2019届高三数学上学期诊断性考试试卷 文(含解析).doc

2019届高三数学上学期诊断性考试试卷 文(含解析)一、选择题(每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合题意,计算集合A,计算交集,即可.【详解】解得,所以,故选A.【点睛】本道题考查了交集运算方法,属于较容易题.2.幂函数的图像过点（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，设幂函数fx=x(R)，根据幂函数的图像过点2,22，求得幂函数的解析式，代入即可求解。【详解】由题意，设幂函数fx=x(R)，又由幂函数的图像过点2,22，代入得22=2，解得=12，即fx=x12，所以f8=812=24，故选B。【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，及其解析式的应用，其中解答中根据幂函数的定义，设出幂函数的解析式，代入点的坐标求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。3.若a,bR+,a+b=1，则a+1b+1的最大值为( )A. 32 B. 2 C. 94 D. 4【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式，即可求解a+1b+1的最大值，得到答案。【详解】由题意，实数a,bR+,a+b=1，则a+1b+1(a+1+b+12)2=94，当且仅当a+1=b+1，即a=b=12等号成立，即a+1b+1的最大值为94，故选C。【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最大值问题，其中解答熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。4.设平面，直线a,b,a命题“b/a”是命题“b/”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和两直线的位置关系，利用充要条件的判定方法，即可判定得到答案。【详解】由题意，平面，直线a,b,a，若命题“b/a”则可能b/或b，所以充分性不成立，又由当“b/”时，此时直线与直线b可能相交、平行或异面，所以必要性不成立，所以命题“b/a”是命题“b/”的既不充分也不必要条件，故选D。【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中解答中熟记线面平行的判定与性质，以及两直线的位置关系的判定，合理应用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题5.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A. 0.7小时 B. 0.8小时 C. 0.9小时 D. 1.0小时【答案】C【解析】【分析】根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进行求和，进而求解平均每人的课外阅读时间，得到答案。【详解】由题意，根据给定的样本条形图可知，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为50+200.5+101+101.5+5250=0.9小时，故选C。【点睛】本题主要考查了样本的条形图的应用，其中解答中熟记条形图的平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。6.设x，y满足约束条件x+y1x0y0，则z=x+2y1的最小值是（ ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。【详解】结合不等式，还原可行域，如图：将z=x+2y1转化成y=12x+z+12，该目标函数从虚线位置平移，当移到A点的时候，z取到最小值，而A的坐标为1,0，代入目标函数，计算出z=0.【点睛】本道题考查了线性规划问题，关键绘制出可行域，将目标函数转化为一般函数，平移，计算最值，即可，难度中等。7.已知a,b是非零向量，a2ba,b2ab，则a与b的夹角为（ ）A. 6 B. 3 C. 23 D. 56【答案】B【解析】试题分析：由(a2b)a,(b2a)b，则(a2b)a=a22ab=0,(b2a)b=b22ab=0，所以ab=12a2=12b2，所以cos=ab|a|b|=12，所以=3，故选B考点：向量的运算及向量的夹角8.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. 32f B. 322fC. 1225f D. 1227f【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以an=122an1(n2,nN+)，又a1=f，则a8=a1q7=f(122)7=1227f故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若an+1an=q（q0,nN*）或anan1=q（q0,n2,nN*）， 数列an是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列an中，an0且an12=anan2（n3,nN*），则数列an是等比数列.9.将函数fx=sin2x+3的图象向右平移2个单位长度得到gx图像，则下列判断错误的是（ ）A. 函数gx在区间12,2上单调递增 B. gx图像关于直线x=712对称C. 函数gx在区间6,3上单调递减 D. gx图像关于点3,0对称【答案】C【解析】【分析】由三角函数的图象变换，得到gx的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案。