复变函数 复习课件 西安交大第四版

1,1.复合闭路定理,那末,一、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式,2,3,2、柯西积分公式,定理,4,*计算方法：公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.,这是研究解析函数的有力工具,5,3、高阶导数公式,定理,6,*计算方法：,7,典型例子,8,定理1,二.与C-R方程相关知识点,1.充要条件,9,定理2,10,2.充分条件,定理3,11,定理4,12,四个偏导数均连续,例1：,13,例2,解,14,2.解析函数与调和函数关系,定理1,?,反例：,15,定理2,称u为v的共轭调和函数,在D内解析,16,(1).偏积分法(以(已知u,求v)为例),3、利用该关系求解析函数,17,或,18,(2).不定积分法,19,（1）偏积分：,20,故,21,（2）不定积分,22,三、Taylor级数及罗朗级数展开,1.收敛定理及证明,(阿贝尔Abel定理),1.定理内容,23,证：,由收敛的必要条件,有,因而存在正数M,使对所有的n,2.定理证明,而,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分的证明请课后完成.,24,2、Taylor定理内容及证明,其中,泰勒级数,泰勒展开式,(1),25,(2)Taylor定理证明,如图:,26,由柯西积分公式,有,其中K取正方向.,则,27,28,29,由高阶导数公式,上式又可写成,其中,可知在K内,30,令,则在K上连续,31,即存在一个正常数M,32,从而在K内,泰勒级数,33,3.洛朗级数展开,定理,C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.,为洛朗系数.,(1),34,例1,内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,35,36,由,且仍有,37,此时,38,仍有,39,4、孤立奇点的分类，留数定理及计算，留数在定积分上的应用,40,(1)孤立奇点的分类,-分类标准,可去奇点（不含负幂项）,m级极点（负幂项的最高次为m）,本性极点（负幂项为无穷多项）,41,(2)孤立奇点类型的判定,特点:,不存在且,可去奇点,m级极点,本性奇点,42,(3)留数定理及计算,说明:,2.留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,1.留数定理,43,证,证毕,两边同时除以且,如图,44,.,的某去心邻域,留数：,45,46,2.留数的计算方法,成洛朗级数求,如果为的级极点,那末,规则：,47,如果为的一级极点,那末,推论1,推论2,如果,的一级极点,且有,48,典型例题,解,49,分析,由规则3得,计算较麻烦.,50,解,51,说明:,如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1.在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将m,但有时把m取得比实际的,如上例取,52,解,53,解,为一级极点,为二级极点,54,55,1形如的积分,思想方法:,封闭路线的积分.,两个重要工作:,1)积分区域的转化,2)被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,(4)留数在定积分计算上的应用,56,(2)被积函数或积分表达式的转换,(3)积分限或区域的转换,(1)换元或变量代换,57,形如,58,z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.,包围在单位圆周内的诸孤立奇点.,59,例1计算积分,解,则,60,61,例2计算,解,令,62,极点为:,(在单位圆内),(在单位圆外),63,例3,解,故积分有意义.,64,65,66,因此,67,若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析,可先讨论,最后令,即可.,2形如的积分,68,2.积分区域的转化:,取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间,一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1.被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x),可取f(z)=R(z).,69,这里可补线,(以原点为中心,R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,70,根据留数定理得:,当充分大时,总可使,71,72,例4计算积分,解,73,74,积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上,无孤立奇点.,与,曲线C,使R(z)所有的在上半平面