金融数学课程设计.doc

数学与应用数学专业课程设计金融数学课程设计 题目 B-S公式在认股权证定价中的应用 姓名 YUE 班级 111010402 学号 1. 课程设计评价参考标准及得分（占80%）序号指标分值得分1内容体现应用数学与金融、经济的结合，体现应用价值和现实意义302综合应用数学专业知识解决实际问题的能力303与学分相适应的工作量和难度，有一定的创新204报告撰写质量：图标美观，参考文献，格式合适等202. 答辩情况：（占20%）论 文 成 绩 任课教师签名 B-S公式在认股权证定价中的应用【摘要】在全球证券市场上，权证被越来越多的投资者应用作为投资、对冲、套利的工具。从我国为配合股权分置改革而再次推出权证，并很快得到市场的认可，市场交投活跃，成交量直线上升，在全球权证交易金额排名靠前，为活跃我国资本市场做出了巨大的贡献。但是，我国权证市场一直存在着换手率过高、投机氛围浓厚、定价偏高等现象，导致此现象的原因错综复杂，但关键原因之一是我国认股权证定价不合理，因此定价问题的研究就具有很重要的现实意义和研究价值。本文我们基于B-S公式模型做认股权证定价研究，优化认股权证定价，以及讨论B-S公式在认股权证定价中的运用。 【关键词】证券市场 认股权证 权证定价 B-S模型一、引言 作为现代金融创新中一种被普遍运用的衍生工具,权证以其融资便利、对冲风险、高杠杆性等优点获得上市公司和投资者的广泛欢迎。同时,通过权证与债券等金融工具的组合,可以创造出更多的、具有不同风险收益特征的金融产品。因此，它理所当然成为新兴市场金融创新的首选品种。在我国内地资本市场上权证也正在作为一股新生力量茁壮发展起来。随着2005年股权分置改革的进行上市公司纷纷推出公司股票认股权证，作为一种对流通股股东的对价支付方式。从而使得关闭多年的权证市场重新打开。在我国内地证券市场期货、股票期权等金融产品条件还不成熟的条件下，率先推出权证产品是安全、有效和可行的选择。推出权证产品有利于我国证券市场尽快实现与国际市场的接轨，可以为投资者提供新的投资工具活跃市场交易，同时有利于券商提升竞争力，参与国际竞争。一直以来，我国证券市场上投资品种单一，没有任何避险工具，投资者只能进行方向性交易追涨杀跌，这些都加剧了市场的整体风险。权证作为现代金融创新中的一种基本工具，其品种十分丰富，同时权证与债券等金融品种组合，又可创新出更多的具有不同收益风险特征的金融产品，有助于投资者进行风险管理。在结合当前国内市场实际情况的基础上，科学合理地对权证进行理论定价，对市场行为进行指导就显示出其紧迫性及重要性。 二、认股权证定价2.1认购认沽平价原理 权证的定价模型一般考虑认购权证的情形，并给出由模型推导出的定价公式，对认沽权证而言，在知道了相应认购权证的定价之后，可以由认购权证与认沽权证的平价关系进行简单推算得出认沽权证的定价公式。 2.2认购认沽平价 对具有相同标的证券（现价记为）、行权价（记为）、行权比例（假定为1：1）、相同到期日（假定到到期日的无风险借贷利率为）、相同结算方式的欧式认购、认沽权证而言，我们首先考虑如下两种投资策略的损益状态（记认购权证的价格为,认沽权证的价格为）；从两种投资策略期末的损益状态来看，无论到期标的证券的价格如何变化，它们都具有同样的收益结果，因此，如果场不存在无风险套利的情形的话，策略A与策略B就是完全等价的，即： 认购权证与认沽权证价格之间的这种关系成为：认购认沽平价关系。 2.3简单实例 以宝钢权证为例，假定某机构发行了宝钢股份的认沽权证，其行权价格（4.53元）、到期日、行权比例、结算方式与目前市场交易的宝钢认购权证完全一样，该认沽权证成功上市并进行交易。假定与到期期限匹配的无风险利率为4%，我们计算该认沽权证的价格。以2013年9月23日收盘时宝钢股份、宝钢认购权证的价格4.31、1.103元为基础，利用上述计算公式，可以得出宝钢认沽权证的价格为： 此价格相对于实际价格偏高，进而我们下面做B-S公式模型的研究。三、Black-Scholes定价模型3.1 Black-Scholes期权定价模型的假设条件Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即： 其中，为均值为零，方差为的无穷小的随机变化值（，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。和都是已知的。简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。2没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。5. 在期权有效期内，无风险利率保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。6在衍生品有效期间，股票不支付股利。7所有无风险套利机会均被消除。3.2 B-S期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole微分方程： 其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。通过这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式： 其中， 为无收益资产欧式看涨期权价格；为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有： 3.3 Black-Scholes期权定价公式的理解1. 