2019届高三数学上学期期末考试试卷 理(含解析) (I).doc

2019届高三数学上学期期末考试试卷 理(含解析) (I)一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题进行判断即可.【详解】命题“，”的否定是：，故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定形式，属于简单题.2.六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ）A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种【答案】C【解析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有A22种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有A55种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有A22A55=240种.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.3.设Sn是等差数列an前n项和，若S3=1,S6=3，则a5=（ ）A. 310 B. 23 C. 18 D. 19【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式列方程组，求出首项和公差d，从而得到a5.【详解】设等差数列的首项为a1，公差为d,则S3=3a1+32d2=1S6=6a1+65d2=3,即3a1+3d=12a1+5d=1,得a1=2d,解得d=19,a1=29,则a5=a1+4d=29+49=23,故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.2x1x4的展开式中的常数项为（ ）A. -24 B. -6 C. 6 D. 24【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项【详解】二项展开式的通项为Tr+1=（1）r24rC4rx42r,令42r=0得r=2.所以展开式的常数项为4C42=24.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查二项式展开式的通项和利用其求特定项，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 二项式通项公式：Tr+1=Cnranrbr （r=0,1,2,n）,它表示的是二项式的展开式的第r+1项，而不是第项；其中Cnr叫二项式展开式第r+1项的二项式系数，而二项式展开式第r+1项的系数是字母幂前的常数；注意r=0,1,2,n.5.过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交抛物线于点A和B，则线段AB的长度是（ ）A. 8 B. 4 C. 6 D. 7【答案】A【解析】【分析】设直线l方程与抛物线联立，写出韦达定理，利用抛物线的定义即可求得弦长.【详解】设过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线l的方程为：y=x-1,将直线方程与抛物线方程联立y=x-1y2=4x,消y得x2-6x+1=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,得到x1+x2=6，由抛物线的定义知：|AB|AF|+|BF|x1+1+1+x28故选：A【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查转化能力和计算能力.6.已知20，sin+cos=15，则1cos2sin2的值为( )A. 75 B. 257 C. 725 D. 2425【答案】B【解析】【分析】由sin+cos=15结合平方关系得到sincos，进而得到cos-sin，从而得到结果.【详解】sin+cos=15，1+2sincos=1252sincos=-2425，(cos-sin)2=1+2425，又-20sin，cos-sin=75，1cos2-sin2=1(cos-sin)(cos+sin)=11575=257，故选B.【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二7.若实数x,y满足条件x+y20,xy0,y3,则z=3x4y的最大值是（ ）A. -13 B. -3 C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不等式组x+y-20,x-y0,y3,表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，3），C（1，1），B（3，3）设zF（x，y）3x4y，将直线l：z3x4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，z最大值F（1，1）1，故选：C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.函数f(x)=2cosx(x,)的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】x,f（x）=2cos（x）=2cosx=f（x），f（x） 为偶函数，则图象关于y 轴对称，排除A、D，把x= 代入得f（）=21=0.5 ，故图象过点（，0.5） ，C选项适合，故选C【点睛】本题主要考查学生的识图能力，解题时由函数所满足的性质排除一些选项，再结合特殊值，易得答案9.已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(1,1)，C(1,0)，D(1,0)，其中A,B两点在曲线y=x2上，如图所示.