2019版高中数学-第一章-导数及其应用-1.7-定积分的简单应用学案-新人教A版选修2-2.doc

1.7定积分的简单应用学习目标1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可梳理(1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx.(2)当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)，yg(x)所围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念梳理(1)当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用dt求解(2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为dt.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为WFs，那么变力做功问题怎样解决？答案与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从xa到xb(ab)，可以利用定积分得到WF(x)dx.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a0，则运动物体的路程为sv(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程为s|v(t)|dtv(t)dt；注意路程与位移的区别(2)求变力做功的方法步骤首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；利用变力做功的公式WF(x)dx计算；注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟踪训练3一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比若20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W为()A. J B5 JC. J D6 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案A解析设拉伸弹簧所用的力为F N，弹簧伸长的长度为x m，则Fkx.由题意知200.03k，得k，所以Fx.由变力做功公式，得Wxdx(J)，故把弹簧从平衡位置拉长13 cm时所做的功为 J.1由曲线yx2与直线y2x所围成的平面图形的面积为()A. B.C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案A解析如图，画出曲线yx2和直线y2x的图象，则所求面积S为图中阴影部分的面积解方程组得所以A(2,4)，O(0,0)所以S2xdxx2dxx24.2一物体在力F(x)3x22x5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x5 m运动到x10 m，则F(x)做的功为()A925 J B850 JC825 J D800 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案C解析依题意F(x)做的功是WF(x)dx(3x22x5)dx(x3x25x)|825(J)3由曲线y与直线x1，x2，y1所围成的封闭图形的面积为_考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案1ln 2解析因为函数y在1,2上的积分为S2dxln x|ln 2，所以围成的封闭图形的面积S1等于四边形ABCD的面积减去S2的面积，即S11ln 2.4一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为_ m.考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案900解析由速度时间曲线得v(t)所以汽车在1分钟内行驶的路程为3tdt150750900 m.5求由抛物线yx21，直线x2，y0所围成的图形的面积考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解解作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积由x210，得抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为S|x21|dx(x21)dx(1x2)dx(x21)dx.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()Af(x)dxB|f(x)dx|Cf(x)dxf(x)dxDf(x)dxf(x)dx考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案D解析xa，b时，f(x)0，阴影部分的面积Sf(x)dxf(x)dx.2一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0 s到t3 s时间段内的位移是()A31 m B36 mC38 m D40 m考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案B解析S(3t22t)dt(t3t2)|333236(m)，故选B.3一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1运动到x3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A8 