医学高数3(极限的运算).ppt

第四节极限的运算一、无穷小量的运算二、极限运算法则三、两个重要极限,一、无穷小量的运算（一）无穷小定义1-10在自变量的某中变化过程中，若函数y=f(x)的极限为零，则称函数f(x)为该变化过程中的无情小量，简称为无穷小(infinitesimal)。定义1-11如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数（或正数X），使得对于适合不等式0X）的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)则称函数f(x)是当xx0（或x）时的无穷小，记为（或）也可记为f(x)0（xx0）（或f(x)0（x）,例如当n时，是无穷小；当x0时，函数f(x)=x为无穷小；当x时，函数为无穷小。注意：不要把无穷小与很小的数（例如百万分子一）混为一谈。因为无穷小量是在自变量的某个变化过程中函数值趋近于0的函数，一般说来，它是一个变量。数0是可以作为无穷小的唯一的常数，因为它的极限就是它本身。,定理1-1的充要条件是f(x)=A+，其中A为常数,是当xx0时的无穷小。证明充分性：因为，故对于任意给定的正数，存在正数，当0x-x0时，恒有f(x)-A令=f(x)-A，则，即是当xx0时的无穷小，且f(x)=A+必要性：由于f(x)=A+，其中A是常数，是xx0时的无穷小，于是f(x)-A=此时是xx0时的无穷小，则对于任意给定的正数，存在正数，当0x-x0时，恒有成立，即f(x)-AM则称函数f(x)当xx0（或x）时为无穷大(infinity)。,当xx0（或x）时为无穷大的函数f(x)，按极限的定义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，也借用极限符号，记为（或）例如：当时，正切函数tanx的绝对值tanx无限增大。记为如果，则称直线x=x0为曲线y=f(x)的一条铅直渐近线。注意：无穷大不是数，不可与很大的数（如一千万，一亿万）混为一谈。,如果在无穷大定义中，对于x0附近的x（或x相当大的x），对应的函数值f(x)都是正的（或都是负的），则称它为正无穷大（或负无穷大），记为（或）或者（或）定理1-2在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0，那么为无穷大。,例1-13讨论当x1时，函数的变化趋势。解：表1-3可见，也就是说当x1时x-1是无穷小，所以当x1时，是无穷大。直线x=1是双曲线的铅直渐近线。,注意（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆；（2）切勿将认为极限存在；（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。例如当x0时，是一个无界变量，因为当，k时y。但是当，k时y0。故不是无穷大。,定理1-3有限个无穷小的代数和仍是无穷小。证明设与是同一变化过程中的两个无穷小，而=+。因为与是无穷小，对于任意给定的正数，存在正数，当0x-x0时，不等式/2、/2同时成立，于是=+/2+/2=因此也是无穷小。有限个的情形也可以同样证明。定理1-4有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1-1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论1-2有限个无穷小的乘积也是无穷小。,例1-14求解当x0时，,的值在-1与+1之间来回变动，所以当x0时的极限不存在。但，所以是有界函数。因为，即当x0时，是有界函数与无穷小x的乘积，由定理1-4可知，,（三）无穷小的比较表1-4当x充分接近于0时，x2要比x“更”接近于0，而2x则与x接近于0的程度“相仿”，或者说，在x0的过程中x20，比x0“快些”，2x0与x0“快慢相仿”，并且当x0时，,定义1-13设与是当xx0（或x）时的两个无穷小。（1）如果，则称是比高阶的无穷小，记为=o（）；（2）如果，其中C0，1为常数，则称与是同阶的无穷小；（3）如果，则称与是等价无穷小，记为。,例如因为，所以当x0时，x2是比x高阶的无穷小，记为x2=o（x）。因为，所以当x0时，x与2x是同阶无穷小。因为，所以当x0时，sinx与x等价无穷小，记为sinxx。,例1-15证明当x0时，证明所以等价无穷小的性质：若12，12，且存在，则证明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都分别可用其等价无穷小来代替。,例1-16求解当x0时，tan2x2x,sin5x5x，所以例1-17求解当x0时，sinxx，无穷小x3+3x与它本身显然是等价的，所以,二、极限运算法则定理1-5（极限四则运算法则）如果limf(x)=A,limg(x)=B,即函数f(x)与g(x)的极限都存在，则（1）limf(x)g(x)存在，且limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB；（2）limf(x)g(x)存在，且limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB；（3）当B0时，存在，且。,证明（只证xx0的情形）因为limf(x)=A,limg(x)=B，考察“有极限的函数与无穷小的关系定理”，有f(x)=A+，g(x)=B+，其中与是无穷小，于是（1）f(x)g(x)=（A+）（B+）=（AB）+（）由定理1-3及推论1-1，仍是无穷小，所以limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)（2）f(x)g(x)AB=（A+）（B+）AB=A+B+由定理1-3及推论1-1和推论1-2，A+B+仍是无穷小，所以limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x),（3）B-A0，又因为0，B0，于是存在某个时刻，从该时刻起B/2,故（有界），从而由定理1-4，所以,推论1-3如果limf(x)=A，C为常数，则limCf(x)=CA推论1-4如果limf(x)=A，n为正整数，则limf(x)n=An例1-18求解例1-19求解所以,例1-20求（型）解当x3时，分子与分母的极限都是零，故不能直接用商的极限法则。先约去不为零的无穷小因子x-3后再求极限。例1-21求解因为分母的极限，不能用商的极限法则，而分子的极限，可考虑根据无穷小与无穷大的关系定理，,例1-22求(型）解因为当x时，分子与分母都没有极限，因此不能直接应用商的极限法则。先分子、分母同时除以x3，然后再用商的极限法则：例1-23求解先用去除分子与分母，再求极限,例1-24求解注意到本例中的分式是例1-23中分式的倒数，于是应用例1-23的结果及无穷小与无穷大的关系，可得,例1-25下列各题的计算过程是否正确？为什么？（1）解（1）的计算过程是错误的。因为当x2时，及的极限都不存在，因此不能用极限四则运算法则。此外，“”是表示绝对值可以无限增大的趋向性的一个记号，它不是一个数，是没有意义的，不能说等于0。,正确做法如下：,（2）解（2）的计算过程也是错误的。因为无穷小的代数和的极限运算法则只能运用于有限个的情形。而（2）题中当n时，项数也随之无限增多，因此不能分项计算极限。正确做法如下：,三、两个重要极限准则1-1“夹逼定理”如果对于点x0的某一邻域内的一切x（点x0可以除外），有（1）g(x)f(x)h(x)（2）那么存在，且等于A。准则1-2单调有界数列必有极限。,（一）第一个重要极限：表1-5可见当x0时，无限趋近于1，即函数对于一切x0都有定义。,设单位圆中，圆心角AOB=x(0xxn(n=1,2,3,)，故xn是一个单调增加且有界的数列。由准则2，其极限一定存在，用来e表示它，即可以证明，当取实数而趋向+或时，函数的极限都存在且等于e。因此,利用代换，当x时，z0,于是例1-29求解令u=x/2，则x=2u，且当x时,u所以同理可得，,例1-30求解同理可得，例1-31求解,内容小结：1.极限运算法则（1）无穷小运算法则（2）极限四则运算法则2.无穷小的比较,常用等价无穷小:,3.两个重要极限思考与练习一、填