2019届高三数学下学期模拟试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学下学期模拟试卷 理(含解析)本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I卷1-3页，第卷3-4页，共150分，测试时间120分钟。注意事项：选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.一、选择题（本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则A. （0，1） B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合A，B，结合交集的定义进行求解即可【详解】Ax|x21x|1x1，Bx|2x1x|x0，ABx|0x1（0，1），故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据交集的定义是解决本题的关键2.设i是虚数单位，是复数的共扼复数，若z=1+2i，则复数z+iz在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把已知z代入z+i，利用复数代数形式的乘法及加法运算化简，求得坐标得答案【详解】z1+2i，z+iz=1+2i+i（12i）1+2i+i+23+3i复数z+i在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限故选：A【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知a，b都是实数，那么“12ab2”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由“（12）a（12）b得ab，当a1，b1时，满足ab，但a2b2不成立，即充分性不成立，当a1b0时，满足a2b2，但“（12）a（12）b不成立，即必要性不成立，则“（12）a（12）b”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故选：D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键4.在平面直角坐标系xOy中，Ma,b为不等式组x+y22x3y9x9所表示的区域上任意动点，则b1a4的最大值为A. 14 B. 34 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，b-1a-4可以看作区域内的点与点D（4，1）连线的斜率，由此求出斜率的最大值即可【详解】画出不等式组x+y22x-3y9x0表示的区域，如图所示；M（a，b）是阴影区域内的任意点，则b-1a-4可以看作区域内的点与点D（4，1）连线的斜率；当直线过点C时，斜率值最大，由x+y=22x-3y=9，解得C（3，1），b-1a-4最大值为-1-13-4=2故选：D【点睛】本题考查了不等式组表示平面区域和简单的线性规划问题，也考查了数形结合与转化思想，是基础题5.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知fx=2019x2018+2018x2017+.+2x+1，程序框图设计的是求fx0的值，在M处应填的执行语句是A. n=i B. n=2019i C. n=i+1 D. n=2018i【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】由题意，n的值为多项式的系数，由xx，xx，xx直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入nxxi故选：B【点睛】本题考查的知识点是对程序框图功能的理解，当循环的次数不多，或有规律时，也常采用模拟循环的方法解答6.双曲线x2a2y2b2=1a0,b0，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1k2=14，则双曲线离心率为A. 52 B. 2 C. 5 D. 25【答案】A【解析】【分析】设出点M，点N，点P的坐标，求出斜率，将点M，N的坐标代入方程，两式相减，再结合kPMkPN=14，即可求得结论【详解】由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1）kPMkPN=y2-y1x2-x1y2+y1x2+x1=y22-y12x22-x12，x12a2-y12b2=1，x22a2-y22b2=1，两式相减可得y22-y12b2+x12-x22a2=0，即y22-y12x22-x12=b2a2，kPMkPN=14，b2a2=14，b2=a24，e=ca=a2+b2a=52故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，属于中档题7.某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是0,5,5,10,35,40，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）【答案】B【解析】0,5) 上人数为0.01520=1 ,去掉A; 5,10) 上人数为0.01520=1 ; 20,25) 上人数为0.04520=4 ,去掉C,D;所以选B.8.将函数fx=sin2x+3cos2x的图象向左平移6个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到y=gx的图象，则关于y=gx的图象，下列结论不正确的是A. 周期为2 B. 关于点12,0对称C. 在524,12单调递增 D. 