高等代数多项式

第一章 多项式本章将系统地讨论多项式的有关理论；和中学内容相比，其深度、广度以及规范化程度都明显加强了，证明部分也增加了，因此学好本章不容易.要正确掌握概念，学会严谨地推导和计算.1 数域 本节重点：数域的概念与性质；本节难点：数域的证明.一、数域的概念1.定义 称为数域是至少含有两个数的复数子集，四则运算封闭. （数环）（实际上只要减法和除法封闭即可） 2.特殊的数域：有理数域；实数域；复数域 （整数集不是数域）例1 构成一个数域.（特点：有理数有理数.注意：）【问题】有何作用？如果只要求，则不是数域（是数环）.（为什么？）二、数域的性质1.数域必为无限集. 2.数域有无限个. 是素数.3.有理数域是最小数域（证明：P3）；复数域是最大数域.【问题】为数域三、课后思考题 之间存在其他数域？之间存在其他数域？为什么？证明：1）数域2）设，是之间的数域，如果，则包含所有实数，且有某个;由除法封闭得，利用加法和乘法的封闭性得,即得两个数域的交集是不是数域？并集呢？2 一元多项式 本节重点：一元多项式的概念与运算；本节难点：多项式乘积的系数确定.一、基本概念1.一元多项式：形式表达式 （区别：中学多项式是未知数，这里则表示任意数学对象，具有更一般的意义不涉及变元的实际意义，故称形式表达式，目的是讨论问题更具普遍性，即已推广.） 【问题】不是多项式的例子：根号、分数幂、除式、三角函数 数是不是多项式？（是）2.几个概念：次项；系数；首项；次数3.相等：同次项的系数全相等4.零多项式0：系数全为零的多项式（易错点：零多项式没有次数）【问题】零次多项式？；等于零多项式？何时有意义？二、多项式的运算这里的多项式是原来多项式的推广，因此运算需要重新定义.1.加（减）法：同次项的系数相加（减）2.乘法：；乘积为其中次项的系数是 注意：例1 求乘积中的系数 （）为什么不是 ？3.运算规律：（交换律、结合律、分配律、消去律.和数一样）4.次数定理 三、一元多项式环 所有系数在数域中的一元多项式的全体.（对加、减、乘运算封闭） （的作用？）四、课后思考题 高等代数中的多项式与中学多项式有区别吗？乘积的系数有何规律？3 整除的概念 本节重点：带余除法、整除；本节难点：带余除法的应用.一、带余除法 （联系整数的带余除法）定理： 其中：余式条件是 已知 存在 已知 存在 【余式条件说明：除法要除到什么地步为止】 唯一（不为0）唯一 （商式） （余式）证明：存在性.长除法（数学归纳法） 唯一性.（反证.考虑次数）二、整除的概念与性质1.定义 多项式在数域上整除存在使. 因式 倍式用“”表示整除，用“”表示不能整除.【注意】1）必须都是多项式（否则？） 2）不是 （后者表示分式，前者表示整除关系）下面考虑整除性和余式的关系：2.定理1 设，则的充要条件是除的余式为零.证明：主要用到余式的唯一性. 【易错点】，且 ？ 例1 例2 证明：设；有（另证：不可约性质；或者根与一次因式的关系）3.基本性质（略）三、思考题1.当， （，）2.且 （，）3.或 （，）4.（？）看成多项式的整除，对；看成整数的整除，错.例 设为正整数，证明.【特例】证法：设，则考虑到，于是.【本节重点】带余除法、整除性质.4 多项式的最大公因式 本节重点：最大公因式的求法和性质；本节难点：相关的证明.一、两个多项式的最大公因式思考：怎样刻划公因式的“最大”性？1.定义 称为，的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件：1）是与的公因式； 2），的公因式全是的因式.（“最大”）即：；若，则必有.【】注：最大公因式次数最高的公因式（因此也称最高公因式）2.基本性质：1）是与的一个最大公因式.(特例)是与0的一个最大公因式.两个零多项式的最大公因式就是0.2) 为的一个最大公因式也是的一个最大公因式.3）都是的最大公因式 （因为互相整除）可见：最大公因式有无数个；但相差不大.【记号】首项系数为1的最大公因式.（唯一确定）比如 下面要解决两个问题：存在性、求法.3.引理 （证法典型） 证明：设，则它首项系数为1.只要再证是的最大公因式（按定义）.另证：设，去证互相整除.4.定理2 任意两个多项式必存在一个最大公因式，且可以表成的一个组合，即有多项式使. （本定理说明存在性.证明过程还给出了最大公因式的求法.）证明：（略）例1 设 试求使得解:最大公因式为设是的首项系数，则.取 的取法不唯一（为什么？可）.【问题】定理2的逆定理不成立. 【易错点】需要加条件：是的公因式.（教材习题8）（反例：）5.求法(因式分解法、辗转相除法)例2 （P15）注意格式以及首项系数1 二、两个多项式的互素【问题】考虑的公因式和最大公因式.1.定义 ，称为互素（也称为互质）显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式（非零常数），反之亦然.2.定理3（互素判定定理）存在多项式使.证明： 定理2； 最大公因式定义注意：1）已知，只能得到的存在性，不能具体假设.2）要证，可适当选取，满足3） （因为不是多项式）4）互相不整除就互素？