初二四边形复习教案【重点】.doc

第4章 四边形综合复习一、知识要点回顾：1.知识归纳：2.在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 。3.平行四边形的性质：与边有关的_。与角有关_ _，对角线_。4.矩形(1) 矩形具有平形四边形的所有性质, 还具有自己的性质: 矩形的每个角都是 ; 矩形的对角线 且 .5.菱形菱形具有平行四边形的一切性质, 还具有自己的性质:(1) 菱形的四条边都 ;(2) 菱形的对角线 6.正方形正方形具有矩形和菱形的一切性质. 注意：对角线与特殊四边形的关系1.对角线互相平分的四边形是平行四边形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形四、例题解析 例1：如图，在的纸片中，ACAB，AC与BD交于O，将ABC沿对角线AC翻折得到.（1）求证：以A、C、D、为顶点的四边形是矩形；（2）若， 求翻折后纸片重叠部分的面积，即. 意图：1、平行四边形的性质、矩形的判定定理的综合应用； 2、实现一题多解，有选择的运用矩形的判定定理，评析证明方法的优劣。 3、等积变换，以及对三角形底的选择直接影响到求面积的难易程度。 例2：我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论. 意图：如何实现构造两条线段之和及将夹角进行有效转移例3：如图，已知中，平分，交于，于，交于，且。（1）试说明；（2）试问与之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由。 解法1：（见图1）延长到，使得，连结，实现将转化为线段；解法2：（见图2）延长到，使得，连结，实现将转化为线段；解法3：（见图3）延长到，使得，将绕点顺时针旋转，得到，实现将转化为线段；图1 图2 图3解法4：（见图4）如图建立平面直角坐标系，设， 则， ， 可证得，则， 可求得，即 则 解法5：见图5：如图建立直角坐标系，解法同解法4 图4 图5将此题还原对比： 在中，平分交于点，证明： 还原图 例题图意图：1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和，运用了平移、旋转变换构造； 2、解法4、5均强调将几何问题代数化，初步渗透高中解析几何的思想。 体会（1）建立平面直角坐标系的可能。即存在直角。或有特殊的基本图形存在，如等腰直角三角形、正方形； （2）坐标原点和轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度。 3、关注题目中的重要条件，抓注基本特征，将图形有效还原。例4：如图，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且FAEEAD，那么EFAE.又将正方形改为矩形、菱形和任意平行四边形(如图、图、图)，其它条件不变，发现仍然有“EFAE”的结论.你同意小明的观点吗？若同意，请结合图加以证明；若不同意，请说明理由.例5：请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明对于例4、例5 意图：1、培养良好的审题习惯； 2、注意中点的作用； 3、注意在动中求静； 4、性质的熟练应用例6、1、已知：中，是边的中点，平分，于点。若，。求 2、点为函数的图象上的点，点的坐标分别为，。试用性质：函数的图象上任一点都满足，求解下面问题：做的平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知点A在函数的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则此曲线为（ ）A、直线B、抛物线C、圆 D、反比例函数曲线意图：比较两题，2题比1题从字数上就多很多，但若认真审题会发现题干中有相同的条件，蕴涵着相同的基本图形。例7、已知：分别以的各边为边，在边的同侧作等边三角形、等边三角形 和等边三角形，连结。（1）试说明四边形为平行四边形；（2）当满足什么条件时，四边形为菱形、矩形、正方形；（3）四边形一定存在吗？试说明理由。意图：1、关注旋转全等形； 2、检验平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理的熟练程度；3、 逆向巩固练习：Ex1：在正方形中，为中点，点在上，且， 连接，试问与的位置关系如何？并说明理由。 （此题至少3种做法，其中倍长和建系做法尤佳） Ex2: 正方形ABCD边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点, 则DM+MN的最小值为 (注意正方形的对称性)Ex3:我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、 BE相交于点O，若，DCB=EBC=，请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且DCB=EBC=.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.(针对例4、例5)EX4:如图，中，过点分别作的外角平分线的垂线, 为垂足。求证：（1）; （2）; （3）若过分别作的平分线的垂线，垂足分别为。 结论有无变化？请加以说明。 （针对例6）EX5：中，都是等边三角形。求四边形的面积。（针对例7）五、动点问题1.如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于E（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论2.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动AQCDBP若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2） 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？OECBDAlOCBA（备用图）3.如图，在中，点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点过点作交直线于点，设直线的旋转角为（1）当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由参考答案1.分析：（1）根据CE平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：- 9 -解：（1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形如图AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，CE平分ACB，ACE= ACB，同理，ACF= ACG，ECF=ACE+ACF= （ACB+ACG）= 180=90，四边形AECF是矩形（3）ABC是直角三角形四边形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90，MNBC，BCA=AOM，BCA=90，ABC是直角三角形点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用2.解：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘米，又， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（2） 设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次