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几何画板在圆锥曲线教学中的应用 1 1 1 1 中文摘要中文摘要中文摘要中文摘要 作者：林燕燕 指导老师：吴跃忠 圆锥曲线是高中教学中的重点内容，由于传统教学方法的局限性，老师难以说清教学 的重难点，学生则更难以理解圆锥曲线的核心内容。随着现代教育技术的发展，几何画板 为圆锥曲线的教学带来了方便，本文将对几何画板在圆锥曲线教学中的应用的研究利 用几何画板对椭圆的定义、性质以及解题教学进行探求，将动态引入圆锥曲线的 教学，以提高数学教学的有效性，展示几何画板在圆锥曲线教学中的无穷魅力，实现了圆 锥曲线教学与几何画板有机结合的目的。 关键词关键词关键词关键词：几何画板，圆锥曲线，定义，性质，解题 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 2 2 2 2 ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT The conic is the teaching key content in the high school. Due to the limitations of traditional teaching methods,it is hard for the teacher to show the important point and the difficult point in the teaching. Along with the modern education technologys development, the GSP has brought conveniently for conics teaching. this article will be talk about the GSPs application in conic teaching .The research will use the GSP to analyse the teaching of the definition, the nature as well as the problem solving. Key WordsKey WordsKey WordsKey Words：GSP,conic, definition, problem solving 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 3 3 3 3 一、前言 多媒体计算机的出现,网络技术的运用,信息时代的来临,引起了整个教育的变革。其 中，中学数学教育亦面临着巨大的变革，现代教育技术, 包括多媒体课件、网络教育等为 数学教学手段的现代化开辟了广阔的应用前景，中学数学教育所应突出体现的基础性、普 及性和发展性借由现代教育技术得到了很好的落实。 几何画板这一个数学教学软件平台近年来越来越受数学课堂的欢迎，为中学生创 设了一个数学实验室，提供了一个理想的做数学的环境。而圆锥曲线相关内容的学习作为 中学数学中的一个重中之重的内容，其图形的复杂性以及解析关系的多变性使得教师的教 与学生的学都不那么容易。倘若单纯停留在粉笔黑板的演示，很难让学生深刻的理解圆锥 曲线这一抽象的内容，几何画板的使用，将抽象的几何图形形象化，为学生学习圆锥 曲线这一抽象的内容搭建了桥梁。 在现实的圆锥曲线教学中，教师使用几何画板辅助教学的例子并不多一则因为硬 件条件所限制，二则因为自身对软件的不熟悉。本次对几何画板在圆锥曲线教学中的应 用的研究，通过几个具体的教学内容与几何画板的有机结合，展示几何画板在圆锥曲线 教学中的无穷魅力，希望能够对几何画板在教学中的进一步普及起到一个抛砖引玉的作 用。 通过查阅文献，不难发现，现代教育技术与中学数学的结合的研究并不鲜见，但多数 站在较为宏观的角度进行论述。具体到几何画板与圆锥曲线这两个关键字，我们发现，研 究者多数着眼于几何画板做圆锥曲线、几何画板做圆锥曲线切线等这一类构造问题，而对 于几何画板在圆锥曲线教学中的应用探讨是相对较少的。 本文试图立足于圆锥曲线椭圆部分的教学，利用几何画板对椭圆的定义、性质以 及解题教学进行探求，将动态引入圆锥曲线的教学，以提高数学教学的有效性。 二、几何画板在圆锥曲线定义教学中的应用 圆锥曲线是平面解析几何中的重点内容，作为圆锥曲线学习的基础，圆锥曲线的定义 不仅反映了圆锥曲线的本质，而且还是圆锥曲线标准方程的推导依据以及解决相关问题的 钥匙。