高等代数课件

第一章行列式第一讲数环和数域（Numberringandnumberfield）本讲的教学目的和要求周知，在证书范围内可以进行加、减、乘三种运算，但两个整数的商却不一定是整数，也就是说在整数范围内，除法不是永远可以实施的。但在有理数内，不仅可以进行加、减、乘三种运算，而且可以实行除法（除数不为零）。在实数范围内也同样可以实现这四种运算。这两种不同结果的数集也是正是本讲需要研究和讨论的。我们要求学生能掌握数环和数域这两个代数系统的特征和区别，能熟练的辨别一个数集是否为数环或数域并能把握一批实例。本讲的叫重点和难点能叫熟练的论证（或反证）一个数集是数域（或不是数域）往往是初学者需要认真训练的基本功。类似例3的推导思想和证明过程的套路并不是能轻易掌握的。,数环和数域的概念定义1.设S是复数集C的一个非空子集。如果对S中任意两个数a，b来说都在S中，那么就称S是一个数环。说明1.整数集Z，有理数集Q，实数集R和复数集C都是数环例1.取定一个整数a，令,那么S是一个数环。证明：虽然S是C的一个非空子集。现设,则,那么证明S是一个整环。说明2.在例1中，如果，那么S就是全体偶数组成的数环特别若时，那么是由单独一个数0组成的数环。思考题在例1中，若数a不是整数时，S一定是数环吗？,例2设,那么S是一个数环。证明S显然非空。,则那么注意1.如果将Z换成Q或者R，例2的结论仍成立。,定义2设F是一个数环。如果（1）F中至少有一个非零的数；（2），那么称发生一个数域。说明3有理数集Q，实数集R和复数集C都是数域。但整数集Z不是数域（为什么？）例1和例2中的数环也不是数域（为什么？）,例3.设，那么F是一个数域。证明先证F是一个整环。F显然非空。设那么因为a,b,c和d都是有理数，所以a+c，b+d也是有理数，因而。同理,再证F满足数域定义中的条件。（1）因为即F中含有非零的数（2）设,那么。否则，若,当d=0时，可推出c=0,也就是说与矛盾；当d0时，可得与是无理数相矛盾。因此。这就证明了F是一个数域。注意2若将例3中的换成其中n为非完全平方数），可类似的证明结论仍成立。因为这样的n有无限个，所以数域也有无限个。但数域并不都是这种形式。,二.数环和数域的性质性质1.任何数环都含有数零。证明.设S是一个数环。由定义知。设aS，那么。性质2.任何数域都含有数0和数1。证明.设F是一个数域，那么F必是数环，故知0F。又因F中含有非零的数，不妨设这个数是a0，那么。性质3.任何数域F都包含有理数域Q。证明因F是数域，由性质2知，1F。由1与它自身重复相加，可知全体正整数还在F中。再由性质2得，0F，即F含有0与任一个正整数的差，亦即F含有全体负整数。当然F也应该含有任意两个整数的商（分母0），故注意3.在性质3的意义下，可以认为，有理数域Q是所以数域F中的最小数域。,课堂练习1.证明：如果数环S0，那么S必含有无限多个数。2.证明：是一个数环，但不是数域。3.证明：两个数环（域）的交仍是数环（域）；它们的并还是数环（域）吗？为什么？,第二讲n阶行列式的概念（conceptofdeterminantofrankn）本讲的教学目的和要求为了解决方程组的系数来表述方程组求解的有关问题，我们引进行列式作为工具。本讲首先要求能理解：为了把二、三阶行列式推广，就必须确定展开式中各项符号的规律，因此排列的引入就成了自然的问题，而排列的奇偶性正是确定符号的关键。其次，要吃透从二、三阶行列式的结构规律推广到阶行列式的方法，能总结出阶行列式展开中的关键要素。本讲的教学重点和难点本讲的重点和难点在于1、理解反序、反序数、偶排列和奇排列及对换等概念；2、能迅速地判断排列的奇偶性；3、能准确地辩识某项是否为展开式中的项；4、能灵活地计算出特殊行列式（三角形、上、下三角形）的值。,一、定义：用符号表示的n阶行列式指的是n!的代数和，这些项是一切可能的取自不同行不同列上的n个元素的乘积。,项的符号为，也就是说，当是偶排列时，这一项的符号为正，当是奇排列时，这一项的符号为负。,二、基本性质1.如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。2.把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数，等于以数乘这个行列式。