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数列,制作:星哥,目录,一、什么是数列?有哪些点?二、两个模型及规律三、规律的高级应用,一、什么是数列?有哪些点?,代表一个数列,简记,是数列的第1项,也称首项,是数列的第n项,也称通项,一、什么是数列?有哪些点?,代表数列的前n项和,一、什么是数列?有哪些点?,和的关系,二、两个模型及规律,模型一:等差数列,定义:如果数列中的任意相邻两项,后一项与前一项的差是定值时,这个数列就叫等差数列,这个定值叫公差,记作d。,模型一:等差数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,模型一:等差数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,迭代,叠加法,已知任意两项求公差,等差数列的判定,模型一:等差数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,等差性质,倒序相加,等差中项,等差数列的判定,新等差数列,模型一:等差数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,等差数列的判定,和与项之间的转换,和的最值的求解,含绝对值的和的求解,裂项相消求和,新等差数列,模型一:等差数列,递推公式:,迭代:,或:,模型一:等差数列,叠加得,模型一:等差数列,已知任意两项求公差:,等差数列的判定:,若满足,则是一个等差数列,模型一:等差数列,通项公式:,等差性质:当时,模型一:等差数列,等差中项:当时,等差中项:当三个数成等差数列时,,模型一:等差数列,等差数列的判定:,当的表达式是一个与n有关的一次函数时,则是等差数列,模型一:等差数列,新等差数列:,若是等差数列则是等差数列是等差数列,模型一:等差数列,倒序相加,模型一:等差数列,求和公式:,或:,模型一:等差数列,等差数列的判定:,当的表达式是一个与n有关的特殊二次函数时,则是一个等差数列,且二次项系数是公差的一半。,模型一:等差数列,新等差数列:,当是一个等差数列时,则也构成一个等差数列,模型一:等差数列,和与项之间的转换:,模型一:等差数列,和的最值的求解:,当等差数列的大于0,小于0时,,有最大值,列求出n值,再求,模型一:等差数列,和的最值的求解:,当等差数列的小于0,大于0时,,有最小值,列求出n值,再求,模型一:等差数列,含绝对值的和的求解:,当等差数列的小于0,大于0时,,指所有负数项的和,模型一:等差数列,裂项相消求和:,当的通项的表达式是一个分式,而且分母是一个特殊的二次函数时,可以裂项。,关联:的表达式是一个与n有关的二次函数,模型一:等差数列,裂项相消求和:,模型一:等差数列,裂项相消求和:,二、两个模型及规律,模型二:等比数列,定义:如果数列中的任意相邻两项,后一项与前一项的比是定值时,这个数列就叫等比数列,这个定值叫公比,记作q。,特殊:,模型二:等比数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,模型二:等比数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,迭代,累乘法,已知任意两项求公比,等比数列的判定,模型二:等比数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,等比性质,错位相减,等比中项,等比数列的判定,新等比数列,模型二:等比数列,定义,递推公式,通项公式,求和公式,等比数列的判定,新等比数列,和的比值与q的联系,模型二:等比数列,递推公式:,迭代:,或:,模型二:等比数列,累乘得,模型二:等比数列,已知任意两项求公比:,等比数列的判定:,若满足,则是一个等比数列,模型二:等比数列,通项公式:,等比性质:当时,模型二:等比数列,等比中项:当时,等差中项:当三个数成等比数列时,模型二:等比数列,等比数列的判定:,当的表达式形如时,则是等比数列,模型二:等比数列,新等比数列:,若是等比数列则是等比数列是等比数列,模型二:等比数列,错位相减,模型二:等比数列,求和公式:,模型二:等比数列,等比数列的判定:,当的表达式形如时则是一个等比数列,模型二:等比数列,新等比数列:,当是一个等比数列时,则也构成一个等比数列,模型二:等比数列,和的比值与q的联系:,三、规律的高级应用,1、求通项,2、求和,3、和与不等式结合,1、求通项,通项从哪来?,递推公式,通项公式,1、求通项,怎么求?,递推模型,等差递推,等比递推,1、求通项,用叠加法得,1、求通项,怎么求?,递推模型,等差递推,等比递推,1、求通项,用叠加法得,再根据的表达式求,1、求通项,怎么求?,递推模型,等差递推,等比递推,1、求通项,用累乘法得,1、求通项,怎么求?,递推模型,等差递推,等比递推,1、求通项,用累乘法得,再根据的表达式求,2、求和,和从哪来?,通项公式,求和公式,2
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