毕业设计（论文）-基于小波变换的数字图像压缩算法研究.doc

本科毕业论文（设计）题目： 基于小波变换的数字图像压缩算法研究姓 名： 学号： 2010000589 院（系）： 机电学院 专业： 通信工程 指导教师： 职称： 讲 师 评 阅 人： 职称： 讲 师 2015 年 2 月学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 年 月 日 学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、 保密 ，在_年解密后适用本授权书。2、 不保密 。（请在以上相应方框内打“”）作者签名： 年 月 日 导师签名： 年 月 日中国地质大学（武汉）学士论文摘 要在现代多媒体通信中，音频视频传输的数据量大，而且要求满足实时传输功能，我们需要用数据压缩技术对数据进行压缩后再传输，减少传输的数据量，提高信道的利用率。本文在Matlab平台上仿真小波变换在数字图像压缩中的应用。由于图像数据之间存在着一定的冗余，所以使得数据的压缩成为可能。信息论的创始人香农提出把数据看作是信息和冗余度的组合。所谓冗余度，是由于一副图像的各像素之间存在着很大的相关性，可利用一些编码的方法删去它们，从而达到减少冗余、压缩数据的目的。 小波分析是局部化时频分析,它用时域和频域联合表示信号的特征,是分析非平稳信号的有力工具。它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析,能有效地从信号中提取信息。随着小波变换理论的完善,小波在图像压缩中得到了广泛的应用,与传统的压缩方法相比小波分析有着很大的优势,它能在压缩的同时保留图像细节,得到原图像的最佳恢复。本文首先对四种常见的小波基根据小波基的选取判定标准进行了比较；然后，对四种经典小波 ，包括Haar小波、Morlet小波、Mexican hat 小波和Gaussian小波，根据小波基选取的标准做出了分析；其次，给出了利用小波变换对图像数据进行压缩的两个步骤，通过第一步骤分解过程对图像lena进行了小波分解，由实验结果中的边界失真问题给出了几点原因，并且给出了零树编码算法（EZW）。再次，在Matlab平台上利用其自带的小波基wavelet 2-D 中的五个常用的小波基函数haar、db8、sym2、coif2和dmey对六类图像进行了压缩并进行比较。最后，通过对lena图像的多层分解得出了几点结论，实现了对其两层压缩和重构过程，并对结果做出了比较。关键词：数据压缩；小波变换；数字图像压缩；小波分析Abstract In the modern multimedia communication, audio and videos data transmits in a large amount, but also to meet the requirements of real-time transmission function, we need to use data compression techniques to compress the data before transmission, reducing the amount of data transmission, to improve the channel utilization. The purpose of this paper is to simulate the application of wavelet transform in digital image compression on Matlab platform. Because of the existence of a certain redundancy of image data, it makes the data compression possible. Information theory founder Shannon puts forward the data as a combination of information and redundancy。The so-called redundancy, is due to the presence of significant correlation between each pixel of an image, can use some method of coding to delete them, so as to get the purpose of reducing the redundancy and data compression. Wavelet analysis is the analysis of frequency localization, it represents the signal features by combining time-domain and frequency-domain, is a powerful tool for analyzing non-stationary signal. Through the telescopic, translation operations，it can analyze the signal more detailed, which can effectively extract information from signal. With the improvement of wavelet theory, wavelet transform has been widely used in image compression. Compared with traditional compression methods of wavelet analysis, it has a lot of advantages, it