2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合，则 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，则，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则复数= （）A. 1+i B. 1i C. 1+i D. 1i【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数2i1+i=2i1i1+i1+i=1+i，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在极坐标系中，曲线=2cos是（ ）A. 过极点的直线 B. 半径为2的圆C. 关于极点对称的图形 D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】试题分析：=2cos2=2cosx2+y2=2x(x1)2+y2=1,表示圆心为(1,0),半径为1的圆，关于极轴对称的图形，所以选D.考点：极坐标4.“=6+2k(kZ)”是“cos2=12”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若cos2=12，则，所以“=6+2k(kZ)”是“cos2=12”的充分而不必要条件。考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。此题为基础题型。视频5.若偶函数fx xR满足fx+2=fx且x0,1时,fx=x,则方程fx=log3x的根的个数是( )A. 2个 B. 4个 C. 3个 D. 多于4个【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中画出函数y=fx和函数y=log3x的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数fx满足fx+2=fx，所以函数的周期为2，又当x0,1时，fx=x，故当x1,0)时，fx=x，则方程fx=log3x的根的个数，等价于函数y=fx和函数y=log3x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程fx=log3x有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程fx=log3x的根的个数，转化为函数y=fx和函数y=log3x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边经过点M（cos8，sin8），且02，则=（）A. 8 B. 38 C. 58 D. 78【答案】D【解析】【分析】由题意，根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，得到cos=cos78，即可求解，得到答案.【详解】由题意角的终边经过点M（cos8，sin8），且00），若对任意的x12，2，总存在x22，2使得f(x1)=g(x2)，则实数m的取值范围是（）A. 3e2,13 B. e2,+) C. 13,e2 D. 13,+)【答案】B【解析】【分析】由题意，可得fx在2,2的值域包含于函数gx的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数fx=ex(x1)的导数为fx=xex，当x0时，fx0，则函数fx为单调递增；当x0时，fx0)在2,2递增，可得gx的值域3m,m，由对于任意的x12,2，总存在x22,2，使得f(x1)=g(x2)，可得1,e23m,m，即为3m1me2，解得me2，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为fx在2,2的值域包含于函数gx的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在ABC内部或边界上运动，则AMBP的取值范围是（）A. 1,0 B. 12,0 C. 34,12 D. 34,0【答案】D【解析】如图，由AB=1，BC=2， 可得AC=3， 以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，3）， 直线BC方程为x+y3=1 ，则直线AM方程为y=33x， 联立，解得：M（34，34）， 由图可知，当P在线段BC上时，AMBP 有最大值为0，当P在线段AC上时，AMBP有最小值，设P（0，y）（0y3），AMBP=（34，34）（1，y）=34+34y34 AMBP的范围是-34，0故选D【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列. 若a1=1，则S3=_.【答案】7 ；【解析】【分析】由题意，设等比数列an的公比为q，由4a1，2a2，a3成等差数列，求得q=2，进而求解数列的和.【详解】由题意，设等比数列an的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，即4a2=4a1+a3，则4a1q=4a1+a1q2，又由a1=1，所以q24q+4=0，解得q=2，所以S3=a1+a1q+a1q2=1+2+4=7.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前n项和公式的应用，其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.10.设函数f(x)=x+1x,x0,x24x,x0时，f(x)=x+1x，f(x)=11x2，由f(x)=0得x=1，（负值舍去），因此当x(0,1)时，f(x)0；从而函数f(x)在x=1取极小值为2；当x0时，f(x)=x24x，因此当x(2,0)时，f(x)单调递减；当x(,2)时，f(x)单调递增；从而函数f(x)在x=2取极大值为4； 从而函数f(x)的极小值是2考点：分段函数求值，函数极值11.函数f(x)=sin(2x+)(0)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则=_（请写出符合题意的一个值）【答案】3【解析】【分析】由题意，根据三角函数的图象变换，得到函数gx=sin(2x2)，结合给定的函数的图象得f(8)=g(1724)，列出方程即可求解.【详解】由题意，函数fx=sin2x的图象向右平移个单位，得到gx=sin(2x2)，结合给定的函数的图象可知，f(8)=g(1724)，即sin(217142)=22，可得17122=34+2k,kZ，即=3k,kZ，当k=0时，=3.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数图象变换得到函数gx的解析式，再结合图象，得到相应的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x22ax+a，其中aR f(12)=_；若f(x)的值域是R，则的取值范围是_【答案】 (1). 14 (2). (,01,+)【解析】【分析】利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；由fx的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.【详解】由题意，函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx=x22ax+a，则f(12)=f(12)=(12)22a12+a=14；若函数fx的值域为R，由函数的图象关于原点对称，可得当x0时，函数fx=x22ax+a的图象与x轴有交点，则=(2a)24a0，解得a0或a1，即实数的取值范围是(,01,+).【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知函数f(x)=3sin(2x+6)2sinxcosx+1.（）求函数f(x)的单调递增区间；（）当x4,4时，求函数f(x)的最大值和最小值.