在6,4单调递减【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式先进行化简，结合三角函数的图象关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可【详解】f（x）sin2x+3cos2x2（12sin2x+32cos2x）2sin（2x+3），将函数f（x）sin2x+3cos2x的图象向左平移6个单位，得到y2sin2（x+6）+32sin（2x+23），再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，（极坐标不变），得到yg（x）的图象，则g（x）2sin（4x+23），则函数的周期T=24=2，故A正确，g（12）2sin（412+23）2sin（3+23）2sin0，即函数关于点（12，0）对称，故B正确，当-524x-12，则-564x-3，则-64x+233，设t4x+23，则y2sint在-6，3为增函数，故C正确，6x4，则234x，则434x+2353，设t4x+23，则y2sint在43，53上不单调，故D错误，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题9.在ax12的展开式中，x5项的系数等于264，则1a1x+2xdx等于A. 2+ln2 B. ln2+3 C. 3ln2 D. 2ln2【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为5求得r,则可求得a值，再求解定积分得答案【详解】（a-x）12的展开式的通项为Tr+1=C12ra12-r(-x)r=(-1)ra12-rC12rxr2由r2=5，得r10a2C1210=264，解得a2（舍）或a21a（1x+2x）dx=12(1x+2x)dx=（lnx+x2）|12=ln2+4ln11ln2+3故选：B【点睛】本题考查二项式系数的性质，考查定积法的求法，是基础题10.如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是A. 312 B. 313 C. 232 D. 233【答案】C【解析】【分析】设一个内切圆的半径为r，把两个正三角形的边长均用r表示，再由相似三角形面积比为相似比的平方求解【详解】如图，设一个内切圆的半径为r，则AHBG=3r，则MNGH2r，ABAH+BG+GH2（3+1）r，正三角形MNP与正三角形ABC相似，则在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是：P=SMNPSABC=(MNAB)2=(2r2(3+1)r)2=2-32故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查平面几何知识的应用，是中档题11.已知定义在R上的函数fx满足：（1）f2x=fx；（2）fx+2=fx2；（3）x1,x21,3时，x1x2fx1fx2f2019f2020 B. f2020f2018f2019C. f2020=f2018f2019 D. f2018f2019=f2020【答案】C【解析】【分析】根据已知可得函数 f （x）的图象关于直线x1对称，周期为4，且在1，3上为减函数，进而可比较f（xx），f（xx），f（xx）的大小【详解】函数 f （x）满足：f（2x）f（x），故函数的图象关于直线x1对称；f（x+4）f（x），故函数的周期为4；x1，x21，3时，（x1x2）f（x1）f（x2）0故函数在1，3上为减函数；故f（xx）f（2），f（xx）f（3），f（xx）f（0）f（2），故f（xx）f（xx）f（xx），故选：C【点睛】本题考查的知识点是函数的对称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键，属于中档题12.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的长AB=4，宽BC=4，高AA1=3，点M，N分别是BC，C1D1的中点，点P在上底面A1B1C1D1中，点Q在A1N上，若PM=13，则PQ长度的最小值是A. 52 B. 325 C. 6552 D. 355【答案】C【解析】【分析】取B1C1的中点O，则POM为直角三角形，即点P在以O为圆心，半径为2的圆在正方形A1B1C1D1内的弧上，PQ长度的最小值等于圆心到A1N的距离减去半径2，再由条件求得圆心到A1N的距离即可.【详解】取B1C1的中点O，则POM为直角三角形，PM=13，OP2，即点P在以O为圆心，半径为2的圆在正方形A1B1C1D1内的弧上，PQ长度的最小值等于圆心到A1N的距离减去半径2，A1NO的面积S44-1242-1224-1222=6，又A1NO的面积S=12A1Nd=6d=655，PQ长度的最小值是655-2故选：C【点睛】本题考查了空间动点轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题第卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共计20分）13.已知a=2,1），b=k,3，若a+ba，则在b方向上射影的数量_.【答案】-1【解析】【分析】a+b=（2+k，4），由（a+b）a，可得（a+b）a=0，解得k，再运用投影的公式可得a在b方向上射影的数量【详解】a+b=（2+k，4），（a+b）a，（a+b）a=2（2+k）+40，解得k4b=（4，3）则a在b方向上射影的数量=ab|b|=-8+3(-4)2+32=-1故答案为：1【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14.已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F，其准线与双曲线y2x23=1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p=_.【答案】2【解析】【分析】由题可得A（-p2，p3），代入双曲线y2-x23=1，即可得解.【详解】如图，可得A（-p2，p3），代入双曲线y2-x23=1可得p23-p234=1，解得p2，故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线、双曲线的方程，属于基础题15.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为_【答案】12【解析】由三视图知：几何体是三棱锥，如图三棱锥SABC，其中SD平面ACBD，四边形ACBD为边长为2的正方形，SD=2，外接球的球心为SC的中点，外接球的半径R=4+4+42=3，外接球的表面积S=43=12因此，本题正确答案是：1216.