3.一个行列式有某一行（列）所有元素的公因子可以提取到行列式符号的外边。4.如果一个行列式中有一行（列）的元素全部都是零，这个行列式等于零。5.如果一个行列式有两行（列）对应元素成比例，那么这个行列式等于零。,6.设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和，那么D等于与的和，其中的第i行的元素是，第i行的元素是，而与的其它各行都和D的一样。即同样的性质对于列来说也成立。,7.把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。8.范得蒙行列式：,三、行列式展开定理1、k阶子式：在一个行列式D中任意取k行k列，位于这些行列相交处的元素所构成的阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式。2、余子式：n行列式的某个元素余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的阶子式。,3.代数余子式：n行列式D的元素的余子式附以符号后，就叫做的代数余子式，即。4.行列式D等于它任意一行（列）的所有元素与它们的对应的代数余子式的乘积的和。换句划说，行列式有依行活依列的展开式：,5.行列式的某一行（列）的元素与另一行的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。换句话说,四、行列式的计算1.化为“三角”法：例2.析因子法：例,3.拆行（列）法：例4.加边法：例5.递推法：同4的例,6.利用行列式乘法法则：同3的例7.换元法：例思考题：如果一个行列式为零，是否有该行列式中一行（列）为零或两行（列）成比例。,第三讲克莱姆法则（CramersTheorem）本讲的教学目的和要求本讲将利用行列式依行（列）展开规则及有关定理，证明了克莱姆法则。这里要求能理解克莱姆法则是给出了含个未知量个方程，且系数行列式不为零的线性方程组的解的一般公式，并会在实际问题中应用克莱姆法则。本讲的教学重点和难点由于线性方程组的解的一般公式问题非常容易掌握，所以本讲的难点实际上是解高阶行列式的值。,克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式，那么方程组有解，并且解是唯一的，这个唯一解可以通过系数表为,其中必须指出，克莱姆法则是解线性方程组的基础，在理论上是重要的，学者应牢固掌握它。,第二章矩阵（Matrices）第一讲矩阵的运算（MatrixOperations）本讲的教学目的和要求矩阵的概念在讨论线性方程组时已经提出，但它不仅限于线性方程组，在自然科学，工作技术，以及生产实际中还存在大量的问题需要通过对矩整的研究而获得解决。所以矩阵成为数学中一个极其重要而且应用广泛的工具。本讲主要介绍了矩阵的加法运算，数乘运算，乘法运算和转置运算。通过这些介绍，能对矩阵这个高等代数的主要研究对象有更进一步的了解和把握。,本讲的教学重点和难点：本讲的内容相对简单，只是矩阵的乘法运算中所必备的限制可能会使初学者感到不适。一、定义：令是一个数域，用的元素作成的一个行列的矩阵叫做上的一个矩阵。也简记为。为了指明的行数与列数，有时也把它记作或。当时，叫做一个阶方阵。矩阵相等当且仅当两个矩阵的行数列相等并且对应元素也相等,二、矩阵的运算：1、矩阵的数乘：数域上的数与上的一个矩阵的乘积指的是矩阵。2、矩阵的加法：数域上两个矩阵的的和指的是矩阵。矩阵的加法性质（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）,3、矩阵的乘法：数域上矩阵与矩阵的乘积AB指的时这样的一个矩阵。这个矩阵的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和：矩阵的乘法性质：（1）注意：矩阵的乘法不满足交换律。（2）（3）是数域上的多项式，而是数域上的n阶方阵,则,4、设矩阵把的行变为列所得到的矩阵叫做矩阵的转置。矩阵的转置性质：（1）（2）（3）（4）注：性质（2）与（3）可推广到有限多个矩的情形。,思考题：设方阵A满足，则()()。对吗？课堂练习：例1.设求。解：,BA,例2.