若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（ ）A. 34 B. 35 C. 23 D. 13【答案】C【解析】阴影部分的图形面积为201(1x2)dx=43，长方形的面积为2，故得到骰子落入阴影区域的概率是432=23. 故答案为：C。10.如图正方体的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E,F且EF=22，则下列结论错误的是（ ）A. AC与BE所成角为45B. 三棱锥ABEF的体积为定值C. EF/平面ABCDD. 二面角AEFB是定值【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个判断即可得到答案.【详解】选项A，ACBD，ACBB1，且BD BB1=B,可得AC面DD1B1B，即得ACBE，此命题错误；选项B, 由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故三棱锥ABEF的体积为定值，此命题正确；选项C，由正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上且EF与平面ABCD无公共点，故EF平面ABCD，此命题正确；选项D，由于E、F为线段B1D1上有两个动点，故二面角AEFB的平面角大小始终是二面角AB1D1B的平面角大小，为定值，故正确；故选：A.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用，属于基础题.11.若四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，E,F分别为BC,CD的中点，则AEEF=（ ）A. -12 B. 12 C. -32 D. 32【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，可得ABAD=22cos60=2，则AEEF=AB+12AD12BD=12AB+12ADADAB=12AB2+12AD2+12ABAD=124+124+122=12，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）12.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f(x)12，则满足2f(x)x+1的x的集合为（ )A. x1x1 B. xx1 C. xx1 D. xx1【答案】B【解析】【分析】利用2f(x)0。得出g(x)的单调性结合g(1) 0即可解出。【详解】令g(x)2f(x)x1.因为f(x)12，所以g(x)2f(x)10.所以g(x)为单调增函数因为f(1)1，所以g(1)2f(1)110.所以当x1时，g(x)0，即2f(x)0,b0)的左、右顶点分别为A和B，M是E上一点，等腰三角形ABM的外接圆面积为3a2，则双曲线E的离心率为_.【答案】3【解析】【分析】设M在双曲线右支上，由题意可得M的坐标，代入双曲线方程可得a,b等量关系，再由离心率公式即可得到所求值【详解】设M在双曲线x2a2-y2b2=1的右支上外接圆面积为3a2，3a2R2，R3aMBAB2a，设MAB，MBx=2MBsinMAB=2asin=2R23a，sin33，cos63,sin2=2 sincos=223, cos2=1-2sin2=13,则M的坐标为（x，y），x=a+MBcos2=a+2a3=5a3,y=MBsin2=423a,所以M(5a3,423a),将点M代入双曲线方程可得259-32a29b2=1，可得b2a2=c2-a2a2=e2-1=2，即有e3故答案为：3【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的知识，求得M的坐标是解题的关键三、解答题：（本大题共6小题，共70分）.17.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ca，a=5，b=13，cosB=45.（1）求的值；（2）求sin(A+4)的值.【答案】（1）6（2）52626【解析】【分析】(1)利用余弦定理计算即可得c值；（2）先由正弦定理得sinA,然后利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】在ABC中，由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB，得c2-8c+12=0，(c-2)(c-6)=0ca，c=6（2）由cosB=45，得sinB=35,由正弦定理得asinA=bsinB,即5sinA=1335，解得sinA=31313，又ca，cosA=1-sin2A=21313，则sin(A+4)=22(sinA+cosA)=22(31313+21313)=52626.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查两角和的正弦公式，属于基础题.18.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O是线段AD上的靠近D点的三等分点.已知BC=2PO=4OD（1）证明：APBC；（2）若点M是线段AP上一点，且平面AMC平面BMC.试求AMAP的值.【答案】（1）详见解析（2）34【解析】【分析】（1）利用已知条件证明BC面POD，再由线面垂直的性质定理即可得到证明；（2）建立空间直角坐标系，设AMAP=，求出平面AMC和平面BMC的法向量，由平面AMC平面BMC可知法向量也是互相垂直的，由数量积为0即可得到答案.