【答案】（）k512,k+12,kZ；（）见解析.【解析】【分析】（）由题意fx=sin(2x+3)+1，根据三角函数的图象与性质，即可求解；（）由题意x4,4，得2x+36,56，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（）f(x)=3(32sin2x+12cos2x)-sin2x+1=12sin2x+32cos2x+1 =sin(2x+3)+1由2k-22x+32k+2，得k-512xk+12，所以，函数f(x)的单调递增区间是k-512,k+12,kZ；（）f(x)=sin(2x+3)+1，由x-4,4，得2x+3-6,56，当2x+3=2，即x=12时，f(x)有最大值f(12)=1+1=2；当2x+3=-6，即x=-4时，f(x)有最大值f(-4)=-12+1=12；【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.16.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a8=4，a13=14.（）求数列an的通项公式；（）求Sn的最小值及相应的n的值；（）在公比为q(q1)的等比数列bn中，b2=a8，b1+b2+b3=a13，求q+q4+q7+q3n+4.【答案】（）an=2n12;（）见解析. （）27(23n+61).【解析】【分析】（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，根据题意，求得a1,d的值，即可求解.（）由（），令an0，即2n120，解得n6，得到当n5时，an0，即可求解.（）依题意，列出方程，求得q=2，得到数列是以2为首项，8为公比的等比数列，即可求解.【详解】（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知可得a1+7d=4，a1+12d=14， 解得d=2，a1=-10. 所以an=-10+2(n-1)=2n-12. （）令an0，即2n-120，解得n6， 所以，当n=1,2,3,4,5时，an0.所以，当n=5或n=6时，Sn最小，S5=S6=52(a1+a5)=52(-10-2)=-30. （）依题意，b1q=4，b1+b1q+b1q2=14，即b1q=4，b1+4q=10，消去b1，得2q2-5q+2=0，解得q=2或q=12（舍）， 当q=2时，所求数列是以2为首项，8为公比的等比数列，所以，q+q4+q7+q3n+4=27(23n+6-1)；【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.17.在锐角ABC中，b，分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a2bsinA=0（）求角B的大小；（）若a+c=5，b=7，求ABC的面积【答案】(1)B=3；（2）SABC=12acsinB=332【解析】本试题主要是考核擦了解三角形的运用。（）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，将b，c及cosA的值代入即可求出值解：(1)3a=2bsinA由正弦定理得3sinA=2sinBsinA所以sinB=32因为三角形ABC为锐角三角形，所以B=3（2）由余弦定理b2=a2+c22accosB得a2+c2ac=7a+c=5所以ac=6所以SABC=12acsinB=33218.已知函数f(x)=12ax2+lnx.（）当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；（）求函数f(x)的单调区间；（）求证：当a=1时，函数f(x)的图像与函数g(x)=23x3的图像在区间1,+)上没有交点.【答案】（）y=2x32；（）见解析；（）见解析.【解析】【分析】（）当a=1时，求得函数的导数，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解； （）由题意，求得f(x)，利用导数即可求解函数的单调区间.（）令h(x)=g(x)f(x)=23x312x2lnx，利用导数得到函数的单调性和最值，即可作出证明.【详解】（）当a=1时，函数f(x)在x=1处的切线方程是y=2x-32；（）f(x)=ax+1x，当a0时，函数f(x)的单调增区间是(0,+)；当a0，所以h(x)0恒成立，所以两个图像没有交点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.已知函数f(x)=lnxx+a在x=1处的切线与直线y=12x平行.（）求实数的值；（）如果函数g(x)=(x+1)f(x)mx在区间1e,e2上有两个零点，求实数m的取值范围；（）求证：函数f(x)有极大值，而且f(x)的极大值小于1.【答案】（）a=1；（）m2e2,1e)；（）见解析.【解析】【分析】（）求得f(x)，又由函数f(x)在x=1处的切线与直线y=12x平行，得f(1)=12，即可求解.（）利用导数，求得函数的单调性与极值，使得函数g(x)在区间1e,e2上有两个零点，即可求解.（）令g(x)=1+1xlnx，求得g(x)，得函数g(x)在(0,+)上单调递减，g(1)0，g(e2)0，得到存在唯一的x0(1,e2)，进而求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（）f(x)=1x(x+a)-lnx(x+a)2=1+ax-lnx(x+a)2，因为函数f(x)在x=1处的切线与直线y=12x平行，所以f(1)=1+a(1+a)2=12，解得a=1；当a=1时，函数f(x)在x=1处的切线是y=12x-12，与直线y=12x平行，符合题意；所以a=1；（）两种方法，m2e2,1e)；（）f(x)=lnxx+1，f(x)=1+1x-lnx(x+1)2，令g(x)=1+1x-lnx，g(x)=-1x2-1x0，g(e2)=1e2-10，当x(x0,+)时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0,x0)，单调递减区间是(x0,+)，其中x0(1,e2)，所以函数f(x)有极大值.函数f(x)的极大值是f(x0)=lnx0x0+1，由f(x0)=0，得1+1x0-lnx0=0，所以f(x0)=lnx0x0+1=1+1x0x0+1=1x0，因为x0(1,e2)，所以1x01，即f(x0)1，所以，f(x)的极大值小于1.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及导数的利用导数研究函数的恒成立与有解问题，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题20.已知数集A=a1,a2,.,an(1=a1a2.an,n2)具有性质P:对任意的k (2kn),i,j(1ijn),使得ak=ai+aj成立.（）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P,并说明理由;（）求证an2a1+a2+.+an1(n2);（）若an=72,求数集A中所有元素的和的最小值.【答案】（1）具有（2）见解析（3）最小值为147【解析】试题分析：（1）利用性质P的含义及特例可判断数集1,3,4不具有性质P，数集1,2,3,6具有性质P（2）数集A具有性质P可得an-12an-2，an-22an-3，a32a2，a22a1，将上述不等式相加得a2+an-1+an2(a1+a2+an-1)，化简得an2a1+a2+an-1，即为所求（3）由a1=1及性质P可得a2=2a1=2，从而易知数集A的元素都是整数，构造A=1,2,3,6,7,18,36,72或者A=1,2,4,5,9,18,36,72，此时元素和为147，然后再证明147是最小的和试题解析：（1）31+1，数集1,3,4不具有性质P2=1+1，3=1+2，6=3+3，数集1,2,3,6具有性质P（2）集合A=a1,a2,an具有性质P:即对任意的k(2kn)，i，j(1ijn)使得ak=aj+ai成立，又1=a1a2an，n2，aiak，