设试求与可换的所有二阶方阵。解设所求的二阶方阵为则有，即,根据矩阵的相等定义，上试成立的充要条件是即所以（其中a,c是任意常数）即为所求.,第二讲可逆矩阵和初等矩阵（InvertibleMatricesandelementaryMatrices）本讲的教学目的和要求可逆矩阵与初等矩阵在矩阵论中占有及其重要的位置。通过本讲的学习要求能熟练的掌握求逆矩阵的初等变换方法，并能了解有关逆矩阵的主要性质。同时对初等矩阵的特点和用途也要求能清晰的把握。本讲的教学重点和难点本讲的重点和难点为1.从理论上了解（A,E）（E,A）的原理。2.从技术上能熟练的计算A。3.弄清矩阵的初等变换与初等矩阵之间的联系。,一可逆矩阵（一）可逆矩阵如果有级方阵，使得，那么级方阵称为可逆矩阵，称为的逆矩阵。（二）非奇异矩阵如果有级方阵的行列式，那么称为非奇异矩阵；否则，称为奇异矩阵。二初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。具体的有：,（一）初等矩阵1.互换单位矩阵的行（列）与行（列）的位置，得（有时称它为换法矩阵）；,非零数乘的行（列），得（有时称它为倍法矩阵）；把的j行（i列）的倍加到i行（j列），得（有时称它为消法矩阵）,(二）初等矩阵的性质：可逆矩阵的逆矩阵是存在且唯一得通常以符号表示的逆矩阵。方阵是可逆矩阵秩=方阵的级数。级方阵的逆矩阵，其中（表示中元素的代数余子式，）。通常称为的伴随矩阵。,互换矩阵的行（列）与行（列）的结果，等于；把矩阵的行（列）乘以非零数c的结果，等于；把矩阵的行（列）的倍，加到行（列）的结果，等于。也就是说，对矩阵的行（列）作某种初等变换的结果，等于用同等初等矩阵去左（右）乘于。设是矩阵，且秩，则有其中都是初等矩阵，等号右端矩阵中主对角线上共有个1。,求逆矩阵的具体算法：任以可逆矩阵经过一些行（列）的初等变换化为单位矩阵，也就是说，其中都是初等矩阵，可见。即。,例求可逆矩阵的逆矩阵。解：,第三讲矩阵的分块（BlockMatrices）本讲的教学目的和要求矩阵分块是矩阵运算的一种重要的技巧，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵是常常用到。通过本讲的学习要求能从理论上了解分块矩阵的特点。尤其对分块矩阵运算的限制。本讲的教学重点和难点1.分块矩阵的乘法。2.分块矩阵的求逆。3.利用矩阵分块的技巧解决某些具体矩阵的问题。,一分块矩阵把矩阵分成如下形式的矩阵：其中是矩阵，且,式右端的矩阵叫做的一个分块矩阵，并把与分别叫做分块矩阵的第i行与第j列。每一个分块的方法叫做的一个分法。,二性质（一）设这里矩阵右边的数分别表示等式左端的小块矩阵的行数，矩阵上端的数分别表示等式左端的小块矩阵的列数，则其中式任一数；其中式任一数；,（二）设矩阵与矩阵分块矩阵式是,其中形式地按照矩阵地乘法法则则得形式乘积：其中，则。,例证明2n阶矩阵，总可以表成几个形如的矩阵的乘积。证明对矩阵作广义初等变换：用广义初等矩阵把这些变换记录下来，得所以=,第四讲向量组线性相关性（ConceptofSystemsoflinearequations）本讲的教学目的和要求本讲要求1、能理解维向量的线性组合（线性表示）及向量组的等价的概念；2、掌握向量组的线性相关性（线性相关与线性无关）的概念；本讲的教学重点和难点本讲的重点是能熟练掌握如何判断向量组的线性相关性及线性无关性。而难点是能理解线性相关性理论。,一、元向量1、定义：所谓数域P上的一个n元向量，就是指由数域P中n个数组成的有序数组，其中称为的第个分量。用小写希腊字母等来表示。2、n元向量的相等若n元向量的对应分量都相等，即，则称这两个向量是相等的，记为。,3.元向量的运算（1）设为数域P上的任意两个n元向量，那么，n元向量称为的和，记为。（2）设k为数域P上的任一数，为数域P上的任一n元向量，那么n元向量称为数k域向量的数量乘积，记为。（3）所有数域P上的n元向量组成的集合，同时考虑到定义在它们上面的加法和乘法，成为数域上的n元向量空间。,二、向量的线性组合、线性相关性、线性无关性1.向量的线性组合：是线性空间中V的向量(1)向量称为向量组的一个线性组合，如果由数域F中的数，使得当向量是向量组的一个线性组合时，我们也说向量可由向量组线性表出,(2)如果向量可由线性表出，而每一个又都可以由线性表出，则也可以被线性表出。