2019届高三数学下学期第二次段考试题 文(含解析).doc

2019届高三数学下学期第二次段考试题 文(含解析)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则A（UB）= 2函数f（x）=（sinxcosx）2的最小正周期为 3已知复数z满足（1i）z=+i（i是虚数单位），则z的模为 4设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（a）= 5如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则CAE的正切值为 6若直线l1：x+2y4=0与l2：mx+（2m）y3=0平行，则实数m的值为 7在等比数列an中，已知a1=1，ak=243，q=3，则数列an的前k项的和Sk= 8已知点P是函数图象上的一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率取得最大值时切线的方程为 9若cos（）=，则cos（+）sin2（）= 10在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，点E和F分别在线段BC和DC上，且=， =，则的值为 11等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3an（S4m+1）=9，则+的最小值是 12在平面直角坐标系数xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线xy+m=0上存在点P，使得2PA=PB，则实数m的取值范围是 13已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为 14已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）f（x+m）的解集为M，且1，1M，则实数m的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（1）求角A的值；（2）若ABC的面积为，且a=，求ABC的周长16如图已知四边形AOCB中，|=5， =（5，0），点B位于第一象限，若BOC为正三角形（1）若cosAOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为，求cos2的值17如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆=1（ab0）上不同的三点，B（2，2），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明为定值并求出该定值19已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的前n项和为Sn （i）求Sn； （ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn20已知函数f（x）=x22alnx（aR），g（x）=2ax（1）求函数f（x）的极值；（2）若a0，函数h（x）=f（x）g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0a1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求a的取值范围参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则A（UB）=1，2，3【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】进行补集、并集的运算即可【解答】解：根据条件：UB=2；A（UB）=1，2，3故答案为：1，2，32函数f（x）=（sinxcosx）2的最小正周期为【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法【分析】化简函数的表达式为 一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期【解答】解：函数f（x）=（sinxcosx）2=12sinxcosx=1six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：3已知复数z满足（1i）z=+i（i是虚数单位），则z的模为【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出复数z，由此能求出z的模【解答】解：复数z满足（1i）z=+i（i是虚数单位），z=，z的模为|z|=故答案为：4设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（a）=9【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答【解答】解：令g（x）=f（x）1=x3cosx则g（x）为奇函数，又f（a）=11，g（a）=f（a）1=111=10g（a）=10=f（a）1f（a）=9故答案为：95如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则CAE的正切值为【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】有已知矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，由图可知：CAD=DAD+CAE，利用两角和的正切公式即可求得【解答】解：因为矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，则在RtCAD中， =2，所以故答案为：6若直线l1：x+2y4=0与l2：mx+（2m）y3=0平行，则实数m的值为【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】直线l1：x+2y4=0与l2：mx+（2m）y3=0平行，直线l1的斜率存在，因此直线l2的斜率也存在化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出【解答】解：直线l1：x+2y4=0与l2：mx+（2m）y3=0平行，直线l1的斜率存在，直线l2的斜率也存在两条直线的方程可以化为：y=x+2；y=x+，2解得：m=故答案为：7在等比数列an中，已知a1=1，ak=243，q=3，则数列an的前k项的和Sk=364【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式【分析】已知首项和公比，可以求出等比数列的前n项和公式，再代入ak=243，根据等比数列前n项和公式进行求解；【解答】解：等比数列前n项和为sn=，等比数列an中，已知a1=1，ak=243，q=3，数列an的前k项的和Sk=364，故答案为：364；8已知点P是函数图象上的一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率取得最大值时切线的方程为y=1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出f（x）的导数，设P（m，n），可得切线的斜率，由正弦函数的单调性，可得切线的斜率的最大值，以及切点坐标，进而得到所求切线的方程【解答】解：函数的导数为f（x）=sinx，设P（m，n），可得在点P处的切线斜率为k=sinm，由0m，可得k的最大值为k=sin0=0，此时m=0，n=cos0=1，可得所求切线的方程为y=1故答案为：y=19若cos（）=，则cos（+）sin2（）=【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GO：运用诱导公式化简求值；GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系进行解答【解答】解：cos（）=cos（）=，sin2（）=1cos2（）=，cos（+）=cos（+）=cos（）=，cos（+）sin2（）=故答案是：10在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，点E和F分别在线段BC和DC上，且=， =，则的值为【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可【解答】解：AB=2，BC=1，ABC=60，BG=，CD=21=1，BCD=120，=， =，=（+）（+）=（+）（+）=+=21cos60+21cos0+11cos60+11cos120=1+=，故答案为：11等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3an（S4m+1）=9，则+的最小值是2.5【考点】88：等比数列的通项公式；7F：基本不等式【分析】根据等