2019高中数学-第1章-导数及其应用-第1-2节-导数的概念及运算学案-理-苏教版选修2-2.doc

第1-2节 导数的概念及运算一、学习目标： 1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2. 熟记常函数C，幂函数xn（n为有理数），三角函数sinx，cosx，指数函数ex，ax，对数函数lnx，logax的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则； 3. 掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。二、重点、难点重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数。难点：导数的概念、复合函数的导数。三、考点分析：1. 导数既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材。导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一。2. 考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。 1. 导数的概念：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，函数相应地有增量，如果当时，趋于常数A，称函数在点处可导，并把A叫做在处的导数，记作或2. 导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点处的切线的斜率是。相应地，切线方程为。3. 导数的运算：（1）基本函数的导数公式：；。（2）导数的运算法则：设均可导，则；（C为常数）；（3）复合函数的导数：设均可导，则复合函数可导，且 知识点一：导数的概念例1 已知函数在=附近有意义且可导，导函数为，若=2，则趋于（ ）A. 2 B. C. D. 思路分析：本题是导数概念题，注意自变量的增量为。解题过程：原式=，故选D。解题后反思：对导数概念问题，注意要准确地从函数增量的式子中找出自变量的增量，紧扣函数在某一点的导数的概念：函数增量与自变量增量的比的极限值就是这一点的导数解题，本题中自变量的增量为。知识点二：导数的几何意义例2 曲线=在点（1，1）处的切线方程为（ ）A. B. =0 C. =0 D. =0思路分析：先求函数在这一点的导数即切线斜率，再由点斜式写出直线方程。解题过程：=，曲线在点（1，1）处的切线斜率=，曲线在点（1，1）处的切线方程为,即，故选B。解题后反思：对曲线的切线问题，注意利用导数的几何意义解题，注意过某一点的切线与在某一点的切线的区别。例3 求函数=过点P（1,）的切线方程。思路分析：先设出切点坐标，求出切线方程，再利用切点既在曲线上又在切线上，列出切点坐标的方程，求出切点坐标，从而求出切线方程。解题过程：设切点Q（,）,求导得=，由导数的几何意义得曲线在点Q（,）处的切线斜率=，曲线在点（1,）处的切线方程为：=，又点Q（,）既在切线上，又在函数图像上，解得，或，切线方程为=0或=0。解题后反思：注意过某点的切线与在某点的切线的区别,要掌握过某点的曲线的切线方程求法。知识点三：导数的实际意义例4 设球的半径为时间t的函数，若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球的半径A. 成正比，比例系数为c B. 成正比，比例系数为2c C. 成反比，比例系数为c D. 成反比，比例系数为2c 思路分析：求出球的表面积的导数，观察其与球的半径的关系。解题过程：由题意可知球的体积为=，则=，由此可得=，而球的表面积为=，=，故选D；解题后反思：注意利用题中条件，球的体积以均匀速度c增长即球的体积函数的导数为常数。知识点四：导数的运算例5 求下列函数的导数：； ； 。思路分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数。解题过程：（1）（2）。；（3）令，；（4），解题后反思：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力。（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误。对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导。（3）对复杂函数进行求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数。例6 （1）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_。（2）已知函数在R上满足=，则曲线在点处的切线方程是_。思路分析：（1）本题是函数存在斜率为0的切线问题，先求导，转化为导数为0恒有解的问题，通过参变分离求出参数范围。（2）先求，因是复合函数，故根据复合函数的导数法则等式两边求导，再将=1代入，即可求出，代入点斜式即可求得切线方程。解题过程：（1）由题知函数的定义域为，求导得，又因为存在垂直于轴的切线，所以=0恒有解，即=（）恒有解， 0，实数的取值范围是（，0）。（2）令=1得，=，即=，解得=1，对=两边同求导得，=，将=1代入上式得，=，即=，解得=2，在点处的切线方程为=，即。解题后反思：对含参数函数的导数问题，应注意函数的定义域。