2、线性相关：设是向量空间V的r个向量，如果存在数域F中不全为零的r个数，使得那么就说线性相关。,3、线性无关：如果不存在F中不全为零的r个数，使得成立，即等式成立当且仅当，那么就称线性无关。,三、向量组的等价1、若向量组这每一个向量都可以由向量组线性表出，那么，则称向量组可由向量组线性表出。如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。2、向量组之间的等价关系满足：反身性：每一个向量组都与它自身等价；对称性：如果向量组与向量组等价，则向量组也与向量组等价；,传递性：如果向量组与向量组等价，向量组与向量组等价，那么，向量组也与向量组等价。3、替换定理：设向量组线性无关，并且可由向量组线性表出。那么，；必要时可以适当地对中的向量重新编号，使得用替换后，所得到的向量组与向量组等价。特别地，当时，向量组与向量组等价。,四、向量组的极大线性无关组1、设是向量组中的r个向量，若：(1)线性无关；(2)向量组中的任一个向量可由线性表出，则称为向量组的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）。注意：1、当一个向量组的所有向量都是零向量时，那么这个向量组没有极大无关组。2、一个向量组与它的任一极大无关组等价。,3、等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量。特别地，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。五、向量组的秩1、所谓向量组的秩，就是指，这个向量组的一个极大无关组所含向量的个数。当一个向量组的所有向量都是零向量时，我们规定，这个向量组的秩为零。2、一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与所含有向量的个数相同。,一、矩阵的秩1、k阶子式：在一个s行t列的矩阵中，任意取k行k列，位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做这个矩阵的一个k阶子式。2、矩阵的秩：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为零。3、性质：初等变换不改变矩阵的秩。,第三章线性方程组第一讲（RankofmatrixandsolvablejugementtheoremofSystemsoflinearequations）本讲的教学目的和要求本讲的目的是真正掌握并吃透解的判定问题：如何判断一个线性方程组有没有解？有解时有多少解？同时要求能用矩阵的初等变换求出矩阵的秩；将矩阵化成阶梯规范形。本讲的教学重点和难点本讲的重点和难点是：1、熟练地应用矩阵初等变换法求出它的秩并将矩阵化成阶梯规范形；2、通过系数矩阵和增广矩阵的关系，确定数字线性方程组是否有解；3、能熟练地确定当待定系数为何值时，原线性方程组是否有解。,一、线性方程组的一般形式（一）线性方程组的一般形式其中代表未知量，称为未知量的系数，称为常数项。我们限定在数域P上讨论线性方程组。这就是说，方程组中未知量的系数和常数项都是数域P中的数。本章中谈到的数，都是指数域P中的数。,（二）所谓方程组的解，就是指由n个数组成的有序数组，当分别用代入后，中每个等式都变成恒等式。方程组的解的全体称为它的解集合。解方程组就是求出它的解的集合。（三）所谓两个线性方程组同解，就是指，第一个方程组的所有解都是第二个方程组的解，并且，第二个方程组的所有解也都是第一个方程组的解。注意：如果两个线性方程组都无解，这两个方程组被认为是同解的。,二、齐次线性方程组(一)常数项全部未零的线性方程组称为齐次线性方程组。(二)齐次线性方程组的一个最基本的性质，就是它永远有解。就是它的一个解。这个解称为的零解。若除零解外，还有其他的解，这些解都称为非零解。,三、线性方程组有解判别定理定理1、线性方程组有解当且仅当它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。