30米.在RtPEN中,PE=NE=30(米).(2分)在RtPEM中,tan31=,ME=50(米).(4分)MN=ME-NE=50-30=20(米).答:两渔船M,N之间的距离约为20米.(5分)(2)过点D作DGAB于G,坝高DG=24米.背水坡AD的坡度i=10.25,DGAG=10.25,AG=6(米).加固后背水坡DH的坡度i=11.75,DGGH=11.75,GH=42(米).AH=GH-GA=42-6=36(米).(6分)SADH=AHDG=3624=432(平方米).,需要填筑土石方432100=43200(立方米).(7分)设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米,根据题意,得10+=-20.(9分)解方程,得x=864.经检验,x=864是原方程的根且符合题意.答:施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米.(10分),23.(2014浙江宁波,21,8分)如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,CAB=25,CBA=37.因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.(1)求改直后的公路AB的长;(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米?(sin250.42,cos250.91,sin370.60,tan370.75),解析(1)作CHAB于点H,在RtACH中,(1分)CH=ACsinCAB=ACsin25100.42=4.2(千米),(2分)AH=ACcosCAB=ACcos25100.91=9.1(千米),(3分)在RtBCH中,BH=CHtan374.20.75=5.6(千米),(4分)AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米).(5分)(2)在RtBCH中,BC=CHsin374.20.60=7.0(千米),(6分)AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米).答:改直后比原来缩短了2.3千米.(8分),24.(2014安徽,18,8分)如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30角,长为20km;BC段与AB、CD段都垂直,长为10km;CD段长为30km,求两高速公路间的距离(结果保留根号).,解析如图,过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过点E作l1的垂线与l1、l2分别交于点H、F,则HFl2.由题意知ABBC,BCCD,又AEAB,四边形ABCE为矩形,AE=BC,AB=EC.(2分)DE=DC+CE=DC+AB=50.又AB与l1成30角,EDF=30,EAH=60.在RtDEF中,EF=DEsin30=50=25,(5分)在RtAEH中,EH=AEsin60=10=5,所以HF=EF+HE=25+5.答:两高速公路间的距离为(25+5)km.(8分),考点一锐角三角函数,三年模拟,A组20162018年模拟基础题组,1.(2018北京燕山一模,6)如图,在RtABC中,ACB=90,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,则ACD的正切值是()A.B.C.D.,答案DACB=90,CD是AB边上的中线,AD=CD,ACD=A,tanACD=tanA=.,2.(2017北京西城一模,7)如图,小明在地面上放了一个平面镜,选择合适的位置,刚好在平面镜中看到旗杆的顶部,此时小明与平面镜的水平距离为2m,旗杆底部与平面镜的水平距离为16m.若小明的眼睛与地面的距离为1.5m,则旗杆的高度为(单位:m)()A.B.9C.12D.,答案C如图:由题意得=,=.DE=12m.故选C.,思路分析通过读题,首先要标清边角条件,并借助解直角三角形的相关知识来解题.,解题关键解决本题的关键是要明确平面镜的性质,从而得到反射角等于入射角,进而才能借助解直角三角形或相似的相关知识来解决.,3.(2016北京延庆一模,6)如图,在44的正方形网格中,tan的值等于()A.2B.C.D.,答案A如图,设每个小正方形边长为1,则AB=2,CB=1,tan=2.故选A.,考点二解直角三角形,1.(2018北京海淀二模,6)我国古代有一种通过测量日影长度来确定时间的仪器,称为圭表.下图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱AC的高为a.已知,冬至时北京的正午日光入射角ABC约为26.5,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A.asin26.5B.,C.acos26.5D.,答案BtanABC=,BC=.故选B.,2.(2017北京平谷一模,6)某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,ABC=150,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是()A.4mB.8mC.mD.4m,答案DABC=150,CBE=30.h=BC=8=4m.故选D.,3.(2016北京怀柔二模,8)如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为,AC=7米,则树高BC为()A.7sin米B.7cos米C.7tan米D.(7+)米,答案Ctan=,BC=tanAC=7tan米.故选C.,4.(2018北京平谷二模,14)如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了约米.(参考数据:sin340.56,cos340.83,tan340.67),答案280,解析AC=ABsin345000.56=280米.,5.(2017北京丰台二模,13)某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB的高度.如图,他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30,然后向建筑物AB前进10m到达点D处,又测得点A的仰角为60,那么建筑物AB的高度是m.,答案5,解析ABC=90,DAB=30,CAB=60,CAD=30,AD=CD=10m,AB=ADsin60=10=5m.,6.(2017北京丰台一模,23)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,DEAC于点E,且AE=CE,DE=5,EB=12.(1)求AD的长;(2)若CAB=30,求四边形ABCD的周长.,解析(1)ABC=90,AE=CE,EB=12,EB=AE=CE=12.DEAC,DE=5,在RtADE中,由勾股定理得AD=13.(2)在RtABC中,CAB=30,AC=AE+CE=24,BC=12,AB=ACcos30=12.DEAC,AE=CE,AD=DC=13.四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=38+12.,7.(2016北京延庆一模,24)如图,甲船在港口P的南偏西60方向,距港口86海里的A处,沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P.乙船从港口P出发,沿南偏东