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文档简介
回归分析与协方差分析,内容,9.1一元线性回归,学习目标,散点图,回归系数,正规方程,经验回归方程;回归平方和,剩余平方和,相关系数,显著性检验.,不确定关系,人的身高,体重,农作物的单位面积产量,施肥量,9.1一元线性回归,1.一元线性回归的基本概念,线性模型,例为了研究弹簧悬挂不同重量(单位:克力)x时长度(单位:厘米)y的关系。通过试验得到一组数据。,重量xi51015202530长度yj7.258.128.959.9010.9011.80,把这些数据点(xi,yj)画在xoy坐标系中,图形称为散点图。,*,*,*,*,*,*,L,散点图,记L为,进行n次独立试验,测得数据如下:,我们的问题是,如何根据这些观测值用“最佳的”形式来表达变量Y与X之间的相关关系?,一般而言,在变量x取值以后,若Y所取的值服从N(+x,2)分布,当、及2未知时,根据样本(x1,Y1),(x2,Y2),(xn,Yn)的观测值(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)对未知参数、及2所作的估计与检验称为一元线性回归分析,而称为截距,称为回归系数,E(Y)+x称为回归方程。,由回归方程可以推出,根据样本及其观测值可以得到、及2的估计量及估计值,得到回归方程的估计式或经验回归方程,最常用的是最小二乘法,即求出,的值最小,所求出的a称为经验截距,简称为截距,b称为经验回归系数,简称为回归系数,而,2.总体中未知参数的估计,根据最小二乘法的要求由,得到一元线性回归的正规方程组,并求出,建立一元线性回归方程的具体步骤:,(3)计算b和a,写出一元线性回归方程。,与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE,称为剩余平方和。,将a、b和SSE以及和看作是统计量,它们的表达式分别为,这些统计量之间以及它们与总体参数之间有以下的内在联系:,为提高a的估计精度,最理想的选择是使0,其绝对值越小越好;,为提高b的估计精度,应该使lxx取较大的数值,x1、x2、xn越分散越好;观测值的个数n不能太小。,3.线性回归方程的显著性检验,因此,必须对回归方程的拟合情况或效果作显著性检验。,其理论基础就是总平方和的分解,即,表示n个y1、y2、yn与之间的差异,当各个yi已知时,它是一个定值,称为总平方和,记作SST。,通过回归已经达到了最小值,称为剩余平方和,记作SSE。,称为回归平方和,记作SSR。,因此,SSTSSE+SSR。,如果SSR的数值较大,SSE的数值便比较小,说明回归的效果好;如果SSR的数值较小,SSE的数值便比较大,说明回归的效果差。,如果|r|较大,SSE的数值便比较小,说明回归的效果好或者说x与Y的线性关系密切;如果|r|较小,SSE的数值便比较大,说明回归的效果差或者说x与Y的线性关系不密切;因此称r为x与Y的观测值的相关系数。又由r及回归系数的计算公式,可以推出:r0时b0,x增加时Y的观测值呈增加的趋势;r0时称x与Y正相关,r0时称x与Y负相关。,综上所述,如果设H0为0,也就是假设x与Y不是线性关系,则可以用以下三种实质相同的方法检验线性回归方程的显著性,且当检验的结果显著时x与Y的线性关系显著,回归方程可供应用;当检验的结果不显著时x与Y的线性关系不显著,回归方程不可应用。,F检验法:,当H0为真时,,且SSR与SSE相互独立;因此,当H0为真时,,当FF1-(1,n-2)时应该放弃原假设H0。,(2)t检验法:,当H0为真时,,当|t|t1-0.5(n-2)时应该放弃原假设H0。,(3)r检验法:,根据x与Y的观测值的相关系数,可以推出,当H0为真时,,当FF1-(1,n-2)或|r|r(n-2)时应该放弃原假设H0,式中的,可由r检验用表中查出。,因此,r常常用来表示x与Y的线性关系在x与Y的全部关系中所占的百分比,又称为x与Y的观测值的决定系数。,4.利用回归方程进行点预测和区间预测,若线性回归作显著性检验的结果是放弃H0,也就是放弃回归系数0的假设,便可以利用回归方程进行点预测和区间预测,这是人们关注线性回归的主要原因之一。,当xx0时,,Y0的观测值y0的点预测是无偏的。,当xx0时,用适合不等式PY0(G,H)1-的统计量G和H所确定的随机区间(G,H)预测Y0的取值范围称为区间预测,而(G,H)称为Y0的1-预测区间。,若Y0与样本中的各Yi相互独立,则根据ZY0-(a+bx0)服从正态分布,E(Z)0,,Z与SSE相互独立,,可以导出,因此,Y0的1-预测区间为a+bx0(x0),,例1.1吸附方程某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质,如果温度x(单位:)与吸附重量Y(单位:mg)的观测值如下表所示:,温度x1.51.82.43.03.53.94.44.85.0,重量y4.85.77.08.310.912.413.113.615.3,试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验,若x02,求Y0的0.95预测区间。,解:根据上述观测值得到n9,,所求的线性回归方程为,显著性检验方法F检验法:SSTlyy114.516,SSRblxy112.485,SSESST-blxy2.031,n-27,F0.99(1,7)12.2,,所以回归方程极显著;,t检验法:,所以回归方程极显著;,(3)r检验法:,所以回归方程极显著.,Y0的0.95预测区间为(4.09,8.15)。这说明当温度为2时,应该预测吸附另一种物质的重量在4.09至8.15之间,并且预测100次将有95次是正确的。,例1.2植物保护一些夏季害虫的盛发期与春季温度有关,现有1956-1964年间3月下旬至4月中旬旬平均温度的累计数x和一代三化螟蛾盛发期Y(以5月10日为0)的观测值如下:,温度x35.534.131.740.336.840.231.739.244.2,盛发期y12169273139-1,试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验,若x040,求Y0的0.95预测区间。,解:根据上述观测值得到n9,,所求的线性回归方程为,显著性检验方法F检验法:SSTlyy249.5556,SSRblxy174.8886,SSESST-blxy74.6670,n-27,F0.99(1,7)12.2,,所以回归方程极显著;,t
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