J B10 J C12 J D14 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案D解析由变力做功公式有W(4x1)dx(2x2x)|14(J)，故选D.4由直线x0，x，y0与曲线y2sin x所围成的图形的面积等于()A3 B. C1 D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案A解析直线x0，x，y0与曲线y2sin x所围成的图形如图所示，其面积为S2cos x2cos (2cos 0)123，故选A.5由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S等于()A. B.C. D1考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案C解析yx2，yx2，x1所围成的图形如图所示，Sx2dxx2dxx2dx.6由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形的面积为()A. B.C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案C解析由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形如图，所以由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形的面积为2(xx3)dx，故选C.7由曲线y与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为()A. B.C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案D解析联立曲线y与直线y2x1，构成方程组解得联立直线y2x1，y0构成方程组，解得曲线y与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为Sdx.二、填空题8一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是_考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案425ln 5解析由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt425ln 5.9由曲线yex，yex及x1所围成的图形的面积为_考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案e2解析如图，所围成的图形的面积为(exex)dx(exex)|ee12e2.10.如图，已知点A，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积相等，则x0_.考点导数与积分几何意义的应用题点导数与积分几何定义的应用答案解析由题意知x0即x0x，解得x0或x0或x00.x00，x0.11若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是，则c_.考点利用定积分求曲线所围成图形的面积题点已知曲线所围成图形的面积求参数答案解析由得x0或x.当0xcx3，S.c3，c.三、解答题12求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积考点利用定积分求曲线所围成图形的面积题点需分割的图形的面积求解解如图所示，由得所以抛物线y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4)方法一(选y为积分变量)Sdy24864.方法二(选x为积分变量)S()dx(6x)dx.13.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点已知曲线所围成图形的面积求参数解由题图知方程f(x)0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b0，所以f(x)x2(xa)有0(x3ax2)dx，所以a3.又a0，即a0，所以a3.四、探究与拓展14.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案解析S阴2(eex)dx2(exex)|2，S正方形e2，P.15.已知S1为直线x0，y4t2及y4x2所围成图形的面积，S2为直线x2，y4t2及曲线y4x2所围成图形的面积(t为常数)(1)若t，求S2；(2)若t(0,2)，求S1S2的最小值考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解解(1)当t时，S2(1)(2)当t(0,2)时，S1(4x2)(4t2)dxt3.S2(4t2)(4x2)dx2t2t3.所以SS1S2t32t2.S4t24t4t(t1)，令S0，得t0(舍去)或t1，当0t1时，S0，S单调递减，当1t0，S单调递增，所以当t1时，Smin2. 日月崇拜是原始宗教的重要内容之一，中国古代很早就有祭祀日月的宗教礼俗。殷人将日月称东母与西母，周代依据日月的时间属性行朝日夕月的祭礼，“夕月”即秋分日的晚上在西门外祭月。春秋战国时，日月神被称为东皇公、西王母。沂南汉画像石中东王公、西王母分坐在柱收物（昆仑山）上，西王母两旁跪有捣药的玉兔，由此可知，晋代郭璞图赞中“昆仑月精”的说法言之有据，而后世的月神嫦娥即由西王母演变而来。秦汉时期日月祭祀仍为皇家礼制，此后直至明清历代都有秋分祭月的礼仪。