【详解】由题意，将函数fx=sin2x+3的图象向右平移2个单位长度，可得gx=sin(2x23)，对于A中，由12x2，则22x233，则函数gx在区间12,2上单调递增是正确的；对于B中，令x=712，则g(712)=sin(271223)=sin2=1，所以函数gx图像关于直线x=712对称是正确的；对于C中，6x3，则则2x230，则函数gx在区间6,3上先减后增，所以不正确；对于D中，令x=3，则g(3)=sin(2323)=0，所以gx图像关于点3,0对称示正确的，故选C。【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。10.如图，是一个圆柱被一个平面截去一部分后得到几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 92+22+1B. 92+22+2C. 112+22+1D. 112+22+2【答案】A【解析】【分析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个圆柱截去四分之一得到的一个空间几何体，其中圆柱的底面圆的半径为1，母线长为2，且AB=A1B1=2，即可求解。【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个圆柱截去四分之一得到的一个空间几何体，如图所示，其中圆柱的底面圆的半径为1，母线长为2，且AB=A1B1=2，所以该几何体的表面积为S=34212+22+23412+212222=92+22+1，故选A。【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的表面积的计算问题，其中根据给定的几何体的三视图还原得到几何体的形状，进而求解几何体的表面积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题。11.函数fx满足fx+1=1fx+1，当x0,1时，fx=x.若函数gx=fxmxm在区间1,1内有两个零点，则m的取值范围是（ ）A. 0,12 B. 1,12C. 12,+ D. ,12【答案】A【解析】当x-1,0时，x+10,1f(x)=1f(x+1)-1=1x+1-1从而作出函数y=mx+1与函数f(x)在-1，1上的图象如下：由图象可知，A-1,0,B1,1故直线AB的斜率kAB=12结合图象可知，实数m的取值范围是(0,12 故答案选A点睛：先求出f(x)的解析式，然后转化为两个函数图像的交点问题，这样要求的m范围就可以转化为斜率问题，化归转化，将函数问题利用图像转化为斜率问题。12.已知O为坐标原点，直线l:y=kx+3，圆C：x2+y232=4若直线l与圆C交于A，B两点，则OAB面积的最大值为（ ）A. 4 B. 23 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由直线，可知D(0,3)，即点D为OC的中点，得出SOAB=SABC,设ACB=，得出SABC=12CACBsin=2sin，再由圆的性质，即可求解。【详解】由圆的方程x2+y232=4可知圆心坐标C(0,23)，半径为2，又由直线y=kx+3，可知D(0,3)，即点D为OC的中点，所以SOAB=SABC,设ACB=，又由CA=CB=r=2，所以SABC=12CACBsin=1222sin=2sin，又由当k=0，此时直线y=3，使得的最小角为3，即3,)当=2时，此时SABC=2sin的最大值为2，故选C。【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中根据圆的性质，得出SOAB=SABC，再由三角形的面积公式和正弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。二填空题。13.若cos6=13，则sin3+=_.【答案】13【解析】【分析】利用诱导公式sin=cos2,即可.【详解】sin3+=sin23+=cos3+=13【点睛】本道题考查了诱导公式,关键抓住sin=cos2,属于容易题.14.函数fx=x2lnx在点(1,0)处的切线方程为_.【答案】xy1=0【解析】【分析】由题意，函数fx的导数为fx，得到k=f1=1，再由直线的点斜式方程，即可求解切线的方程。【详解】由题意，函数fx=x2lnx的导数为fx=2xlnx+x，所以f1=1，即函数fx=x2lnx在点(1,0)处的切线的斜率为k=1，由直线的点斜式方程可知，切线的方程为y=x1，即xy1=0。【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的方程，其中解答中根据导数四则运算的法则，正确求解函数的导数，得出曲线在某点处的切线的斜率，再利用点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。15.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90,AB=BC=BB1=2,D为AC的中点直线A1D与直线B1C所成角的正弦值为_.【答案】12【解析】【分析】结合题意，构造空间坐标系，利用空间向量数量积公式，计算夹角，即可。【详解】构造空间直角坐标系，设BC为x轴，AB为y轴，BB1为z轴，则A10,2,2D1,1,0,B10,0,2,C2,0,0，所以A1D=1,1,00,2,2=1,1,2B1C=2,0,00,0,2=2,0,2，结合空间向量数量积公式得到A1DB1C=A1DB1Ccos，得到cos=32，所以sin=12【点睛】本道题考查了空间向量数量积运算公式，关键建立空间坐标系，即可，属于中档题。16.