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，可得an=23n1；Sn=3n1，由log3an（S4m+1）=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论【解答】解：等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，an=23n1；Sn=3n1，log3an（S4m+1）=9，（n1）+4m=9，n+4m=10，+=（n+4m）（+）=（17+）（17+8）=2.5，当且仅当m=n=2时取等号，+的最小值是2.5故答案为：2.512在平面直角坐标系数xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线xy+m=0上存在点P，使得2PA=PB，则实数m的取值范围是2，2【考点】IG：直线的一般式方程【分析】设P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4x2，可得：m=x，x2，2通过三角函数代换即可得出【解答】解：设P（x，x+m），2PA=PB，4|PA|2=|PB|2，4（x1）2+4（x+m）2=（x4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4x2，4x20，解得x2，2，m=x，令x=2cos，0，m=2cos2sin=2sin（）2，2，实数m的取值范围是2，2，故答案为2，213已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）（1，e1【考点】54：根的存在性及根的个数判断；53：函数的零点与方程根的关系【分析】方程f（x）kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解【解答】解：g（x）=kx+1，方程f（x）g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1x2，则0x11，则f（x）=f（x1）=ex1，当2x3，则1x12，则f（x）=f（x1）=ex2，当3x4，则2x13，则f（x）=f（x1）=ex3，当x1时，f（x）=f（x1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故kAC=e1，kBC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）（1，e1；故答案为：14已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）f（x+m）的解集为M，且1，1M，则实数m的取值范围是（1，0）【考点】7E：其他不等式的解法【分析】由题意可得，当m=0，显然不满足条件；在1，1上，函数y=f（xm）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方，【解答】解：函数f（x）=，若m=0，则不等式即f（x）f（x ），显然不成立若m0，函数f（x）=在R上是增函数，如图1所示：由f（x）f（x+m），可得xx+m，m0，故m无解若m0，函数y=f（x+m）的图象是把函数y=f（x）的图象向右平移m个单位得到的，由题意可得，当x1，1时，函数y=f（x+m）的图象在函数 y=f（x）的图象的下方，如图2所示：只要f（1+m）f（1）即可，即（1+m）1m（1+m）1（1+m），即 m+2m2m30，即 1+2mm20，求得1m1+，综合可得，1m0，故答案为：（1，0）二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（1）求角A的值；（2）若ABC的面积为，且a=，求ABC的周长【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可得出结论（2）由已知利用三角形面积公式可求bc的值，利用余弦定理可求b+c的值，即可得解【解答】解：（1）由=，利用正弦定理可得2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，sinB0，cosA=，A（0，），A=（2）A=，ABC的面积为=bcsinA=bc，bc=2，a=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：5=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）26，解得：b+c=，ABC的周长l=a+b+c=+16如图已知四边形AOCB中，|=5， =（5，0），点B位于第一象限，若BOC为正三角形（1）若cosAOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为，求cos2的值【考点】9R：平面向量数量积的运算；G9：任意角的三角函数的定义【分析】（1）设AOB=，cos=，sin=可得：xA=，yA=（2）B，计算.，可得cos=【解答】解：（1）设AOB=，cos=，sin=xA=yA=5=A（2）B，=5， =5cos=cos2=2cos21=17如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】（1）设BC=x，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S的最大值；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则AB=2，（其中0x30），S=2x=2x2+=900，当且仅当x2=900x2，即x=15时，S取最大值900；取BC=15cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB=2=2r，解得r=，V=r2h=，（其中0x30）；V=，令V（x）=0，得x=10；因此V（x）=在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm318如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆=1（ab0）上不同的三点，B（2，2），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明为定值并求出该定值【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（1）将A，B坐标代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；（2）设点C（m，n）（m0，n0），则BC中点为（，），求得直线OA的方程，利用点C在椭圆上，即可求点C的坐标；（3）求出M，N的纵坐标，利用点C在椭圆上，结合向量的数量积公式，即可求得结论【解答】解：（1）由已知，将，B（2，2）代入椭圆方程：，解得，椭圆的标准方程为； （2）解：设点C（m，n）（m0，n0），则BC中点为（，）由已知，求得直线OA的方程：x2y=0，从而m=2n2又点C在椭圆上，m2+4n2=20由，解得：n=2（舍），n=1，从而m=4点C的坐标为（4，1）（3）证明：设P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2）P，B，M三点共线，则=整理得y1=P，C，N三点共线，则=，整理得y2=点C在椭圆上，x02+4y02=20，x02=204y02，从而y1y2=2= =5y1y2=为定值，定值为 19已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的前n项和为Sn （i）求Sn； （ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn【考点】8K：数列与不等式的综合；8E：数列的求和【分析】（）先利用前n项积与前（n1）项积的关系，得到等比数列an的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；（）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明【解答】解：（）a1a2a3an=（nN*） ，当n2，nN*时，由知：，令n=3，则有b3=6+b2，a3=8an为等比数列，且a1=2，an的公比为q，则=4，由题意知an0，q0，q=2（nN*）又由a1a2a3an=（nN*）得：，bn=n（n+1）（nN*）（）（i）cn=Sn=c1+c2+c3+cn=；（ii）因为c1=0，c20，c30，c40；当n5时，而=0，得，所以，当n5时，cn0，综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k=420已知函数f（x）=x22alnx（aR），g（x）=2ax（1）求函数f（x）的极值；（2）若a0，函数h（x）=f（x）g（x）有且只有一个