2019年高考数学总复习 4.2.2 数列中的证明及存在性问题课件 理.ppt

4.2.2数列中的证明及存在性问题,考向一,考向二,考向三,等差(比)数列的判断与证明,(1)求a1,a2;(2)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;(3)如果数列bn满足an=log2bn,试证明数列bn是等比数列,并求其前n项和Tn.,又a1=5满足an=3n+2,所以an=3n+2.因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,所以数列an是以5为首项,3为公差的等差数列.,考向一,考向二,考向三,考向一,考向二,考向三,解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.(1)定义法:对于n1的任意自然数,验证an+1-an为同一常数.(2)通项公式法:若an=kn+b(nN*),则an为等差数列;若an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若=an-1an+1(nN*,n2),则an为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.,考向一,考向二,考向三,对点训练1设数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an+1=Sn+3n(nN*).(1)求证:Sn-3n是等比数列;(2)若an为递增数列,求a1的取值范围.,(1)证明:an+1=Sn+3n,Sn+1=2Sn+3n.Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).a13,数列Sn-3n是首项为a1-3,公比为2的等比数列.,考向一,考向二,考向三,(2)解:由(1)得,Sn-3n=(a1-3)2n-1,Sn=(a1-3)2n-1+3n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1.an为递增数列,当n2时,(a1-3)2n-1+23n(a1-3)2n-2+23n-1,a2=a1+3a1,a1的取值范围是(-9,+).,考向一,考向二,考向三,数列型不等式的证明例2设Sn是数列an的前n项和,an0,且4Sn=an(an+2).(1)求数列an的通项公式;,(1)解:4Sn=an(an+2),即2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1).an0,an-an-1=2,an=2+2(n-1)=2n.,考向一,考向二,考向三,解题心得要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和,再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩,再求数列的和,必要时对其和再放缩.,考向一,考向二,考向三,对点训练2已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.,考向一,考向二,考向三,数列中的存在性问题例3已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,(1)证明:由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.因为an+10,所以an+2-an=.,考向一,考向二,考向三,解题心得假设推理法:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.,(2)解:由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.,考向一,考向二,考向三,对点训练3已知数列an和bn,a1a2a3an=(nN*),且a1=2,b3-b2=3,数列an为等比数列,公比为q.(1)求a