2019届高三数学12月月考试题 理(含解析) (I).doc

2019届高三数学12月月考试题 理(含解析) (I)一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：化简集合，根据交集的定义计算.详解：因为集合，化简,所以，故选D.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由，得，则，则，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为A. 20 B. 10 C. 7 D. 5【答案】B【解析】【分析】根据考试成绩服从正态分布，可得考试成绩关于对称，再由题意，即可求解成绩在110分以上的人数。【详解】由考试成绩服从正态分布，且，则,所以该班人数在110分以上的人数为。故选B.【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题关键是考试成绩关于对称，利用对称写出要用的一段的频数，从而解出题目。4.古代数学著作九章算术有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要A. 7天 B. 8天 C. 9天 D. 10天【答案】C【解析】【分析】设所需天数为n天，第一天3为尺，先由等比数列前n项和公式求出，在利用前n项和，便可求出天数n的最小值。【详解】设该女子所需天数至少为n天，第一天织布尺，由题意得： ，解得 ， ，解得，所以要织布的总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天，故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n项和，直接两次利用等比数列前n项和公式便可得到答案。5.在矩形中，若向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于3的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据和的面积都不小于3可得P在平面内满足题意的区域面积，再利用几何概型性质可得 计算出结果。【详解】，P到AB的距离，同理可得：P到AD的距离 ，可得P可在区域为邻边分别为3和的矩形，所以 ，故选C。【点睛】本题考查几何概型概率求解，利用面积之比便可求解。6. 执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】D【解析】试题分析：，；，；，故输出.考点：程序框图【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.7.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A. 甲 B. 乙C. 丙 D. 丁【答案】D【解析】试题分析：如果1、2号得第一名，则乙丙对，如果3号得第一名，则只有丁对，如果4、5号得第一名，则甲乙都对，如果6号得第一名，则乙丙都对，因此只有丁猜对，故选D考点：反证法8.一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，然后分别求出各个面的面积然后作和即可。【详解】根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，其一个侧面是一个边长为4的正三角形，高为，将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，则其底面为边长为4的正三角形，高为6，三棱柱的中心到期6个顶点的距离即为外接球的半径，因为三棱柱的底面是边长为4正三角形，所以底面三角形的中心到底面的三个顶点距离为 ，三棱锥的外接球半径即为该三棱柱的外接球的半径，所以外接球的表面积为 ，故选A.【点睛】本题考查三视图与直观图，几何体外接球表面积，首先利用三视图与直观图的关系还原出直观图，然后再利用外接球半径与几何体各棱长之间的关系解出外接球半径，即可求出所需外接球表面积。9.设为坐标原点，点为抛物线：上异于原点的任意一点，过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设点，点，则，.过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段的中点直线的方程为.联立，解得，即.故选C.10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，则函数在区间上的所有零点的和为A. 10 B. 8 C. 16 D. 20【答案】B【解析】【分析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。【详解】因为函数为定义域为的奇函数，所以 ，又因为，所以，可得，即函数是周期为4的周期函数，且 图像关于直线对称。故在区间上的零点，即方程 的根，分别画出与的函数图像，因为两个函数图像都关于直线对称，因此方程的零点关于直线对称，由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为，则，所以所有零点和为8,故选B。【点睛】本题考查方程解的个数（或函数零点个数）问题，利用函数的奇偶性对称性解决这一类问题。11.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意求得的值，写出函数的解析式，求出图像的对称轴，得出的值，再求出的值。【详解】由函数的图像过点，所以，解得，又，所以，所以；的图像向左平移各单位后为：，由两图像完全重合可得，所以，;又因为在单调，所以，所以，所以；所以，其图像对称轴位，即，；当，其对称轴为，因为，所以，所以，故选C。【点睛】本题主要考查三角函数图像与性质以及函数图像变化，主要利用三角函数的对称性和周期性解决此类题目。12.在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目易得三棱锥底面积已知，故而只需找到高便可求出三棱锥体积，然后转化为函数，利用函数找到三棱锥高的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值。【详解】因为在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，所以,所以,即 ,令点P在DC上的投影点为O，所以，整理得，根据函数单调性可得当时，有最大值为16，所以 的最大值为，因为,所以三棱锥体积最大值为：，故选D。【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】将平方后运算出结果再开方即可得到答案【详解】由题意得，将向量,的夹角为，代入上式得【点睛】本题考查的模长，这一类题型直接平方转化为数量积和向量的平方求解，注意：。14.已知满足则最大值为_【答案】4【解析】【分析】由不等式组画出可行域，然后将目标函数转化为，求出函数的截距，题目所求z即为截距的二倍，求出其最大值即可。【详解】根据不等式组画出可行域如下：将目标函数化成，即该直线在y轴上的截距的二倍即为z的值，由上图可知，截距的最大值为2，故z的最大值为4，答案即为4.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。