可看作证券或无价值看涨期权的多头；可看作份现金或无价值看涨期权的多头。可以证明，。为构造一份欧式看涨期权，需持有份证券多头，以及卖空数量为的现金。Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。2.风险中性定价原理风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。与 、以及 有关，而与股票的期望收益率无关。这说明欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（110.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：110.5=9，我们解得：=0.25。因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为： 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。四、Black-Scholes期权定价公式的计算4.1 Black-Scholes期权定价公式的计算假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。在本题中，可以将相关参数表达如下： ,，,算出和： 计算和： 将上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看涨期权价格为： 美元 由 ： 可以算出欧式看跌期权价格： 美元4.2 影响欧式看涨期权价格的因素从B-S公式我们可以简单得出以下的结论：(1)当期股价 越高，期权价格越高；(2)到期执行价格越高，期权价格越低；(3)距离到期日时间 越长，期权价格越高；(4)股价波动率越大，期权价格越高；(5)无风险利率越高，期权价格越高。五、Black-Scholes期权定价公式的应用Black-Scholes期权定价公式除了可以用来估计期权价格，在其它一些方面也有重要的应用。主要有以下三方面：5.1 对公司负债及资本进行估值一家公司A发行两种证券：普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知公司总市值为1亿元，求：公司股票及债券如何定价？令为当前A公司资产市场价值，为A公司资本市场价值，为A公司债券市场价值。考虑股东1年之后的收益：当A公司价值大于债券面值时，收益为；当A公司价值小于债券面值时，收益为0。股东相当于持有一个执行价格为8000万元的欧式Call, 标的资产为公司价值当前资本价值为： 给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3,无风险利率为8%，根据B-S公司得到万元，公司负债价值万元。5.2 确定贷款担保价值或担保费用假设某银行为公司发行的债券提供了信用担保。1年之后，若公司价值大于债券面值时，银行无须支付；若公司价值小于债券面值时,银行须支付。这相当于银行出售了一个欧式, 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券面值。利用上面的例子，可采用B-S看跌期权定价公式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式的价值为209万元，A公司应支付209万元的担保费。5.3 带有可转化特征的融资工具的定价认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格向发行人购买公司新股的权利。假设公司有股流通股，份流通欧式认股权证，一份认股权证使持有人在时刻以每股的价格购买股新股的权利。设时期公司权益价值为 ，若持有人选择执行认股权，公司权益价值变为 ，股票数量变为 。执行认股权证后瞬间，股价变为。只有当这一股价大于执行价格 时，持有人才会执行认股权。（1）当时，持有人执行，其收益为:；（2）当时，持有人不执行，其收益为0。一份认股权证的价值为:；其中是基于公司股票价格的欧式Call，执行价格为。利用B-S公式得一份认股权证的价值。六、总结 本文主要研究B-S模型在权证定价中的运用，结合我国认股权证定价的现阶段的状况，我国认股权证市场存在着定价过高、权证价格脱离标的股票的价格变化，认股权证定价不合理。当然，我们在运用B-S模型的权证定价也不能做到完全合理，主要是我国市场制度不健全，缺乏卖空机制与做市商制度、创设机制不完善，以及权证品种少、发行规模小导致的供需不平衡是认股权证过高定价的内在原因，而证券市场过度投机则客观上加剧了认股权证价格的过度偏高。多管齐下，采取各种措施提高认股权证定价的合理性，一方面要加快推出卖空机制与做市商制度、完善创设机制、加快发行备兑权证、完善股本权证的发行制度，促进权证品种多样化，提高投资者素质，同时强化市场监管，促进市场行为理性化，促进我国权证市场稳步发展。七、参考文献：【1】奚李峰，乐安波，彭勃等（2011），金融数学【M】，清华大学出版社。【2】郭多祚，佟孟华（2012），数理金融【M】，清华大学出版社。【3】茆诗松，程依明，濮晓龙（