三角形ABC中，AB=2，AC=1，以B为直角顶点作等腰直角三角形BCD（A、D在BC两侧），当BAC变化时，线段AD的长度最大值为._.【答案】3【解析】【分析】ABC中由正弦定理得BDsinABCsinBAC，在ABD中由余弦定理得AD2BD2+AC22BDABcos（90+ABC），可化为5+4sin（BAC45），由此可求得答案【详解】如图所示ABC中，AB=2，AC1，由正弦定理得ACsinABC=ABsinACB=BCsinBAC，BCsinABCACsinBAC，BDsinABCsinBAC；ABD中，AD2BD2+AB22BDABcos（90+ABC）BD2+2+22BDsinABCAC2+AB22ACABcosBAC+2+22sinBAC522cosBAC+22sinBAC5+4sin（BAC45），当BAC135时AD2最大为9，AD最大值为3，故答案为：3【点睛】本题考查了正弦、余弦定理及其应用问题，考查了三角恒等变换问题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设Sn为数列an的前n项和，且a1=1，当n2时，n1an=n+1Sn1+nn1,nN*.（I）证明：数列Snn+1为等比数列；（）记Tn=S1+S2+.+Sn，求Tn.【答案】（I）见解析（）Tn=n-12n+1+2-nn+12【解析】【分析】（I）当n2时，（n1）an（n+1）Sn1+n（n1），nN*可得（n1）（SnSn1）（n+1）Sn1+n（n1），化为：Snn+12（Sn-1n-1+1），S11+12即可证明（II）由（I）可得：Snn+12n，可得：Snn2nn设数列n2n的前n项和为An利用错位相减法即可得出An，再写出Tn即可.【详解】（I）当n2时，an=Sn-Sn-1，所以n-1Sn-Sn-1=n+1Sn-1+nn-1，即n-1Sn=2nSn-1+nn-1，则Snn=2Sn-1n-1+1，所以Snn+1=2Sn-1n-1+1，又Sn1+1=2，故数列Snn+1是首项为2，公比为2的等比数列.（II）由（I）可得：Snn+12n，可得：Snn2nn设数列n2n的前n项和为AnAn2+222+323+n2n，2An22+223+（n1）2n+n2n+1，An2+22+2nn2n+1=2(2n-1)2-1-n2n+1，可得：An（n1）2n+1+2TnS1+S2+Sn（n1）2n+1+2-n(n+1)2【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与等差数列的求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市，随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22列联表，已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710.（I）根据已知条件完成22列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？22列联表：青年中老年合计使用手机支付120不使用手机支付48合计200（）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.附：K2=nadbc2a+bc+da+cb+dPK2k00.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879【答案】（I）有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”（）所求随机变量X的概率分布为X0123P1303101216期望EX=95【解析】【分析】（）根据抽样比例求得对应数据，填写22列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（）根据分层抽样方法计算对应人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值【详解】（）从使用手机支付的人群中随意抽取1人，抽到青年的概率为710，使用手机支付的人群中青年的人数为71012084，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为1208436，由此填写22列联表如下； 青年中老年合计使用手机支付8436120不使用手机支付324880合计11684200根据表中数据，计算K2=200(8448-3632)21168412080=360020317.7347.879，P（K27.879）0.005，由此判断有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”；（）根据分层抽样方法，从这200名顾客中抽取10人，抽到“使用手机支付”的人数为10120200=6，“不使用手机支付”的人数为4，设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X，则X的可能取值分别为0，1，2，3；计算P（X0）=C43C103=130，P（X1）=C42C61C103=310，P（X2）=C41C62C103=12，P（X3）=C63C103=16，X的分布列为：X0123P130 310 12 16 X的数学期望为EX0130+1310+212+316=95【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题19.如图所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为22.（I）若点E为PD上的点，且PB平面EAC.试确定E点的位置；（）在（I）的条件下，点F为线段PA上的一点且PF=PA，若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为114，求实数的值.