做该类题目需要注意的是：一、准确无误的做出可行域；二、画函数所对应直线时，需注意与约束条件中直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界点上取得。15.在中，是边上一点，的面积为，为锐角，则_【答案】.【解析】在ABC中，B=，AC=，D是AB边上一点，CD=2，ACD的面积为2，ACD为锐角，SACD=sinACD=2，解得sinACD=，cosACD=，由余弦定理得到AD=，由正弦定理, 又因为 故答案为：点睛: 本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦.16.已知实数，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的平方，进而求出的最小值【详解】因为实数满足，所以，所以点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的平方，最小值即为曲线上与直线平行的切线，因为，求曲线上与直线平行的切线即，解得 ，所以切点为，该切点到直线的距离，就是所求两曲线间的最小距离，所以的最小值为 。【点睛】本题考查曲线与直线间距离的最小值，即为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离。三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前100项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）已知数列与其前n项和的递推式为，当时，便可得到，当时，可得到，利用两式作差便可得到数列为公比为-1的等比数列，从而写出数列的通项公式；（2）根据第一问求出的的通项公式写出的通项公式，然后利用裂项相消的求和方法便可得到最后【详解】（1) 得，当时，当时，两式作差得，整理得，所以是首项为1，公比为1的等比数列，故。(2)由题意，. .【点睛】本题第一问考查求解数列通项公式的方法，我们需掌握：，需注意：当角标出现时，必须保证角标大于0，第二问考查数列求和方法之一的裂项相消，需要注意：消除后前后所剩余项相等，符号相反。18.如图，在四棱锥中，平面，平面，（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）需证明平面平面，只需证明平面内的一条直线垂直于平面ABP即可。（2）找到过某一点两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，然后分别写出所需向量坐标便可求出所需结果。【详解】（1）平面，平面，平面平面，分别取中点，连接则，所以四边形为平行四边形.，平面，平面平面，平面平面 （2）由（1）可得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图，则由已知条件有：平面的一个法向量记为，则从而【点睛】本题考查面面垂直，证明面面垂直只需证出线面垂直即可：求线面角需注意线面角的取值范围是，而两向量夹角为；在建立空间之坐标系时需注意的三轴之间两两垂直。19.已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程；（2）过点P（0，1）作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据长轴长为6便可直接求出a的大小，然后因为椭圆和已知圆均关于x轴对称，便可得到交点坐标，然后利用待定系数法即可得到椭圆方程。（2）设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得AB中点M的坐标，利用即可求得m的表达式，利用基本不等式性质，即可求得m的取值范围。【详解】（1）由题意可得，所以由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得所以椭圆的方程为 （2）直线的解析式为，设，的中点为假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则由得，故，所以， 因为，所以，即，所以 当时，所以综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为【点睛】关于圆锥曲线方程求解常见方法：一、直接法；二、定义法；三、待定系数法；四、代入法。解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式关系，从而确定参数取值范围；利用已知参数的范围，求解新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；利用隐含的不等式关系建立不等式，从而确定参数取值范围；利用一直不等式关系建立不等式，从而确定参数取值范围；利用函数的值域的方法将待求量表示为其他变量函数，求其值域，从而确定参数取值范围。20.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。（1）若某送餐员一天送餐的总距离为120千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数）（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份10元。(i)记X为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望；(ii)若送餐员一天的目标收入不低于180元，试估计一天至少要送多少份外卖？【答案】（1）51；（2）(i)4.7；(ii)39【解析】【分析】（1）直接求出平均送餐距离，然后求出平均送餐分数即可。（2）(i)确定X的取值，分别求出其概率，然后列出分布列，求出期望值。(ii)利用期望值，根据收入不低于180元直接计算出送出分数即可。【详解】(1)估计每名外卖用户的平均送餐距离为： =2.35千米所以送餐距离为120千米，送餐份数为：份； （2）（）由题意知X的可能取值为：3，5，10，所以X的分布列为：X3510P所以E（X）=（3）180份所以估计一天至少要送39份外卖。【点睛】本题考查期望分布列的求解及其应用，只需分别求出其概率便可以得出结果。21.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【试题分析】(1)当时,故函数在上单调递增.当或时,利用导数求得函数的单调区间.(2) 由（）可知若函数存在极大值，则，且，解得， 由此求得函数的表达式.将所要证明的不等式转化为证.构造函数,利用二阶导数求得函数的最小值大于或等于零.【试题解析】（）由题意，当时，函数在上单调递增；当时，函数单调递增，故当时，当时，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增； 当时，函数单调递减，故当时，当时，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减（）由（）可知若函数存在极大值，则，且，解得， 故此时，要证，只须证，及证即可，设，令，所以函数单调递增，又，故在上存在唯一零点，即所以当， 当时，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，故，所以只须证即可，由，得，所以，又，所以只要即可，当时，所以 与矛盾，故，得证（另证）当时，所以 与矛盾；当时，所以 与矛盾；当时，得，故 成立，得，所以，即【点睛】本题主要考查导数与单调性,考查利用导数证明不等式. 不等式的恒成立问题和