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2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(193)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 复数满足.则.2. 函数的最大值为.3. .4. 圆锥曲线的离心率为.5. 已知实数满足.则的最大值为.6. 设为正四面体的高的中点.则二面角的弧度数为.7. 从集合中任取元素（可以相同）.则的个位数字是3的概率为.8. 甲、乙、丙三人的年龄数之和为120，且.则有序数组的个数为.二、解答题（共56分）9.（16分）求方程的所有实数解.10.（20分）证明：（1）对任意正整数，均有；（2）对任意正整数，均有.11.（20分）设椭圆上有三个动点，且两点关于坐标原点对称.求的最大值.一、（40分）如图1，已知动点在圆的劣弧上，为优弧的中点，过点的切线分别与过点的切线交于点，联结，与弦分别交于点.证明：.二、（40分）已知正实数满足.证明：，其中，“”表示轮换对称和.三、（50分）求满足的素数.四、(50分)给凸多面体的每个顶点定义一个曲解.将项点所有面角之和关于的补角称为该顶点的曲角（如正方体顶点的曲角为，正四面体顶点的曲角为）.证明：凸多面体所有顶点的曲角之和等于.
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