八年级数学上册知识点总结（新人教版）

1 / 14 八年级数学上册知识点总结（新人教版） 八年级数学上册知识点总结（新人教版） 第十三章轴对称 一、轴对称图形 1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点 ,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 4.轴对称的 性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线 2 / 14 1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 三、用坐 标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等 ,纵坐标互为相反数 .关于 y轴对称的点横坐标互为相反数 ,纵坐标相等 . 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、（等腰三角形 )知识点回顾 1.等腰三角形的性质 . 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） . 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） 五、（等边三角形 ）知识点回顾 1.等边三角形的性质： 3 / 14 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 600。 2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1、等腰三角形的性质 （ 1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60 。 （ 2）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为 A ，底角为 B 、c ，则 A=180 2B ， B=c= 2、等腰三角形的判定 4 / 14 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称 ：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一个三角形的一 边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边5 / 14 两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。 高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条 边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 角 等边对等角 等角对等边 边 底的一半 腰长 周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （ 1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新6 / 14 的三角形。 （ 2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角 形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 第十四章整式乘除与因式分解 一回顾知识点 1、 主要知识回顾： 幂的运算性质： aman am n（ m、 n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 7 / 14 amn（ m、 n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘 （ n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积 am n（ a0 ， m、 n 都是正整数，且 m n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 零指数幂的概念： a0 1（ a0 ） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l 负指数幂的概念： a p（ a0 ， p 是正整数） 任何一个不等于零的数的 p（ p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数 也可表示为：（ m0 ， n0 ， p 为正整数） 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 多项式与多项式的乘法法则： 8 / 14 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 2、乘法公式： 平方差公式：（ a b）（ a b） a2 b2 文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 完全平方公式：（ a b） 2 a2 2ab b2 （ a b） 2 a2 2ab b2 文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加 上（或减去）这两个数的积的 2 倍 3、因式分解： 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 9 / 14 掌握其定义应注意以下几点： （ 1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （ 2）因式分解必须是恒等变形； （ 3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 二、熟练掌握因式 分解的常用方法 1、提公因式法 （ 1）掌握提公因式法的概念； （ 2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分： 系数一各项系数的最大公约数； 字母 各项含有的相同字母； 指数 相同字母的最低次数； （ 3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项 （ 4）注意点： 提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到 “ 底 ” ； 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要 提出 “ ” 号，使括号内的第一项的系数是正的 10 / 14 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： 平方差公式： a2 b2（ a b）（ a b） 完全平方公式： a2 2ab b2（ a b） 2 a2 2ab b2（ a b） 2 第十五章分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果 A， B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式， A 为分子， B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 分式有意义：分母不为 0（） 分式无意义：分母为 0（） 分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（） 分式值为正或大于 0：分子分母同号（或） 分式值为负或小于 0：分子分母异号（或） 分式值为 1：分子分母值相等（ A=B） 分式值为 -1：分子分母值互为相反数（ A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 11 / 14 字母表示：，其中 A、 B、 c 是整式， c0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 c0 这个限制条件和隐含 条件 B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意： 分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分 母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 12 / 14 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子 分式的加减法则： 13 / 14 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式， 再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点六整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即 科学记数法 若一个数 x 是 0 的数， 则可以表示为（，即 a 的整数部分只有一位， n 为整数）的形式， n 的确定 n=从左边第一个 0 起到第一个不为 0 的数为止所有的 0 的个数的相反数。如 = 14 / 14 若一个数 x 是 x10 的数则可以表示为（，即 a 的整数部分只有一位， n 为整数）的形式， n 的确定 n=比整数部分的数位的