定理2、线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当等于方程组所含未知量的个数时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解。,例1判断下述线形方程组有没有解?其中a,b,c,d各不相同.解:它的增广矩阵A的四阶子式式四阶范德蒙行列式.即:已知a,b,c,d各不相同,所以,因此秩.而系数行列式A只有3列,所以秩.因此,秩A秩,由定理2知,此线形方程组无解.,例2:a取怎样的数值时,线形方程组有唯一解,有无穷多解,没有解?解:先计算系数行列式.(1)当a1且a-2时,D0,根据克莱姆法则知方程组有唯一解.(2)当a=1时,系数矩阵为A,增广矩阵为,显然秩A=1,也有秩=1.所以方程组有解.又因为秩小于方程组所含未知量个数3,根据定理3知方程组有无穷多解.(3)当a=-2时,增广矩阵成为容易求得=3,秩A=2,从而秩A秩,所以原方程组无解,思考题：线性方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相比，哪个会更大些，大多少？课堂练习：1、取何值时，线性方程组有解？2、取何值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？,第二讲线性方程组解的结构（Constructionofsolutionvectorofsystemsoflinearequation）本讲的教学目的和要求线性方程组可解的判别法的推出进一步发展了线性方程组的理论本讲的目的是在线性方程组有解的前提下，讨论解的结构完备性问题（尤其是在无穷多解的情况下）。要求能熟练的利用齐次线性方程组的基础解系将解向量全部表示出来。本讲的教学重点和难点1.在齐次线性方程组有无穷多解的情况下，正确理解基础解系的概念和特点。2.能熟练的求出基础解系。3.对非齐次线性方程组的通解，能正确的认识和理解。,一、齐次线性方程组解的结构（一）齐次线性方程组若t个n元向量满足条件:1都是方程组(*)的解向量;2.线性无关;3.方程组(*)的任一解,都可以由线性表出。则称为方程组(*)的一个基础解系。,(二)齐次线性方程组的解集，有以下重要性质：1.方程组(*)的两个解的和，还是方程组(*)的解；2.方程组(*)的一个解的倍数，还是方程组(*)的解；由1，2知，方程组(*)的解的任意线性组合还是方程组(*)的解。3.若方程组(*)的系数矩阵的秩为r，且，则方程组(*)有基础解系，且一个基础解系所含解向量的个数等于。若为方程组(*)的一个基础解系，那么，方程组(*)的任一解可唯一地表为：其中为任意数。此式亦称为的一般解。由此可知，求出了方程组(*)的基础解系后，就掌握了(*)的全部解的核心，同时，也就掌握了(*)的全部解注意：当齐次线性方程组只有零解时，就不存在基础解系,二一般线性方程组解的结构（一）设一般线性方程组把方程组的常数项都换成0，就得到一个齐次线性方程组。我们称这个齐次方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（二）程组的解与它的导出组的解之间有以下关系：1方程组的的两个解的差时它的导出组的一个解；2方程组的一个解与它的导出组的一个解之和，为方程组的的一个解；,3.如果是方程组的一个特解，那么，方程组的任一解都可表成其中，时方程组的导出组的一个解。当方程组有解，且它的系数矩阵的秩为小于时，那么，方程组的任一解可表成为其中，是的一个特解，为导出组的一个基础解系，为任意数。亦称为的一般解。,例求下列方程组的一个基础解系,并求其一般解:(1)解对方程组的系数矩阵施行初等变换:,与矩阵对应的方程组为把看作自由未知量,可得令,得令由此得方程组的一个基础解系为：,故方程组的一般解为其中k1,k2为任意数。思考题：1、如果非齐次线性方程组无解，那么它的导出组的解如何？2、如果非齐次线性方程组有无穷多解，那么它的导出组的解如何？3、如果非齐次线性方程组的导出组有无穷多解，那么该非齐次线性方程组是否也有无穷多解？,课堂练习：解线性方程组：,第四章多项式（Polynomials）第一讲一元多项式的运算和整除性（Operationanddivisibilityofpolynomial）本讲的教学目的和要求多项式不仅是中学代数的主要内容，也是代数学中的一个基本的研究对象。