【答案】（I）E为PD中点，（）=15【解析】【分析】（）设BD交AC于点O，连结OE推导出PBOE，由O为BD的中点，推导出在BDP中，E为PD中点（）连结OP，以O为原点，OC、OD、OP所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出【详解】（）设BD交AC于点O，连结OE，PB平面AEC，平面AEC平面BDPOE，PBOE，又O为BD的中点，在BDP中，E为PD中点（）连结OP，由题意得PO平面ABCD，且ACBD，以O为原点，OC、OD、OP所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，OP=PD2-OD2=6，A（-2，0，0），B（0，-2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，6），则E（0，22，62），OC=（2，0，0），CE=（-2，22，62），OD=（0，2，0），设平面AEC的法向量m=（x，y，z），则mOC=2x=0mCE=-2x+22y+62z=0，令z1，得平面AEC的一个法向量m=（0，-3，1），设平面BDF的法向量n=（x，y，z），由PF=PA，得F（-2，0，6-6），DF=（-2，-2，6-6），nDF=-2x-2y+(6-6)z=0nOD=2y=0，令z1，得n=（3(1-)，0，1），平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为114，cosm，n=mn|m|n|=121+3(1-1)2=114，解得=15【点睛】本题考查点的位置的确定，考查满足二面角的余弦值的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率是12，A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点O到AB所在直线的距离为2721.（I）求椭圆C的方程；（）已知直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AHMN，垂足为H，且AH2=MHHN，求证：直线恒过定点.【答案】（I）x24+y23=1（）见解析【解析】【分析】（I）直线AB的方程为：x-a+yb=1，化为：bxay+ab0原点O到AB所在直线的距离为2721，可得aba2+b2=2217，化为：12（a2+b2）7a2b2，又ca=12，a2b2+c2联立解出即可得出（）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立y=kx+mx24+y23=1，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，0，由AHMN，垂足为H，且AH2=MHHN，可得AMAN可得AMAN=（x1+2）（x2+2）+y1y2（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m20，把根与系数的关系代入化简即可得出【详解】（I）直线AB的方程为：x-a+yb=1，化为：bxay+ab0原点O到AB所在直线的距离为2721，aba2+b2=2217，化为：12（a2+b2）7a2b2，又ca=12，a2b2+c2联立解得a2，b=3，c1椭圆C的方程为：x24+y23=1（）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立y=kx+mx24+y23=1，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，64k2m24（3+4k2）（4m212）0，（*）x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，AHMN，垂足为H，且AH2=MHHN，AMANAMAN=（x1+2）（x2+2）+y1y2（x1+2）（x2+2）+（kx1+m）（kx2+m）（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m20，（2+km）8km3+4k2+（1+k2）4m2-123+4k2+4+m2，4k216km+7m20，解得k=12m，或72m满足（*）直线l方程为：ym（12x+1），或ym(72x+1)直线ym（12x+1）恒过定点A（2，0），舍去直线ym(72x+1)恒过定点（-27，0），直线l恒过定点（-27，0）【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.设函数fx=lnx+ae1xa,aR.（I）当a=1时，证明fx在0,+是增函数；（）若当x0,+时，fx+10，求a取值范围.【答案】（I）见解析（）a1【解析】【分析】（）当a1时，求得f（x）=1x-e1-x=ex-1-xxex-1（x0）令g（x）ex1x，求出g（x）的导函数，分析g（x）的单调性，求得g（x）有最小值0，从而可得g（x）0，即f（x）0，则f（x）在（0，+）是增函数；（）设h（x）f（x+1）ln（x+1）+aexa（x0），求其导函数，得h（x）=1x+1-ae-x=ex-a(x+1)(x+1)ex令p（x）exa（x+1），对a分类分析p（x）的符号，得到h（x）的单调性，从而求得满足f（x+1）0时a的取值范围【详解】（）当a1时，f（x）=1x-e1-x=ex-1-xxex-1（x0）令g（x）ex1x，g（x）ex11，由g（x）0，可得x1当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，当x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，当x1时，g（x）ming（1）0，即g（x）0，f（x）0，则f（x）在（0，+）是增函数；（）解：设h（x）f（x+1）ln（x+1）+aexa（x0），h（x）=1x+1-ae-x=ex-a(x+1)(x+1)ex令p（x）exa（x+1），则p（x）exa当a1时，p（x）e0a1a0，p（x）在（0，+）上单调递增，p（x）p（0）1a0h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增，则h（x）h（0）0，结论成立；当a1时，由p（x）0，可得xlna，当x（0，lna）时，p（x）0，p（x）单调递减，又p（0）1a0，x（0，lna）时，p（x）0恒成立，即h（x）0x（0，lna）时