【详解】解：（1）AB=AC，D是BC的中点，ADBC，PO面ABC，POBC， ADPO=OBC面POD，AP面APD，APBC(2)过点O作ON/BC交AB于点N，由已知可得ONOD，以ON,OD,OP所在直线为x轴和y轴和z轴建立空间直角坐标系，不妨设OD=1，则OP=2,BC=4.O0,0,0,P0,0,2,A0,-2,0,B(2,1,0)设AMAP=，AM=AP=(0,2,2)，BM=BA+AM=(-2,-3+2,2)设面AMC的法向量n=(x,y,z)，M点在面APC上所以nAP=0,nAC=0，即得-2x+3y=02y+2z=0n=(3,2,-2)设面BMC法向量为m=(a,b,c)mBC=0，mBM=0a=0b(-3+2)+c2=0，m=(0,1,3-22)两个面垂直，所以他们的法向量也是互相垂直的，mn=02-3-2=0解得=34； 【点睛】本题考查线面垂直的性质定理的应用和利用空间向量解决立体几何问题，考查学生的计算能力，属于基础题.19.某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20，20,40，40,60，40,60，60,80，80,100（）求直方图中x的值；（）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.（以直方图中频率作为概率）【答案】（I）0.0025（II）180人（III）详见解析【解析】【分析】（I）根据频率直方图的矩形面积之和为1求出x值；（II）根据上学时间不少于 1 小时的频率估计住校人数；（III）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望【详解】（I）20(2x+0.0175+0.0225+0.005)=1x=0.0025（II）学生上学时间不少于1小时的频率为：200.005+0.0025=0.15 新生中可以申请住宿的人数为：12000.15=180人（III）X的可能取值为0，1，2，3，4，由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为25P(X=0)=(1-25)4=81625P(X=1)=C4125(1-25)3=216625P(X=2)=C42(25)2(1-25)2=216625P(X=3)=C43(25)3(1-25)=96625P(X=0)=(1-25)4=81625P(X=4)=(25)4=16625X的分布列是X01234P816252166252166259662516625X满足二项分布XB(4,25)，E(X)=85【点睛】本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0,b0)的离心率为32，长轴长为4，直线y=kx+m与椭圆C交于A,B两点且AOB为直角，O为坐标原点.（）求椭圆C的方程；（）求AB长度的最大值.【答案】（I）x24+y2=1（II）5【解析】【分析】（I）根据离心率和长轴长，可得a，b后写出椭圆方程；（II）联立直线与椭圆，写出韦达定理，利用AOB90，得出k与m的关系再用弦长公式求出弦长|AB|，利用基本不等式求出最大值【详解】（I）由2a=4，a=2，e=32，c=3，b=1 所以椭圆方程为x24+y2=1（II）设A(x1,y1) B(x2,y2)，把y=kx+m代入x24+y2=1，得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0 x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，AOB=90，OAOB=x1x2+y1y2=0，x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=04k2+4=5m2，=16(4k2+1-m2)04k2+1-m2=4k2+1-4k2+450 16k2+10，则AB=1+k2x1+x22-4x1x2=41+k24k2+1-m24k2+1=41+k24k2+1-4k2+454k2+1=45516k4+17k2+116k4+8k2+1=4551+9k216k4+8k2+1=4551+916k2+1k2+84551+98+8=5当k=12时，ABmax=5【点睛】本题考查圆锥曲线中求最值或范围，解题时可从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知函数f(x)=alnxx+1（）若a=1时，求f(x)的单调区间和极值；（）当0ae+1e时，若函数g(x)=f(x)+1x1有两个极值点x1，x2(x10，当a=1时，f(x)=lnx-x+1fx=1x-1=1-xx，当x（0，1），有f（x）0，当x（1，+）若f（x）0，则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）内单调递减则当x=1时，函数取得极大值f(1)=0，无极小值.（II）g(x)=f(x)+1x-1=alnx-x+1x,且g(x)=ax-1-1x2=-x2+ax-1x2由已知可得g(x)=0即方程-x2+ax-1=0有两个不相等的实数根x1,x2(x101x2+x2=ax1=1x2a2其中0x11x2，则g(x2)-g(x1)=alnx2x1+(x1-x2)+(1x2-1x1)=(x2+1x2)lnx22+2(1x2-x2)=2(x2+1x2)lnx2+(1x2-x2) 0ae+1e，得21，x21,e设t(x)=2(x+1x)lnx+2x-2x，t(x)=2(1-1x2)lnx0x1,e，t(x)=tmax=4e【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，最值问题，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，是中档题请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 选修44：坐标系与参数方程。已知曲线C：x=4+cost,y=3+sint,（t为参数）， C：x=8cos,y=3sin,（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对