关于多项式的一些重要结论，不但在解决实际问题时常常用到，在进一步学习代数和其它学科时也会常遇到。多项式理论中的一些论证和思考问题的方法，对于进一步学习其他数学方向也有启发作用。本讲的教学目的是要求学生能了解在一般数域上纯形式地讨论一元多项式的一般理论；对多项式的运算、次数、整除及整除的性质能有所充分的了解。本讲的教学重点和难点本讲的重点主要在于1、一元多项式的和与积的次数定理。2、一元多项式整除的概念和性质。3、一元多项式的带余除法。,一元多项式1.一元多项式的定义：数环上一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式这里n是非负整数而都是中的数。特别：零多项式是唯一没有定义次数的多项式2.多项式相等：若是整环R上两个一元多项式和有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么和说是相等：。,3.多项式的加法和乘法如果(1)加法：（如果nm）(2)乘法：,性质：当时，加法交换律、乘法交换律成立：,加法结合律、乘法结合律成立：加法消去律、乘法消去律成立：乘法对加法的分配律成立：,二、带余除法：使得例1、设除时，余式，求系数a,b。例2、设，,求除以的商和余式。,三、综合除法例3、以除，求商和余式。例4、用综合除法将按的方幂展开。四、整除性1.整除的定义：如果，则。,。,2.整除的性质：；。3.整除的判别定理：。,思考题：1.当适合什么条件时，。2.课堂练习：1.如果不整除与，是否一定有不整除。2.作与，使得不整除与，但,第二讲一元多项式的最大公因式（Thegreatestcommondivisorofpolynomial）本讲的教学目的和要求多项式的公因式及最大公因式的概念是多项式理论中最基本的知识点。本讲要求能完全掌握最大公因式的基本概念、二个多项式互素的含义、二个（乃至更多个）多项式的最大公因式的求法（展转相除法）。本讲的教学重点和难点本讲的重点是能灵活的应用展转相除法准确地求出最大公因式以及求出满足线性组合式中的多项式和；而比较困难的是对最大公因式概念的准确理解和把握，比如最大公因式的唯一性问题、首一问题、互素多项式的判断和有关性质等。,一、最大公因式定义1、是与的最大公因式，如果定义2、是与的最大公因式，如果,二、性质：1、注：不要求是除以的商和余式。2、的任意两个多项式与一定有最大公因式。除一个零次因子外，与的最大公因式是唯一的，这就是说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与的乘积，而且只有这样的乘积是与的最大公因式。,注：如果是一个包含数域的数域，从数域过渡到时，与的最大公因式没有改变。3、4、若例1、设求，并求,思考题：课堂练习：1、设，求，并求2、设，则。3、是首项系数为1的多项式，则,第三讲一元多项式的因式分解定理（Thefactorizationtheoremofpolynomial）本讲的教学目的和要求多项式的分解是多项式理论的核心，在某种意义上说，前面讨论的一些概念和性质是为本讲做准备的。在中学代数里我们学过一些具体的方法，把一个多项式分解为不能再分解的因式的乘积。但那里并没有深入地讨论这个问题。那里所谓不能再分，常常只是指我们自己看不出怎样再分下去的意思，并没有严格论证它们确实不能在分。本讲的目的就是要能从理论上真正弄清“不能再分”的实质以及与其有关的性质。本讲的教学重点和难点本讲的重点在于对因式分解定理的理解和证明过程的把握。难点是在掌握了因式分解定理后能迅速地给出多项式的典型分解式并利用它解决求最大公因式及最小公倍式的问题。,一、不可约多项式定义1、设是数域上的次数1的多项式，且它不能表成两个在P上的次数比它低的多项式的乘积，则称为P上的不可约多项式，简称不可约多项式。否则，称为可约多项式。二、k重因式定义2、设是不可约多项式，,但不整除，则称是的k重因式。特别地，当k=1时，称是的k单因式，当k1时，称是的k重因式。,三、性质1、设是不可约多项式，则(p是p中非零数)也是P上不可约多项式。2、设是不可约多项式，则对任一多项式，或(，)=1或。3、设是不可约多项式，且，则或。4、因式分解存在唯一性定理，数域