多项式插值唯一性.ppt

多项式插值的存在唯一性拉格朗日插值,牛顿插值埃米特插值与三次样条数据拟合的线性模型两种典型的正交多项式,数值分析习题课III,若插值结点x0,x1,xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,n)的n次插值多项式P(x)=a0+a1x+anxn存在而且惟一。,多项式插值的存在唯一性定理,Laglarge插值公式,插值基,(k=0,1,2,n),2/18,插值误差余项,其中,线性插值误差:,二次插值误差:,思考:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数。,3/18,已知x0,x1,xn处的值f(x0),f(x1),f(xn).,(j=0,1,n-1),(j=0,1,n-2),均差的定义,牛顿插值公式,(k=1,2,n),思考:证明一阶差商的对称性：fx0，x1=fx1，x0，进一步证明二阶差商的对称性。,4/18,牛顿插值余项,(j=0,1),三次Hermite插值,5/18,给定a,b的分划:a=x0x1xn=b.已知f(xj)=yj(j=0,1,n),如果,满足:(1)S(x)在xj，xj+1上为三次多项式;(2)S”(x)在区间a，b上连续;(3)S(xj)=yj(j=0,1,n).则称S(x)为三次样条插值函数.,三次样条的定义,6/18,(j=1,2,n-1),自然边界条件,三次样条一阶导数值:S(xj)=mj(j=0,1,n),三次样条二阶导数值:S”(xj)=Mj(j=0,1,n),j=1,n1,自然边界条件:M0=0,Mn=0,7/18,拟合函数:(x)=a00(x)+a11(x)+ann(x),数据拟合的线性模型,离散数据,超定方程组,超定方程组最小二乘解:,8/18,对连续函数f(x)的正交多项式平方逼近,其中,Ex1.设x0，x1，xn是互异的插值结点，l0(x)为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明,9/18,Ex2.设x0,x1,x2,xn为互异的结点,求证Lagrange插值基函数满足下列恒等式,(1),(2),(k=1,n),证:(1)令,在插值结点处Pn(xj)=0(j=0,1,2,n),n次多项式Pn(x)有n+1个相异零点Pn(x)=0,10/18,所以,将f(x)=xk(kn)代入,得,(k=0,1,2,n),思考题:f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明：f(x)=Pn(x)+(xx0)(xx1)(xxn),(2)取f(x)=xkf(n+1)(x)=0Rn(x)=0,11/18,Ex4.设x0x1x2，从函数表,出发,利用f(x)的二次拉格朗日插值多项式L2(x)推导出求f(x)的极值点x*的近似值计算公式.,Ex3.设P(x)是不超过n次的多项式,而n+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn)证明存在常数Ak(k=0，1，n)使得,12/18,Ex5.设有数列:x1,x2,xn,(1).证明平方和数列为3阶等差数列,证明:(1)Sn=n2,2Sn=n2(n-1)2=2n-13Sn=(2n-1)-(2n-3)=2,故平方和数列为3阶等差数列.,(2).证明,则,(2)令g(n)=n(n+1)(2n+1)/6,13/18,同理,(k=1,2,n),显然,14/18,证明:Fx0,x1,xn=,Ex6.记n+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn),(j=1,2,n),对比Lagrange插值和Newton插值中xn的系数,得,Fx0,x1,xn=,15/18,Ex7.2次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：f(x0)=y0，f(x1)=m1，f(x2)=y2，插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解。,思考:构造带导数条件的二次插值多项式公式f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；,16/18,解:设H(x)=a0+a1x+a2x2,H(x)=a1+2a2x,Ex8.如果xa,b,t-1,1,(1)证明联系两个区间的映射为,17/18,Ex9.一个量x被测量了n次,其结果是a1,a2,an.用最小二乘法解超定方程组x=a