这对圆锥曲线定义的教学提出了不小的要求，从定义的引入到定义的形成、巩固以 及应用，都必须让学生有一个明了的认识，而这认识的建立依赖于清晰完整的建构过程。 （一）几何画板在圆锥曲线第一定义教学中的应用 笔者认为，圆锥曲线定义的形成及对定义的理解为圆锥定义教学中的重难点所在。在 教师给出圆锥曲线的确切定义（此处以及接下来的论述皆以椭圆为例）平面内与两个 定点FF、的距离的和等于常数（大于FF）的点的轨迹叫做椭圆。这短短数十字的 定义要想让学生记下来并不难，但是要做到让学生认可并理解却是需要花一些心思的。 在传统的课堂教学中，教师往往通过画出椭圆的图形，连出相关的线段，让学生结合 椭圆图形领会定义。但是，椭圆轨迹的形成是一个动态的过程，静态的椭圆图形很难将动 态的轨迹形成过程形象的展示在学生面前，有些教师为了解决这一问题，采用了一些实物 教具（如绳子，钉子）进行辅助教学，这种方法在传统课堂中不失为良策。但是，由于空 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 4 4 4 4 间以及视线的局限性，实物展示不能保证每一个学生都清晰地观察到定义的实质。而将几 何画板引入圆锥曲线的课堂教学恰能很好的解决这一个问题。 在几何画板中，运用自定义工具构造椭圆，所构造椭圆的焦点为 F、F。在椭圆 上构造动点 G，运用度量工具度量 G 到 F、G 到 F 的长度，并运用计算工具计算 二者长度之和。如下图所示： 隐藏椭圆的轨迹，保留动点 G，定点 F、F。 如下图所示，在 GF + GF = 6.15厘厘 的情况下，拖动点 G，追踪点 G 的轨迹，让学生观察椭圆动态形成的过程以及在椭圆形成 的过程中，发现 G 点到 F、F的距离的和的不变性。从而，在脑海中形成椭圆上的任意 一点到两定点的距离之和保持不变的概念。 GF + GF = 6.15厘厘 F F G GF + GF = 6.15厘厘 F F G GF + GF = 6.15厘厘 F F G GF + GF = 6.15厘厘 F F G GF + GF = 6.15厘厘 F F G GF + GF = 6.15厘厘 F F G 在学生通过观察上述操作，初步感知了概念的情况下，拖动 B 点，改变椭圆的形状及 F、F 两点间距离，如下图所示： 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 5 5 5 5 GF + GF = 5.93厘厘 GF = 1.93厘厘 GF = 4.00厘厘 F F B G GF + GF = 5.87厘厘 GF = 0.91厘厘 GF = 4.97厘厘 F F B G 拖动 G 点，使 G 点在椭圆上滑动，让学生观察GF、 GF以及GFGF+的变化，体会 对任意椭圆而言，椭圆上的任一点 G 到 F、F的距离的和都是恒定的 ，即不论椭圆的 形状如何，上述定义都是成立的。让学生在这一过程中，体会椭圆定义的普遍性。此时教 师再次给出椭圆的确切定义平面内与两个定点FF、的距离的和等于常数（大于 FF）的点的轨迹叫做椭圆，并指出定义中的两定点FF、叫做椭圆的焦点。 （二）几何画板在圆锥曲线第二定义教学中的应用 除了上述圆锥曲线的一般定义外，圆锥曲线的统一定义也是学生需要掌握的内容。 圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一定点F和到一定直线l（F不在l上）的距离的比 等于常数e的点的轨迹。当0e1时，该轨迹为双曲线； e=0时， 该轨迹为抛物线。其中，e为圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆 锥曲线的准线。在传统的教学方法中,仅是教师把结论告诉给学生, 让学生记忆, 学生不 能看到点的轨迹的动态形成过程, 更不能观察到随常数e 的变化时, 点的轨迹由椭圆到 抛物线,再到双曲线的量变、质变的过程, 对这一概念的形成过程只能靠想象,常常理解不 深刻,记忆不佳,运用不灵活.为了解决对这一概念用传统的教法教师不易讲清,学生不易 理解和接受的问题, 我们试着运用计算机软件几何画板制作圆锥曲线随e 的变化而变化 的课件,希望能够帮助学生更易理解、更好记忆。