（全国高考）曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 1思路分析：利用导数求出点（0，2）处的切线方程，然后分别求出与直线y0与yx的交点问题即可解决。解答过程：切线方程是：,在直角坐标系中作出示意图，即得。解题后反思：函数在点处的切线方程是。1. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时，还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性，在解决新问题时，触类旁通，得心应手。 2熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。 3. 对于一个复合函数，一定要理清其中的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。下节课我们将学习导数的应用，那么导数的应用是指它在哪些方面的应用呢？请同学们阅读课本，并且进行思考。速练6同位素、同系物、同素异形体、同分异构体的辨析判断1(2018浙江省选考科目考试绍兴市适应性考试)下列说法不正确的是()A乙醇和乙醚是同分异构体B14C和16O含有相同的中子数C甲酸和硬脂酸互为同系物D“纳米泡沫” 是由无数个微小碳管组成的网状结构碳，是C60的同素异形体2下列说法正确的是()A12C、13C、14C互为同位素，其中子数之比为121314B氧气和臭氧互为同素异形体，两者之间可以相互转化C乙二醇和丙三醇互为同系物DC5H10O属于醛的同分异构体有3种3下列说法正确的是()A.O表示质量数为8、中子数为8的核素BCH3CH2CH2CH2CH3在光照下与氯气反应，生成的一氯代物有2种CCH3COOCH2CH3和HCOOCH3互为同系物D某有机物的名称为3乙基丁烷4(2018浙江省名校新高考研究联盟高三第二次联考)下列说法中不正确的是()A金刚石和石墨互为同素异形体，两者之间的转化是化学变化B与互为同系物CC5H11Cl的同分异构体有8种D与CH3COOH互为同分异构体5(2018嘉兴市高三二模)下列说法不正确的是()AC12原子是指质子数和中子数都是6的核素B35Cl与37Cl互为同位素，两者核外电子排布相同CCH3OH与H3COCH3互为同系物DN3与N2互为同素异形体6(2018绍兴市高三选考科目适应性考试)下列说法不正确的是()A.C和C互为同位素B金刚石和石墨互为同素异形体CCH3COOCH2CH3和CH3CH2CH2COOH互为同分异构体DCH4和CH3Cl互为同系物7(2018浙江省十校联盟选考3月适应性考试)下列说法正确的是()A1H2O和2H2O表示氢元素的二种核素BC60和金刚石互为同素异形体，它们都是分子晶体CHOCOOH和CH3COOH互为同系物D丙氨酸CH3CH(NH2)COOH与CH3CH2CH2NO2互为同分异构体8(2018浙江教育绿色评价联盟3月适应性考试)下列说法正确的是()A氧气和臭氧互为同素异形体，它们之间的互变属于物理变化B3种氢核素与2种氧核素，可组成6种不同组成的水分子C乙醇和乙二醇互为同系物D组成为 C9H12，在苯环上同时存在 3 个CH3 的异构体有 3 种9(2018杭州市余杭区高二上学期期末)下列说法正确的是()A与互为同分异构体B红磷与白磷互为同素异形体CCH3CH2OH与HOCH2CH2CH2OH互为同系物D35Cl与37Cl为同一种核素10(2018嘉兴市第一中学高二下学期期末)下列说法不正确的是()A.He的中子数是2B白磷、红磷互为同素异形体C18O和16O互为同位素D正丁烷和异丁烷互为同分异构体 11(2018杭州市学军中学3月高三选考模拟)下列关于有机化合物的说法正确的是()AH2与D2互为同素异形体B符合CnH2n2且n不同的烃一定属于同系物CCH2Cl2有2种同分异构体D碳元素有多种核素，其中13C可用于考古断代12(2018杭州市学军中学高三选考前适应性练习)下列说法不正确的是()A金刚石、石墨与C60互为同素异形体B软脂酸(C15H31COOH)和硬脂酸(C17H35COOH)互为同系物C丙烷与氯气反应，可得到沸点不同的3种一氯代物DC(CH3)4的名称是 2,2二甲基丙烷答案精析1AA项，乙醇和甲醚是同分异构体，错误；B项，14C 的中子数为8,16O 的中子数为8，所以14C 和 16O含有相同的中子数，正确；C项，甲酸和硬脂酸都符合通式CnH2nO2，都是饱和一元酸，故甲酸和硬脂酸互为同系物，正确。2B3.C4.B5CA项，原子中质量数质子数中子数，C12原子是指质子数和中子数都是6的碳原子，正确；B项，35Cl与37Cl互为同位素，二者的核外电子数相同，所以核外电子排布相同，正确；C项，CH3OH属于醇类，H3COCH3属于醚类，二者官能团不同，不是同系物，错误；D项，同素异形体是同一种元素组成的不同单质，N3与N2互为同素异形体，正确。6DA项，同位素：质子数相等，中子数不等的同一元素的不同核素互为同位素，正确；B项，同素异形体：同种元素形成的不同单质，金刚石和石墨都是碳元素组成的单质，结构不同，正确；C项，同分异构体：分子式相同，结构不同的化合物，两者分子式均为C4H8O2，前者属于酯，后者属于羧酸，互为同分异构体，正确；D项，含有的官能团不同，前者属于烷烃，后者属于卤代烃，错误。7D1H和2H表示氢元素的二种核素，故A错误；金刚石是原子晶体，故B错误；HOCOOH和CH3COOH不是相差1个CH2原子团，不是同系物，故C错误；丙氨酸CH3CH(NH2)COOH与CH3CH2CH2NO2分子式相同、结构不同，所以互为同分异构体，故D正确。8DA项，氧气和臭氧互为同素异形体，它们之间的互变属于