刚体6个自由度自由度数目减少(由于约束).ppt

1.5.2刚体的运动方程刚体：6个自由度自由度数目减少(由于约束)例子：绕固定点的转动3个自由度；定轴转动1个自由度。在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力但：由拉格朗日方程中不容易得到约束反力(以前仅讨论理想约束)办法：回到牛顿表述,一、动量定理定点转动角动量定理刚体：特殊的质点组。考察刚体整体运动：质心在静止系中的矢径。对第a个质点：其中：以质心为原点的运动坐标系的矢径。,因为：所以：作和：,其中：对固定点o的总角动量对固定点o的总力矩对固定点的角动量定理,以质心为坐标原点：(仍在惯性系中)对上式作和：,又则,令则对质心的角动量定理描述刚体的运动方程组,二、刚体的静平衡平衡时：平衡方程例题：见p88例1三、刚体的动平衡(见p88，略。),四、刚体的自由运动自由运动：不受外力、不受约束。即：有：(质心：匀速运动)；(绕质心的转动，且角动量守恒)设：为三个惯量主轴方向，为沿这三个主轴的转动惯量则：,讨论：球对称陀螺(任意选取三个相互垂直的轴作惯量主轴)此时：2.转子即：L在平面内，。,3.对称陀螺(：不对称陀螺)此时：平面内的任一轴都是主轴选在同一平面将分解到和的方向上，分别称为和，并设它们之间的夹角为，显然有,L在平面内，L与的夹角：L与的夹角：L在轴的投影：由图：在上的分量相等则：,且不变(匀速旋转)L与轴的夹角不变规则进动：对称陀螺自由转动，有绕转动+轴绕空间固定轴(L轴)进动，且与L之间的夹角保持不变。,五、欧勒运动学方程对称陀螺的基本运动：(1)刚体绕对称轴的自转；(2)自转轴绕空间固定轴的进动；(3)自转轴和固定轴间夹角的章动。用欧勒角描述这三种运动：设：o固定点；oz：固定轴：刚体绕固定轴oz转过的角度进动角；：进动角速度沿oz方向,：刚体绕转过的角度自转角；：自转角速度沿方向。：和oz间的夹角章动角；：章动角速度沿oN方向。1在平面，在的分量。由图：,2在上的投影：由书p91图可知：当时，当时，所以在同一平面，且从上一点作的垂线a，显然a在上，则,因此组成的平面，即平面。由此在平面的投足落在上，得到沿方向，即沿方向。又与的夹角为，这样在的分量为3沿方向,若：已知则：计算讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面上任意选取，则：取沿oN方向于是有：,六、欧勒动力学方程刚体的运动方程为：而中不是常数，这样要得到M与的关系很困难。办法：建立运动坐标系坐标轴沿三个惯量主轴方向此时：,设：矢量A，：相对静止坐标系的改变量若：A相对于运动坐标系不变，则仅仅是由于运动坐标系转动而引起的，故一般情况：A相对于运动坐标系改变，说明如下。设：分别为静止坐标系和运动坐标系，如图。,现在系中分别求矢量A(t)随时间的变化率。：系中的单位常矢量对系不是常矢量，即在中对矢量求导，得,：A在运动坐标系中的改变令A=L，得：又所以,对运动坐标系：而,欧勒动力学方程,1.5.3非惯性系中的运动若：将参考系固连在刚体上，只要刚体不是作匀速运动，这一参考系为非惯性系。设：系惯性系，系相对系的速度为V(t)K系相对系的角速度为则：K系非惯性系做的事：在K系中建立运动方程设：矢量A，A在系中的导数，则,令：质点在系中的速度；：质点在系中的速度；v：质点在K系中的速度；V：系对系的速度。则：,