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文档简介

07-08学年数值分析试卷,一、填空（本大题共8小题，每空2分，共20分）,1、设x1=857.900和x2=0.08421都是经过四舍五入得到的近似值，则它们分别具有位和位有效数字。,6,4,2、求解常微分方程初值问题的显式欧拉格式具有阶方法。,1,3、设f(x)=x4，写出以1，0，2，4为节点的三次插值多项式,4、设f(x)=2x3+9，则差商f(1,2,3,4)=,2,5、对于给定的a0，应用牛顿法导出求而不使用开方运算与,除法运算的迭代公式,6、写出求积分的辛普生公式,它具有次代数精度。,3,7、设，则,14,8、写出高斯消去法的回代公式,或者,二、（本大题共12分）,用改进欧拉方法求解下列常微分方程的初值问题：,要求（1）写出计算公式：（2）画出算法框图。,解：1）计算公式为：,预报：,校正：,取步长h0.2,或表示为平均公式：,三、（本大题共12分）,利用变步长的梯形公式计算（误差不超过）,要求：1）写出计算公式；2）画出算法框图。,解：1）计算公式,四、（本大题12分）,已知，要求：,1）以这3个点作为求积节点，推导计算积分,的内插求积公式；,2）指明构造的求积公式所具有的代数精度，并说明原因；,3）用所求公式计算。,解：1）由3个求积节点所构造出的内插求积公式为,其中,即：,于是：,2）由于此公式为三节点的内插求积公式，所以代数精度至少为2.再令,代入上述公式有,令,代入上述公式有,3）,五、讨论题（本大题共10分）,为用迭代法求方程在区间内的一个实根，将方程改写成下列等式形式，并建立相应的迭代公式：,，迭代公式为,，迭代公式为,试分析每种迭代公式的收敛性。,解：1）对于迭代公式,其迭代函数为,故当时，有,此外成立,因此，迭代公式对任意初值,均收敛。,2)对于迭代公式其迭代函数为：,故当时，有,因此，迭代公式在区间内发散。,六、证明题（本大题共6分）,列出函数关于互异节点的拉格朗日插值公式，并证明下列等式成立：,证明：1）由拉格朗日插值公式,2）依拉格朗日插值余项定理，当时幂函数,关于n+1个节点,的插值多项式就是其本身，故上述,特别地，当k=0时，,令时，,七、（本大题共12分）,用Gauss-Seidel迭代法解下列方程组：,要求：1）建立收敛的迭代格式；2）画出算法框图。,解：1）原线性方程组可化为下列严格对角占优方程组：,于是有下列收敛的迭代格式：,八、证明题（本大题共6分）,基于方程求根的迭代原理证明：,证明：首先建立
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