几何画板的具体制作如下： (1) 作线段AB , 并在其上取一点C , 作线段A C、CB ,计算 | AC| | CB | 的值. (2) 作射线DX ,并在其上取一点E , 作线段DE ,以D 为中心, 以 | AC| | CB | 为标记比放缩 线段DE 得线段DE,显然 | DE| | DE | = | AC| | CB | (3) 以定点F为圆心,线段DE为半径作圆c. (4) 在定直线l 的两旁分别作两直线 1 l 、 2 l,使它们与l 的距离为线段DE 的长,设 1 l 、 2 l 交圆c 分别为 1 M 、 1 M 和 2 M 、 2 M . 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 6 6 6 6 (5) 过点 1 M 、 1 M 和 2 M 、 2 M 作l的垂线段,分别连结 1 M 、 1 M 和 2 M 、 2 M 由上述作图原理知: 1 M 、 1 M 和 2 M 、 2 M 到点F的距离与它们到直线l 的距离之比, 即离心率等于 | AC| | CB | 的值. 追踪点 1 M 、 1 M 和 2 M 、 2 M (为使轨迹醒目,隐藏直线 1 l 、 2 l 和圆c ,并为轨迹着 色红色) . 选中点E 和射线DX , 利用编辑菜单中的操作类按钮的动画命令,即可生成动画 按钮.在AB 上拖动点C ,使离心率e = | AC| | CB | 取某一值,在DX 上轻轻拖动点E 或双击动画按 钮,就可从屏幕上观察到满足条件的点的轨迹形成过程,并且还可看到随离心率e 的变化 动点所形成轨迹的动态变化. 当0 e 1 时, 轨迹是双曲线,且可以看到e 逐渐增大时,双曲线的开口逐渐开阔,如图4 是e = 2107 时点的轨迹. 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 7 7 7 7 另外,若拖动点F 到定直线l 上时,拖动点C ,使离心率e 取不同的值,再双击动画按 钮,可以看到: (1) 当0 e 1 时,点的轨迹是两条与直线l 对称的直线(点F 除外) . 从而,加深了学生对圆锥曲线统一定义严格性的认识. 借助几何画板，教师不论是讲解圆锥曲线的第一定义还是圆锥曲线的统一第二定义， 都不再是纸上谈兵， 只要合理应用几何画板这一软件， 点的轨迹形成过程就跃然于屏幕上， 形象、直观、生动。 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 8 8 8 8 三、几何画板在圆锥曲线几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）教学中的应用 除了定义外，在圆锥曲线的学习中，一些曲线性质比较抽象，也是学生难以理解和接 受的内容，如双曲线的渐进线、圆锥曲线的离心率等，只凭学生的想象是很难理解掌握有 关图像的性质和图像之间的相互关系的，若我们只借助尺规作图的方法画图，很难达到满 意的效果，还容易把图像画错。而几何画板精确的画图功能、动画功能将给我们带来意想 不到的收获，利用几何画板辅助圆锥曲线的几何性质教学，不仅能让学生直观、动态的感 知圆锥曲线的相关性质，还能引起学生的学习兴趣，帮助学生的理解，提高学生对平面图 形的想象思维能力，起到事半功倍的作用。以下将以几何画板在椭圆的几何性质教学中的 应用为例。 在人教版数学选修 2-1 中，所提及的椭圆简单几何性质包括：范围、对称性、顶点、 离心率。接下来，我们将谈谈如何借助几何画板来辅助这些椭圆简单几何性质的教学。 （一）范围 椭圆的范围这一几何性质相对简单、容易理解，在教学的一开始，教师先利用几何画 板构造出椭圆的图像，让学生分小组讨论、观察椭圆曲线的范围，指出椭圆方程中 x、y 的取值范围。在各小组提出自己的意见后，教师利用几何画板在椭圆上构造一动点， 拖动动点在椭圆上滑动，同时追踪该动点在 x 轴、y 轴上的投影。如下图所示： 让学生观察动态的图像，自主验证自己的答案，得出椭圆曲线的范围。为了进一 步 加 深 学 生 对 这 椭 圆 范 围 一 性 质 的 掌 握 ， 教 师 根 据 标 准 方 程 可 得 y=bsqrt(1-(x2)/(a2)，分别绘制这两个函数的图象，得到一个完整的椭圆。在坐 标系中，分别绘制（-a，0） ， （a，0） ， （0，b） ， （0，-b）四点，以及过这些点的椭圆的切 线，构成一个矩形方框，而椭圆恰在此矩形内，由此学生在脑海中迅速建构椭圆位于直线 X=a，y=b 所围成的矩形内。 （二）对称性 在绘制函数 y=bsqrt(1-(x2)/(a2)时，可引导学生发现上、下两条曲线是对称 的，由此让学生自主说出椭圆是关于 X 轴对称的，教师进一步在几何画板验证这一性质， 在椭圆上任取一点 P，利用镜面反射，作关于 X 轴的对称点 P1 正好也在椭圆上，说明椭圆 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 9 9 9 9 关于 X 轴所对称；同样的，教师继续绘制函数 x=bsqrt(1-(y2)/(a2)，再次可引导 学生发现上、下两条曲线是对称的，由此让学生自主说出椭圆是关于 Y 轴对称的，教师进 一步在几何画板验证这一性质，在椭圆上任取一点 P，利用镜面反射，作关于 Y 轴的对称 点 P1 正好也在椭圆上，说明椭圆关于 Y 轴所对称；最后作 P 关于原点的对称点 P2，可得 其对称点 P2 以也在椭圆上，这两点关于原点成中心对称，由于 P 点的任意性 ，得知椭圆 既是轴对称图形(对称轴是 X 轴、Y 轴)，又是中心对称图形，原点是对称中心。除了在点 的角度验证外，教师还可以利用几何画板从整体的角度向学生演示椭圆的对称性，在几何 画板中演示椭圆沿 x 轴 y 轴翻折和围绕原点旋转的动画。如下图所示： （三）顶点 教师对顶点这一性质的阐述可在学生理解了椭圆范围的这一性质的基础上进行，让学 生借助如下图像找出顶点： 让学生通过图像直观理解椭圆顶点这一几何性质。 （四）离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 e=c/a,，叫做椭圆的离心率。(0 的交点的个数情况。 分析：直线 l 是指在 b 的取值不同时的一组平行直线，可以利用几何画板在 y 轴 上任取一点 A，且过点作出斜率为 l 的直线 l，通过拖运点 A，就能得到一组动态的直线， 同时使学生直观的看到直线 l 与椭圆的交点的变化情况，较容易得出结论。能进一步的培 养学生利用数形结合来解决解析几何问题的能力。 观察上图可知，随着 b 的变化，直线 l 与椭圆 22 22 1(0,0) xy ab ab +=的交点有如下情 况：无交点、一个交点、两个交点。 （二）解决由动点引起的圆锥曲线轨迹问题 例 2：设 A、B 分别为双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 =ba b y a x ，的左、右两个顶点，P 为双 曲线上一点，|AB|=|BP|=4，PAB=30. （）求双曲线方程; （）设 M 为（I）中双曲线上任一动点，过 B 点作直线l1，使得l1BM，过 A 点 作直线l2，使得l2AM，l1，l2相交于点 N，求点 N 的轨迹方程. 分析：在进行例 2（）的解题教学时，利用几何画板辅助绘制图形如下： 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 12121212 过 P 作 x 轴的垂线垂足为 E，由题意知PB=4，PAB=30=BPA=BPE 所以，PE=23 ，BE=4 所以，P(4, 23 ) 因为，|AB|=4，所以，a=2 代入)0, 0( 1 2 2 2 2 =ba b y a x 得 22 1(0,0) 44 xy ab= 在上述的解答中，我们借助了几何画板绘制图形辅助解题，使得图形及数量关系清晰 明了。 在进行例 2（）的解题教学时，利用几何画板依据题意绘制图形如下： 教师在讲解题意时，依次根据题意作出线段 BM 及其过 B 点的垂线 1 l ，线段 AM 及其过 A 点的垂线 2 l ,再作出 1 l 、 2 l 的交点 N。教师演示拖动 M，让学生观察 N 点的轨迹变化。不难 发现，当 M 点在双曲线的左半支时，N 点在双曲线右半支运动；当 M 点在双曲线的右半支 时，N 点在双曲线左半支运动；所以 M、N 关于 Y 轴对称。由题意，当 M 在 A、B 两点时， 无法作出两条垂线，故 N 点也不能与 A、B 两点重合，如下图所示： 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 13131313 所以，N 点的轨迹为双曲线 22 1(0,0) 44 xy ab=挖去 A、B 两点。 