2019届高三数学上学期12月月半考试题理.doc

2019届高三数学上学期12月月半考试题理第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则 （ ） A. B. C. D.2.已知复数，若是实数，则实数的值为 （ ）A B CD3以下判断正确的是 ( ).函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件.命题“”的否定是“”C.“”是“函数是偶函数”的充要条件D. 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( )A120 cm3 B100 cm3 C80 cm3 D60 cm35.由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为 A. B. C. D. 6.设等差数列的前项和为，若,，则 （ ）A. B. C. D. 7.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ）A15种 B20种 C48种 D60种 8.已知抛物线的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A B C D 9.已知函数，则的图象大致为 ( ) OyxOyxOyxOyxA B C D资*源 10. 如图，ABC中，AD=DB，AE=EC，CD与BF交于F，设 ，则(x,y)为 ( )%库11函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为 ( ) A. B. C. D. 12.已知定义在R上的函数满足：且，则方程在区间上的所有实根之和为 （ ）A. B . C. D. 第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为 .14.如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 15.已知满足约束条件若的最小值为,则 .16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12分）2在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.18（本小题满分12分）已知数列的前项和为，（) 求证：数列是等比数列；（) 设数列的前项和为，点在直线上，求的通项.19（本小题满分12分） 随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期 频数3525资*源%库10已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为xx元，以频率作为概率.()求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望.20（本小题满分12分如图，在三棱锥中，为的中点.（1）求证：；（2）设平面平面，求二面角的平面角的正弦值.21（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点的切线与平行；（）是否存在实数，使以为直径的圆经过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由.22(本小题满分12分) 已知函数（）当时，求的单调区间；（）若函数在其定义域内有两个不同的极值点.（）求的取值范围；（）设两个极值点分别为，证明: 高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）题号123456789101112答案ADCBCCACAcBB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13-20 14 15 166三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）【解析】（I）证明：由正弦定理可知原式可以化解为和为三角形内角 , 则，两边同时乘以，可得由和角公式可知，原式得证。（II）由题,根据余弦定理可知， 为为三角形内角， 则，即 由（I）可知，18已知数列的前项和为，（) 求证：数列是等比数列；（) 设数列的前项和为，点在直线上，若不等式对于恒成立，求实数的最大值解析：（)由，得 ，两式相减得， 所以 （)，因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列 （)由（)得，因为点在直线上，所以，故是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以，当时，因为满足该式，所以 所以不等式，即为，令，则，两式相减得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；则的最小值为，所以实数的最大值是 19（本小题满分12分） 随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期 频数352510已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为xx元，以频率作为概率.()求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望.解：()由，得因为所以 3分 6分（）设分期付款的分期数为，则 8分的所有可能取值为1000，1500，xx. 10分所以的分布列为10001500xxP0.350.40.25 12分20（本小题满分12分如图，在三棱锥中，为的中点.（1）求证：；（2）设平面平面，求二面角的平面角的正弦值. 20 解：（1）设中点为，连接，因为，所以，又为的中点，所以.因为，所以，因为，所以平面，又平面，所以（2）由（1）知，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又.以为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为，得，由为中点，得，则，设平面的一个法向量为，由，即取，可得，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则所以，二面角的平面角的正弦值为. 21（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点的切线与平行；（）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（）解法一：设，把代入得，得 ，点的坐标为2分，即抛物线在点处的切线的斜率为 4分直线:的的斜率为， 6分解法二：设，把代入得，得，点的坐标为2分设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，4分直线与抛物线相切， ， 即6分（）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点 是的中点，由（）知 轴， 8分 10分，故，存在实数使为直径的圆经过点 12分22(本小题满分12分) 已知函数（）当时，求的单调区间；（）若函数在其定义域内有两个不同的极值点.（）求的取值范围；（）设两个极值点分别为，证明:解：（）当时，；函数的定义域为，当时，；当时，.所以，在上单调递减；在上单调递增. 4分() （）依题意，函数的定义域为，xyo1y=lnxy=axA所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根. （解法一）转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须. 6分令切点，所以，又，所以，解得，于是， 所以. 8分（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，而（） 若