概率论课程设计--合金的抗压强度与添加剂浓度回归分析.doc

概率论与数理统计课程设计成 绩 评 定 表学生姓名班级学号专 业课程设计题目合金的抗压强度与添加剂浓度回归分析评语组长签字：成绩日期 2014年 月 日课程设计（论文）任务书学院专 业学生姓名班级学号课程名称概率论与数理统计课程设计课程设计（论文）题目合金的抗压强度与添加剂浓度回归分析设计要求（技术参数）：通过该课程设计，使学生进一步理解概率论与数理统计的基本概念、理论和方法；初步掌握Excel统计工作表在随机模拟中是应用，SPSS统计软件包作常见的统计检验和统计分析；具备初步的运用计算机完成数据处理的技能，使课堂中学习到理论得到应用。设计任务（至少三个）：1数据整理：收集数据，录入数据，画出相应图形（如分布图、直方图、盒状图等）。2掌握用SPSS或Excel作一个正态总体均值、方差的假设检验或两个正态总体的均值差、方差比的假设检验方法。3学习用SPSS求一个正态总体的均值、方差的置信区间的方法；求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的方法.4常用分布的5种功能：概率密度函数、分布函数、分位数、随机数的生成、均值和方差的应用。5. 掌握用SPSS统计软件进行均值和方差的点估计。计划与进度安排：第一周周五14节：选题，设计解决问题方法，周五58节：调试程序 第二周周五18节：完成论文，答辩指导教师（签字）： 2014年7月8日 专业负责人（签字）：2014年7月18日主管院长（签字） 2014年7月19日摘 要数理统计是具有广泛应用的数学分支，概率论与数理统计课程在自然科学、社会科学、工农业生产、金融、经济等方面有着广泛的应用，而回归分析问题在其中占有很重要的地位。回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式，它是最常用的数理统计方法，能解决预测、控制、生产工艺优化等问题，在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛应用。多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析及多个因变量对多个自变量的回归分析, 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。本文利用回归分析中的多元线性回归对合金的添加剂浓度与其抗压强度的关系进行了详细的分析和解答，并运用MATLAB软件作出了其散点图、交互式画面和残差图，有助于更好地理解和解答题目。关键词：预测值；残差；置信区间；回归系数；估计值；合金抗压强度；添加剂浓度目 录1 设计目的12 设计题目13 设计原理14 实现方法25 设计总结7致 谢8参考文献9III合金的抗压强度与添加剂浓度的回归分析1 设计目的学习用MATLAB求解多元线性回归问题。学会正确使用regress，并从输出表中读懂线性回归模型各参数的估计、回归方程，线性假设的显著性检验结果，因变量Y在观察点的预测区间等，更好的理解和运用概率论的相关知识解决实际问题。2 设计题目合金在某种添加剂物的浓度下，各做三次试验，数据如下：表1 合金添加剂浓度与抗压强度关系浓度x10.015.020.025.030.0抗压强度y25.229.831.231.729.427.331.132.630.130.828.727.829.732.332.8(1)做散点图。(2)以模型Yb+bx+bx+,N(0,)拟合数据，其中b，b，b， 与x无关。(3)求回归方程=+x+,并作回归分析。3 设计原理 在实际问题中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线性的（即直线型），而是非线性的（即曲线型）。设其中有两个变量X与Y，我们可以用一个确定函数关系式：y=u(x)大致的描述Y与X之间的相关关系，函数u(x)称为Y关于X的回归函数，方程y=u(x)成为Y关于X的回归方程。一元线性回归处理的是两个变量x与y之间的线性关系，可以设想y的值由两部分构成：一部分由自变量x 的线性影响所致，表示x的线性函数 a+bx；另一部分则由众多其他因素，包括随机因素的影响所致，这一部分可以视为随机误差项，记为。可得一元线性回归模型 y=a+bx+(1)式中，自变量x是可以控制的随机变量，成为回归变量；固定的未知参数a,b成为回归系数；y称为响应变量或因变量。由于是随机误差，根据中心极限定理，通常假定N(0,)，是未知参数。确定Y与X之间的关系前，可根据专业知识或散点图，选择适当的曲线回归方程，而这些方程往往可以化为线性方程或者就是线性方程，因此我们可以用线性方程：y=a+bx大致描述变量Y与X之间的关系；回归分析一般分为一元线性回归和多元线性回归，本体采用多元线性回归。回归分析的基本思想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。