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0，F1，F2为其焦点，平面内一点P满足PF2F1F2，且PF2=F1F2，线段PF1，PF2分别交椭圆于点A，B，若PA=AF1，则BF2PF2=_【答案】24【解析】【分析】由题意，可得PF2F1为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和椭圆的定义，求得a=2c，且a=2b，联立方程组，求得BF2=12a，进而可求得结果。【详解】如图所示，由椭圆的方程x2a2+y2b2=1可知，F1F2=2c，又由PF2=F1F2=2c，且PF2F1F2，所以PF2F1为等腰直角三角形，又由PA=AF1，所以点A为线段PF1的中点，则AF1=AF2，且AF2AF1，在等腰直角PF2F1中，因为PF2=F1F2=2c，可得AF1=AF2=2c，又由椭圆的定义可知AF1+AF2=2a，即2a=22c，即a=2c，又由b2=a2c2，所以a=2b，又因为PF2F1F2，所以直线PF2的方程为x=c，联立方程组x=cx2a2+y2b2=1，解得y=b2a=12a，即BF2=12a，所以BF2PF2=12a2c=12a2a=24。【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题设条件，得出PF2F1为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和椭圆的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。三解答题。17.在数列an中，前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan-12nn-1(1)求数列an的通项公式；(2)求数列2an+2an的前n项和Tn【答案】（1）an=n（2）Tn =n2+n+2n+12【解析】【分析】（1）根据数列的递推关系式，相减得anan1=1，进而利用等差数列的定义和通项公式，即可求解；（2）由（1）得2an+2an=2n+2n，利用分组求和，即可求解数列的前n项和。【详解】（1）Sn=nan-12n(n-1)，Sn-1=(n-1)an-1-12(n-1)(n-2)相减得：an=nan-n-1an-1-n-1 (n2)，an-an-1=1an是首项为1，公差为1的等差数列，an=n （2）2an+2an=2n+2n，设其前n项和为Tn则Tn=2+21+2n+2n=(2+4+2n)+(21+2n)=n2+n+2n+1-2【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的求解，以及分组求和法的应用，其中解答中正确利用等差数列的定义和递推公式化简，求得数列an的通项公式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。18.ABC中，角A,BC所对边分别为a,b,c，且a2cosAcosB-1= 2bsin2A.(1)求角C；(2)若ABC的面积为43,a=2，求【答案】（1）C=23 (2) c=221【解析】【分析】（1）由正弦定理，化简得sinA(2cosAcosB1)=2sinBsin2A，求得cos(A+B)=12，进而可求得角C的大小；（2）由三角形的面积公式，化简得b=8，在由余弦定理，即可求解边的长。【详解】（1）a(2cosAcosB-1)=2bsin2A，sinA(2cosAcosB-1)=2sinBsin2AsinA0，2cosAcosB-1=2sinBsinA，cos(A+B)=120A+Bb0的两个焦点分别为F1,F2.点P3,22在椭圆C上，且P到F1,F2的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程。(2)若过点3,0的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过O，求直线l的方程【答案】（1）x24+y22=1（2）y=22323(x3)【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，求得a=2，在代入点(3,22)，求得b2=2，即可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为y=k(x3)，联立方程组，利用根与系数的关系，求得x1+x2,x1x2，再由OAOB，利用向量数量积的运算，列出方程求得k的值，即可得到直线的方程。【详解】（1） P到F1,F2的距离之和为42a=4，a=2椭圆C:x24+y2b2=1经过点3,-22 34+12b2=1 b2=2 椭圆C的方程为x24+y22=1（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由已知得，斜率存在，设l:y=k(x-3) ，x24+y22=1y=k(x-3)(1+2k2)x2-12k2x+18k2-4=0，0得k20,exfx恒成立，求实数k的最大值【答案】(1)见解析；(2)-1【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数fx=kcosx+2，分类讨论，得出函数的单调性，进而可求得函数的极值点的个数；（2）设g(x)=exksinx2x1，先征得当k=1时是成立的，再对k1时，总存在x00,exf(x)，作出证明，进而得到实数k的最大值。【详解】（1）f(x)=kcosx+2当-2k2时，|cosx|1，|kcosx|2，f(x)=kcosx+20f(x)单调递增，在(0,2)上无极值点当k2时f(x)=kcosx+2在(0,)上单调递减，f(0)=k+20，f()=-k+20存在x1(0,)使得f(x1)=0，则x1为f(x)的极大值点；f(x)=kcosx+2在(,2)上单调递增，f()=-k+20存在x2(,2)使得f(x2)=0，则x2为f(x)的极小值点；f(x)在(0,2)上存在两个极值点当k-2时f(x)=kcosx+2在(0,)上单调递增，f(0)=k+20存