例 3： 如果过定点T的直线l与椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 相交于A、B两点， 且左顶点为 1 A， （其 中A、B两点异于点 1 A） ，那么当A、B两点运动时，BAAA 11 的数值有什么变化？ 这道题涉及动点问题，学生的图形想象能力有限，教师在进行这道题的教学时，若是 单纯通过书面的计算给学生最终答案，很难让学生在信服的基础上掌握知识，而几何画板 的引入，能将图形以及数值的动态变化过程直观的展示在学生面前，便于学生理解题意， 解决问题。具体课件制作方法如下课件制作方法如下课件制作方法如下课件制作方法如下： （1）利用几何画板制作如图 2 的课件。 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 14141414 图 2 C yB = -0.94 xB = -1.43 yA = 1.19 xA = 0.67 yA1 = 0.00 xA1 = -2.17 xA-xA1 () xB-xA1 ()+ yA-yA1() yB-yA1 () = 0.97 动画点C 图 3 （2）选择点C，在几何画板工具栏【编辑】中选择【操作类按钮】的【动画】制作 了一个操作按钮 动画点动画点动画点动画点 CCCC。并分别选择 1 A、A、B，在【度量】中选择【横坐标】和【纵 坐标】分别计算出 1 A x 、 1 A y 、 A x 、 A y 、 B x 、 B y ，然后在【度量】中选择【计算】计 算出BAAA 11 数值，即)()( 1111 ABAAABAA yyyyxxxx+ 的数值（如图 3 所示） 。 动画演示动画演示动画演示动画演示： 点击按钮 动画点动画点动画点动画点C C C C ，直线l始终过定点T， )()( 1111 ABAAABAA yyyyxxxx+ 的数值随着点A、B的横纵坐标变化 而变化（如图 4 所示）并与图 3 比较。 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 15151515 yB = -0.81 xB = -1.82 yA = 1.26 xA = -0.45 yA1 = 0.00 xA1 = -2.35 运动点C xA-xA1 () xB-xA1 ()+ yA-yA1() yB-yA1 () = 0.00 图 5 当拖动点T时，发现 )( 11 ABAA xxxx)( 11 ABAA yyyy+ 的值有正，有 负 ， 还 有 唯 一 一 点 （ 除 去 椭 圆 在 长 轴 上 的 两 个 顶 点 ） 处 的 值 为0 。 当 0)()( 1111 =+ ABAAABAA yyyyxxxx 时，点击 动画点动画点动画点动画点 CCCC按钮，却发现 )()( 1111 ABAAABAA yyyyxxxx+ 的值始终为 0。如图 5 和图 6 所示。 由上题的解答可知，几何画板可以以数学实验的形式帮助学生探讨出题目的最终结 果，在解题教学中，能直观明了的展示图形的动态变化过程，使学生对轨迹的形成过程在 脑海中有一个大致的认识，在书面解题时，就可以更加得心应手。 yB = -1.25 xB = 0.16 yA = 1.09 xA = -1.08 yA1 = 0.00 xA1 = -2.17 xA-xA1 () xB-xA1 ()+ yA-yA1() yB-yA1 () = 1.18 动画点C 图 4 yB = -1.28 xB = -0.17 yA = 0.74 xA = -1.92 yA1 = 0.00 xA1 = -2.35 运动点C xA-xA1 () xB-xA1 ()+ yA-yA1() yB-yA1 () = 0.00 图 6 几何画板在圆锥曲线教学中的应用 16161616 五、结语 21世纪是计算机时代, 如何应用计算机等现代教育技术来进行解题教学是目前面临 的一个重要课题。全日制普通高级中学数学教学大纲中明确提出:在数学教学过程中, 应有意识地利用计算机网络等现代信息技术,认识计算机的智能图形、快速计算、机器证 明、自动求解及人机交互等功能在数学教学中的巨大潜力,努力探索在现代信息技术支持 下的教学方法、教学模式。设计和组织能吸引学生积极参与的数学活动,支持和鼓励学生 运用信息技术学习数学,开展课题研究, 改进学习方式, 提高学生的自主学习能力和创新 意识。几何画板是一款优秀的专业学科教学平台软件，代表了当代专业工具平台类教学软 件的发展方向，该软件短小精悍，功能强大，将几何画板合理引入高中数学圆锥曲线的教 学，能动态表现相