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文档简介

1.4张量的代数性质,在分量表示法中,与分量指标相配的基矢量被省略了,但隐含如下约定:所讨论的同阶张量都具有相同的基,并且张量指标的正常排列顺序应和基矢量的顺序相同,否则就是转置张量。,例如:,一、隐含约定,对1,2指标的转置张量为:,而张量S的按其分量应记为:,故,(见:黄克智等张量分析第2版,清华大学出版社,p31),二、二阶张量的分解,任何一个一般二阶张量都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和,即:,反对称张量,对称张量,三、高阶张量的对称和反对称,高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量,它关于任一对下标是反对称的:,四、两个二阶张量点乘有下面性质,证明:,1),1),2),证明:,利用,即,2),五、实对称方阵的本征值(特征值)与本征矢量(特征向量),实对称方阵对应实对称二阶张量,在连续介质力学中,常出现下述形式的齐次代数方程,参见:匡震邦非线性连续介质力学基础和黄克智等张量分析,(可写成),(可写成),特征值,特征方程,对应三个根的三组非零解,各自构成不同的矢量方向,称为特征矢量,1)坐标变换,xyz,xyz,六、坐标变换与二阶张量不变量,两个直角坐标系,基矢量分别为,两个坐标系坐标轴夹角余弦,基矢量间的变换,有9个分量,构成二阶张量,注意到,同理,张量记法,矩阵记法,是正交张量,,是归一化正交矩阵,坐标轴旋转,类似于矢量的坐标变换,二阶张量的坐标变换,2)二阶变量的不变量,由,由,七、各向同性张量,在所有正交变换下分量都相同的张量,称为各向同性张量,1.5张量的微分与积分,一、微分运

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