用MATLAB多元线性回归的命令是regress，其格式如下：1.确定回归系数的点估计值，用命令：bregress（Y，X）2.求回归系数的点估计和区间估计，并检验回归模型，用命令：b，bint，r，rint，statsregress（Y，X，alpha）3.画出残差及置信区间，用命令：rcoplot（r，rint）. 4 实现方法用MATLAB软件实现1)输入数据及散点图命令：x=10.0 10.0 10.0 15.0 15.0 15.0 20.0 20.0 20.0 25.0 25.0 25.0 30.0 30.0 30.0; y=25.2 27.3 28.7 29.8 31.1 27.8 31.2 32.6 29.7 31.7 30.1 32.3 29.4 30.8 32.8;plot(x,y,*)得到散点图： 图1散点图从图可以看出，数据点大致落在一条直线附近，说明y与x之间的关系大致可以看作是直线关系。不过这些点又不都在一条直线上，表明y与x之间的关系不是确定性关系。2)依题意，建立回归模型：Y=+x+其中、是三个未知参数，为其他随机因素对y的影响。x是非随机可精确观察的，是均值为零的随机变量，是不可观察的。若记=x,=,上述回归模型仍属于多元线性模型。i)可以用MATLAB命令regress求解。输入：n=length(x);x=ones(n,1),x,(x.2);b,bint,r,rint,s=regress(y,x); b,bint,s输出： b = 19.0333 1.0086 -0.0204 bint = 11.8922 26.1745 0.2320 1.7852 -0.0396 -0.0012 s = 0.6140 9.5449 0.0033整理成表如下：表2回归系数与其估计值和置信区间回归系数回归系数估计值回归系数置信区间19.033311.8922,26.17451.00860.2320,1.7852-0.0204-0.0396,-0.0012=0.6140 F=9.5449 p0.0033分析:将回归系数的估计值直接代入式=+x+，得到y的预测方程为： .用MATLAB命令finv(0.95,1,15)计算得到，F为统计量观测值，所以X与Y的相关性显著。=+x+又称为二项式回归。ii)直接使用MATLAB多项式回归命令polyfit计算。输入： x=10.0 10.0 10.0 15.0 15.0 15.0 20.0 20.0 20.0 25.0 25.0 25.0 30.0 30.0 30.0; y=25.2 27.3 28.7 29.8 31.1 27.8 31.2 32.6 29.7 31.7 30.1 32.3 29.4 30.8 32.8; a=polyfit(x,y,2)输出： a = -0.0204 1.0086 19.0333可见多项式回归和多元线性回归得到同样的预测方程用MATLAB求解一元多项式回归，除了polyfit（x,y,m）外，还有更方便的命令：输入：polytool(x,y,2,0.05)输出：图2交互式图分析:该图为一个交互式画面，实线为多项式的回归曲线y,它两侧的虚线表出y的置信区间。3）作残差图。输入： rcoplot(r,rint) 输出：图3 残差图分析:残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 能较好的符合原始数据结论：通过以上图表可知合金的抗压强度y与添加剂浓度x的二元线性关系很显著。5 设计总结通过这次课程设计，我知道了回归分析是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，为估计预测提供一个重要的方法。回归分析在解决实际问题中有很重要的意义，有些实际问题解决起来很复杂麻烦，但通过回归分析以及MATLAB软件的结合应用，就能很清楚的得到解决，给我们带来了很大的方便。我也更加熟悉了回归分析、参数估计、置信区间、残差以及MATLAB软件的应用，并能很好的运用到实际中去。通过这次的设计我更加熟悉了用计算机软件来解决数学问题，很多的数学问解决起来很复杂，但是应用计算机软件就可以轻松的解决这些问题，用MATLAB中自带的软件非常方便。而且通过本次的设计我彻底的了解了回归分析的意义以及应用，我也会学习更多的数学相关知识，并运用到学习和生活中，相信这对我今后的学习和生活都会有很大的帮助。致 谢本论文是在张老师的指导下完成的。她严肃的教学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。在此，我向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。同时我还要感谢我的同学们，在论文设计中，他们给了我很多的建议和帮助。我还要感谢我的论文中被我引用或参考的文献的作者。参考文献1 沈恒范.概率论