2019届湖南省三湘名校高三上学期第二次大联考数学理试题(word版).doc

三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合，则A. B. C. D. 【答案】C2.复数的共轭复数为A. B. C. D. 【答案】C3.下列有关命题的说法正确的是A. 若为假命题，则均为假命题B. 是的必要不充分条件C. 命题若则 的逆否命题为真命题D. 命题使得的否定是：均有【答案】C4.已知等差数列的前项和为，则数列的前2018项和为A. B. C. D. 【答案】A5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种 B. 256种 C. 24种 D. 36种【答案】D6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，计算结果取整数）A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145【答案】B7.已知满足，且，则的最小值为 （ ）A. B. C. D. 10【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. 644 C. 646 D. 648【答案】B9.已知直线，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B10.已知，满足约束条件，若的取值集合为，且，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D11.已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是A. -1 B. C. D. 【答案】B12.已知函数，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的最大值为A. B. 8 C. D. 【答案】C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率，则_【答案】14.在区间内任取一个实数，在区间内任取一个实数，则点位于曲线的图像上方的概率为_【答案】15.如图，在同一平面内，点位于两平行直线，同侧，且到，的距离分别为1，2.点，分别在，上，则的最大值为_【答案】616.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为_【答案】三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若为边上的点，且，求的长.【答案】(); ()CD = 13【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得，最后根据两角和余弦公式求的值；（2）先根据正弦定理求得BD，再根据余弦定理求的长.试题解析：()解：由得：即A、B、C是ABC的内角，因此，又，故 由得：()解：由得：由正弦定理得：，在BCD中，CD = 1318.如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）【解析】【分析】（1）过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点作于，连接EH，. 平面平面，平面，平面平面于 平面.又平面，.， 四边形为平行四边形. ， 平面，平面，平面. （2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，.分别以，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.， ，设平面的法向量为.由，得令，得.， 直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一等品；当时，产品为二等品；当时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组频数1015253020（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率与质量指标值满足关系：，其中，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由.【答案】（1）（2）甲【解析】【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为， 所以.（2）甲生产线生产的产品的利润分布列为0.60.4所以 ， 乙生产线生产的产品的利润分布列为0.50.40.1所以 ， 因为，所以所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）由椭圆离心率结合得到a,b,c之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时，得到为直径的圆的方程，当直线l斜率为0时，得到为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q，然后只需证明当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【详解】解：（1） 由题意，所以，.又，所以，故椭圆的方程为（2）当轴时，以为直径的圆的方程为当轴时，以为直径的圆的方程为.可得两圆交点为 由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为下证符合题意设直线的斜率存在，且不为0，则方程为，代入并整理得， 设，则， ，所以 故，即在以为直径的圆上综上，以为直径的圆恒过定点【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法： 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）证明：，.【答案】（1）（2）证明过程详见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值;（2）由题意可知只需证明结合（1）的单调性和最值即可得到证明.【详解】解：（1），知：在和上递减，在上递增，当时，；当时， 故（2）由（1）知在和上递减，在上递增，当时，而，故在上递增，即；当时，令，则，故在上递增，上递减，即，综上，.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|【详解】（1），曲线C的直角坐标方程为 直线l的参数方程为（t为参数），直线l的极坐标方程为 （2）将代入曲线C的极坐标方程得，A点的极坐标为 将代入直线l的极坐标方程得，解得 B点的极坐标为，【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分