且 （反例：）5）零次多项式与任何多项式都互素.3.定理4 ，且. （互素条件不可少；反例）4.推论 ，且.例3如果,那么 （另证见5）推广：三、多个多项式的最大公因式与互素（结论类似）考虑：怎么定义？四、课后思考题 互素判定定理中的为什么必须是多项式？【本节重点】最大公因式的求法与证明。互素的证明.5 因式分解定理 本节重点：不可约多项式，因式分解定理；本节难点：不可约多项式.一、不可约多项式1.定义 设在数域上不可约多项式它不能表成上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.注：1）在数域上不可约多项式它不能表成上的两个次数多项式的乘积.2）不可约多项式的次数（前提）；一次多项式在任何数域不可约的.3）不可约性和所考虑的数域有关. （）4）区别：不可约是多项式本身的特性；互素则是多项式之间的关系.两者不同.2.性质1 不可约只有两种因式：. （相当于素数）证明：设有第三种因式，满足 则，从而可约. 可约，则有且，得到第三种因式.3.性质2 不可约或者.证明：设，首一，利用性质1有4.定理5 或者. （反证.性质2）（可推广为有限个）例1 二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.（唯一性是说P19） （证明方法：数学归纳法；利用不可约多项式的性质）意义：理论价值；缺点：没有具体因式分解的方法（实际上也没有一般性的分解方法.比如Q上存在任意次数的不可约多项式；四次以上的一元高次多项式没有公式解）推论：次数的多项式必有不可约因式.例2 如果,那么证明：若，则必有不可约公因式，设为，从而且矛盾三、标准分解式 （区别于一般分解式）1.定义 ，要求首一、不可约、互不相同例3 2.性质 若，则 最大公因式 （注意允许取0次幂）例4 证明 （考虑标准分解式）四、课后思考题【本节重点】不可约多项式的特征，因式分解定理的应用.6 重因式 本节重点：重因式的判别；本节难点：相关证明.一、重因式的定义 1.定义 称为的重因式1）不可约；2）；3）重因式；单因式；不是因式2.注意事项：1）为的重因式不可约且，2）重因式因式、不可约 3）重数 （比如）重因式的判别一般利用多项式的导数：二、多项式的导数及其求导法则（和数学分析相同）【要点】 ；三、重因式的判别与求法1.定理6 不可约是的重因式是微商的重因式.【易错点】反之不然（反例）. 需要附加条件是的因式2.推论1如果不可约是的重因式,那么是，,的因式,但不是的因式. （证明：反复利用定理6）3.推论2 不可约式是的重因式的充要条件是是与的公因式.（反证）4.推论3 没有重因式的充要条件是（互素） （推论2逆否命题）【问题】给定一个多项式，如何判定有没有重因式？怎么求？例1 是否有重因式？若有，求出.并求在上的标准分解式.解 由辗转相除法求得，重因式为（注意：不是），重数设，由长除法得得 四、单因式化法 有时，需要考虑没有重因式的多项式.有下面结论：命题：没有重因式；与有完全相同的因式（重数不一样而已）证明：设标准分解式为，是的重因式，由定理6 是的重因式.于是 得到即证.这样，想求的不可约因式，只需求次数较低的多项式的不可约因式即可.这种方法称为单因式化法. 五、课后思考题 定理6的逆命题成立的附加条件是什么？ 【本节重点】重因式的判别与求法.7 多项式函数 本节重点：多项式的根与重根；本节难点：重根问题.一、两种观点看待多项式，有两个观点：1）形式表达式.此时是文字（可以是数、矩阵等数学对象），目的：便于研究性质.两个多项式相等是指它们的所有同次项相等；2）函数观点. 此时是自变量，两个多项式函数相等恒等是指所有对应的函数值相等；目的：研究根问题.本节用函数角度研究多项式，并论证两个观点是统一不矛盾的.（中学不加区别）二、余数定理与综合除法1.余数定理 用去除多项式，所得的余式是一个常数 （利用带余除法易证）【比较】用去除多项式，所得的余式是一个常数 余数和根联系密切.如何确定余数？长除法.此外，更常用的是综合除法（补充）：2. 综合除法（作用：验根及其重数）【问题】求除的商式和余数.利用比较系数法推导可得以下结论：格式： 结论：商式 余数要点：；缺项补0 、上下相加（不是减法） *例，求除的商式和余数；并把表成的方幂和.解 反复利用综合除法（）：2 3 7 9 0 32 【按方幂展开的其他方法】 6 2 22 44 1）待定系数法 3 1 11 22 12 2）二项式公式法： 6 10 2 3）泰勒展开式： 3 5 1 24 6 22 3 11 21 63 17 3三、多项式的根 （把多项式看出函数，目的就是要研究根的问题.）1.定义 称为的根（或零点） （抽象代数里，根可推广，未必是数.）2.根与一次因式的关系： （余数定理易证） 由此引入重根的概念：3.重根：称为的重根是的重因式.【问题】为的重根为的重根例1 问1是的几重根？ （综合除法；3重）如果未知是1，怎样求重根？