上古时期祭月列入皇家祀典而例行祭祀后，民间缺少了祭月的消息，这可能与古代社会的神权控制有关，像日月这样的代表阴阳的天地大神，只有皇家才能与之沟通，一般百姓无缘祭享。隋唐以后，随着天文知识的丰富与文化观念的进步，人们对月亮有了较理性的认识，月亮的神圣色彩明显消褪。这时皇家也逐渐失去了对月神祭祀的独占权。对一般平民来说，月亮不再是那样“高不可及”。唐朝虽没有中秋节，但唐人精神浪漫，亲近自然，中秋赏月已成为文人的时尚，吟咏中秋明月的华章丽句寻常可见，如许浑鹤林寺中秋夜玩月云：“中秋云尽出沧海，半夜露寒当碧天。轮彩渐移金殿外，镜光犹挂玉楼前。”在宋代，中秋节已成为民俗节日。文人沿袭赏月古风，但其情趣大异于唐人。唐人大多由月亮的清辉联想到河山的壮美，友朋千里，邀赏明月，诗酒风流，如白居易八月十五日夜禁中独直，对月忆元九“三五夜中新月色，二千里外故人心”，就借秋月抒发了感物怀人的情思。宋人常以月之阴晴圆缺，喻人生变化无常，苏轼中秋月“暮云收尽溢清寒，银汉无声转玉盘。此生此夜不长好，明月明年何处看”就寄托着这种浩叹。似乎中秋明月的清光，也难掩宋人的感伤。不过对于宋人来说，中秋还有另一种形态，即世俗的欢愉。北宋东京中秋夜，“贵家结饰台榭，民间争占酒楼玩月”（东京梦华录）。南宋杭州中秋夜更是热闹，在银蟾光满之时，王孙公子、富家巨室，莫不登楼，临轩玩月，酌酒高歌；中小商户也登上小小月台，安排家宴，“团圆子女，以酬佳节”（梦梁录）；市井贫民“解衣市酒，勉强迎欢，不肯虚度”。团圆是中秋节俗的中心意义。宋人的团圆意识已与中秋节令发生关联，宋代城市居民阖家共赏圆月，就体现了这一伦理因素。明清时期，由于理学的浸染，民间社会乡族观念增强，人们对家庭更为依恋，中秋节正是加强亲族联系的良机。“中秋民间以月饼相连，取团圆之义”（明代田汝成西湖游览志奈），月饼在宋代已经出现，但以月饼为中秋特色食品及祭月供品的风俗大概始于明朝，小小的月饼在民间生活中作为团圆的象征与联系亲族情感的信物互相馈送。节日是日常生活的亮点，节俗文化是时代精神的聚焦。中秋经历了文人赏月的雅趣，民间拜月的情趣，以及有心吃月饼而无心看月的俗趣，节俗形态从古至今发生了重大变化。一部中秋节俗形态演变史，也是一部中国民众心态的变迁史。（摘编自萧放团圆饼与月亮节中秋节俗形态的变迁）1下列关于原文内容的表述，不正确的一项是( )A对于日月，殷人称东母与西母，春秋战国时称东皇公、西王母，汉代称东王公、西王母，从这些称呼可以看出，中国古人的日月崇拜有一脉相承之处。B唐宋两代都有文人赏月的风尚。唐人多借月表达对自然美景的欣赏赞美，体现出诗酒风流的情趣，而宋人常因月抒发感伤之情。C南宋时的都城杭州，中秋夜热闹非凡，不仅富家巨室、中小商户宴饮赏玩，“以酬佳节”，连财力匮乏的市井贫民也勉力寻欢，足见中秋在当时已是非常重要的节日。D中秋的节俗文化经历了不断丰富与演变的过程，如宋人赋予中秋节阖家团圆的意义，明人则将月饼引入中秋节，作为团圆的象征与联系亲族感情的信物。2下列理解和分析，不符合原文意思的一项是( )A弦、望、晦、朔是月亮在运行过程中被人观察到的不同形态，是中国大多数节日设定的基准，如中秋节的设定就与“望”有关。B中秋节源于原始宗教中的月亮崇拜，但形成较晚。唐代文人已有中秋之夜赏月的风尚，到宋代，中秋则成为重要的民俗节日。C沂南汉画像石中的西王母为月神，居于昆仑山，后演变为月神嫦娥。晋代郭璞图赞中“昆仑月精”的说法即以此神话为依据。D唐朝的一般民众将月亮视为欣赏的对象，而不再觉得它高不可及，这跟天文知识的丰富、文化观念的进步和皇家丧失对祭月的独占权大有关系，3根据原文内容，下列说法不正确的一项是( )A月为天地大神，在宗教祭祀中地位重要，上古时期统治者独占祭月权之后，直至隋唐以前，一般民众无权祭月，中国民间也没有祭月的风俗。B尽管唐宋文人赏月的情趣大异，但白居易八月十五日夜禁中独直，对月忆元九和苏轼中秋月都是借月抒怀的感伤之作，表达了对友人的思念之情。C在宋代，中秋已是团圆佳节，到明清时期，理学的影响增强了民间社会的乡族观念和人们对家庭的依恋，于是中秋节更成为共享天伦与联系亲族的良机。D中秋节俗形态丰富，从文人雅士赏玩明月，到民间阖家团圆共赏明月，再到以月饼相赠加强亲族联系，这些习俗的演变折射了时代精神的变迁。（二）文学类文本阅读（14分）阅读下面的文字，完成4-6题。百年震柳梁衡1920年12月16日，宁夏海原县发生了一场全球最大的地震。是日晚8时，风暴大起，四野尘霾，大地颤动，山移、地裂、河断、城陷。黄土高原经这一抖，如骨牌倒地，土块横飞。老百姓惊呼：“山走了！”有整座山滑行三四公里者，最大滑坡面积竟毗连三县，达两千平方公里。山一倒就瞬间塞河成湖，形成无数的大小“海子”。地震中心原有一大盐湖，为西北重要的产盐之地。湖底突然鼓起一道滚动的陡坎，如有人在湖下推行，竟滴水不漏地将整个湖面向北移了一公里，称之为“滚湖”。所有的地标都被扭曲、翻腾得面目全非。大地瞬间裂开一条237公里长的大缝，横贯甘肃、陕西、宁夏。裂缝如闪电过野，利刃破竹，见山裂山，见水断水，将城池村庄一劈两半，庄禾田畴被撕为碎片。当这条闪电穿过海原县的一条山谷时，谷中正有一片旺盛的柳树，它照样噼噼啪啪，一路撕了下去。但是没有想到，这些柔枝弱柳，虽被摇得东倒西歪，断枝拔根，却没有气绝身死。狂震之后，有一棵虽被撕为两半，但又挺起身子，顽强地活了下来，至今仍屹立在空谷之中，这就是那棵有名的震柳。 我不知道这株柳，该称它是一棵还是两棵。它同根，同干，同样的树纹，头上还枝叶连理。但地震已经将它从下一撕为二，现在两个半边树中间可穿行一人，而每一半也都有合抱之粗了。人老看脸，树老看皮。经过百年岁月的煎熬，这树皮已如老人的皮肤，粗糙，多皱，青筋暴突。纹路之宽可容进一指，东奔西突，似去又回，一如黄土高原上的千沟万壑。这棵树已经有500年，就是说地震之时它已是400岁的高龄，而大难后至今又过了100岁。 看过树皮，再看树干的开裂部分，真让你心惊肉跳。平常，锯开一根木头，无论从哪个方向切入，那剖面上的年轮图案都幻化无穷，美不