（先求重因式：，再检查重数）例2 ，求 （3，4）解1：带余除法，得余式（一次），令余式为0. 解2：利用重根：例 时，有重根？解 设重根为，有，求得4.根与次数的关系：定理8 根的个数次数.（重根按重数计算）证明：次多项式最多有个一次因式（表达式观点），从而最多有个根.【问题】三角函数是不是多项式？（不是.因为有无限个根，而多项式的次数是有限的）四、两个观点的统一性多项式函数是由多项式表达式定义的，不同的多项式定义出来的多项式函数是否一定也不同？1.定理9 如果多项式,的次数都不超过,而它们对个不同的数有相同的值那么 （指表达式相等）证明：反证法.如果，则，但却有个根，矛盾.例3 证明： （证：有3个不同根）2.统一性:两个多项式相等当且仅当对应的多项式函数恒等.即证明：必要性.多项式有完全相同的项即多项式函数恒等.充分性. 多项式函数恒等，即，说明有无穷多个不同的数使它们等值，利用定理9知【数域中有无穷多个数是充分性证明的关键反例：抽象代数中的模3剩余类环是个三元域（有限），考虑多项式，有.所以从函数角度看有，但不是零多项式.可见理论上并不总是等价的.】上面结论表明，数域上的多项式函数的恒等与多项式表达式的相等实际上是一致的. 五、课后思考题 有重根有重因式？（对） 有重因式有重根？（错）【本节重点】综合除法、根与因式的关系.8 复系数和实系数多项式的因式分解 本节重点：上的因式分解定理；本节难点：实系数多项式的因式分解.本节在特殊数域上讨论因式分解问题的特殊性.一、复系数多项式的因式分解1.代数基本定理： 每个次数的复系数多项式在复数域中至少有一个根. （证明不要求）早在1629年，就有人断言成立，但没有证明.1799年，高斯（Gauss；17771855）在他的博士论文中给出了第一个严格证明；之后又陆续给出了多种证法.其中，用复变函数的结论证明较简单.该定理只肯定了根的存在性，并没给出具体求法.该定理等价于“每个次数的复系数多项式在复数域中有一个一次因式”.因此，2.上的不可约式：只有一次多项式；次必可约.3.因式分解定理：每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 4.标准分解式：其中是不同的复数，是正整数. 标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）5.根与系数的关系（补充.11有）Viete定理（韦达.法国，16世纪）推导：设次多项式的个复根为，则，展开右边，比较系数，可得二、实系数多项式的因式分解1.常用引理：实系数多项式的虚根共轭成对（且重数相同）. 【补充：共轭数的性质】2.因式分解定理：每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式（何时不可约？判别式小于0）的乘积. （注：一次因式与二次不可约因式不一定同时出现）证明：数学归纳法.必有一个复根，讨论分别是实数根、复数根的情况.3.上不可约式：一次多项式外,含非共轭虚根的二次多项式.4.标准分解式：其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件例1 写出三次多项式的所有标准分解式类型.解 1）三个一次因式； 2）一个一次因式和一个一次因式的平方；3）一个一次因式的立方； 4）一个一次因式和一个不可约二次因式*例2 求与在上的标准分解式（） （取） （）解 的次单位根为的注意到虚根共轭成对（），以及是实系数，.讨论的奇偶性，即可得分解式.分解奇：只有一个实根，此时偶：有两个实根 ，三、课后思考题 实数域上，次数的多项式必可约？次数满足什么条件的多项式必有实根？【本节重点】上的不可约类型.9 有理系数多项式 本节重点：有理根的求法，上不可约判别法；本节难点：Eisenstein定理证明. 上的因式分解问题比的情况复杂得多.主要内容：有理根的求法；上不可约式的判别法.一、有理系数多项式的因式分解问题1.本原多项式：整系数，系数之间整体互素（没有异于1的公因子） 任何非零有理系数多项式一定可以表示成一个本原多项式的有理数倍数.（提取各系数的公分母，化为整系数；再提取公因子，化为本原）2.高斯引理：本原本原本原证明：（体会证明技巧.反证法，假设出第一个不被素数整除的系数，再考虑对应乘积的系数）3.定理11 如果整系数式能分解成两个次数较低的有理系数式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数式的乘积. （说明了有理系数式的因式分解问题可转化为整系数式的因式分解）二、有理系数多项式的有理根1.必要性：（定理12）【注】证明过程还可得出：（作用：缩小有理根的范围）2.有理根的求法1）有理系数先化为整系数； 2）确定可能的有理根范围：常数项因子/首项系数因子；3）验证：直接代入或综合除法根及其重数 3.计算题型：求有理根求重因式求标准分解式与所有的复根 例1 例2 证明是无理数.的有理根只能是，也是根，所以不可能是有理数. .还有其他方法，留