can compress images while preserving details of the original image to get the best restoration.Based on wavelet selection criteria，this article firstly compares four common wavelet; Then, on four kinds of classic wavelet, including Haar wavelet, Morlet wavelet, Mexican hat wavelet and Gaussian wavelet, the analyzing them according to the selected criteria of wavelet; later, the two steps to compress the image data by wavelet transformation is given, the first step is decomposing the image Lena through the process of the wavelet decomposition, and gives several reasons as the experimental results of the boundary distortion, and gives the zero-tree coding algorithm (EZW). Again, on six kinds of image compression and compared with the wavelet 2-D of five commonly used Haar wavelet function, db8, sym2, coif2 and dmey on the Matlab platform. Finally, through layers of Lena image decomposition some conclusions are obtained, achieved its two compression and reconstruction process, and make a comparison about the results.Key Words: data compression; wavelet transform; digital image compression; wavelets目 录摘 要- 1 -Abstract- 2 -第一章 数据压缩技术与发展11.1数据压缩技术分类11.2数据压缩技术的发展11.3 本文章节安排2第二章 数字图像压缩32.1图像压缩的可能性32.2图像压缩原理32.3 数字图像压缩方法42.4 图像压缩的分类4第三章 小波分析理论基础63.1从Fourier分析到小波分析63.2连续小波变换与离散小波变换73.3 多尺度分析与正交小波变换93.4 双正交小波变换11第四章 基于小波变换的数字图像压缩技术134.1 图像的小波分解134.2 小波基的选取144.3 量化技术154.4经典小波154.5小波变换实现数字图像压缩194.6利用小波基函数对各类图像压缩的比较224.7 基于小波的数字图像压缩23结束语28致谢29参考文献30附 录31 第一章 数据压缩技术与发展在多媒体计算系统中，信息从单一媒体到多种媒体；若要表示，传输和处理大量数字化了的声音、图片、影像视频信息等，数据量是非常大的。如果不进行处理，计算机系统几乎无法对它进行存取和交换。因此，在多媒体计算机系统中，为了达到令人满意的图像、视频画面质量和听觉效果，必须解决视频、图像、音频信号数据的大容量存储和实时传输问题。解决的方法，除了提高计算机本身的性能及通信信道的带宽外，更重要的是对多媒体数据进行有效的压缩。1.1数据压缩技术分类 数据压缩技术按不同的分类方法有着不同的分类，根据解码后数据与原始数据是否完全一致进行分类，可以分成两种类型，一种叫做无损压缩，另一种叫做有损压缩。无损压缩是指使用压缩后的数据进行重构（或者叫做还原，解压缩），重构后的数据与原来的数据完全相同1；无损压缩用于要求重构的信号与原始信号完全一致的场合。一个很常见的例子是磁盘文件的压缩。根据目前的技术水平，无损压缩算法一般可以把普通文件的数据压缩到原来的1/2-1/4。一些常用的无损压缩算法有霍夫曼(Huffman)算法和LZW(Lenpel-Ziv & Welch)压缩算法。有损压缩是指使用压缩后的数据进行重构，重构后的数据与原来的数据有所不同，但不影响人对原始资料表达的信息造成误解。有损压缩适用于重构信号不一定非要和原始信号完全相同的场合。例如，图像和声音的压缩就可以采用有损压缩，因为其中包含的数据往往多于我们的视觉系统和听觉系统所能接收的信息，丢掉一些数据而不至于对声音或者图像所表达的意思产生误解，但可大大提高压缩比。1.2数据压缩技术的发展数据压缩新技术主要有两种：1.基于分形的压缩方法；2.小波变换在图像压缩中的应用。当前，压缩域数据处理技术作为新兴的技术还远未成熟，许多问题有待解决，其中缺乏统一的理论支持是主要问题。未来的研究工作将主要集中在四个方面：(1)设计新的压缩算法，支持对压缩域数据直接操作；(2)研究用小波、矢量量化、分形等方法压缩的多媒体数据的压缩域处理算法；(3)设计专用的压缩域数据处理芯片；(4)如何将用于多媒体内容的传输和使用的各种标准结合起来，形成一个用于多媒体的统一的体系结构。本文主要研究的是小波算法研究在数据压缩中关于数字图像方面的应用，下面来讨论有关于小波变换概念的提出与发展。20世纪80年代，法国地质学家J.Morlet在研究地下岩石油层分布时，对傅里叶变换和窗口傅里叶变换做了深入的研究，在此基础上提出了“小波（Wavelet）”的概念2。尽管小波的出生到现在只有短短几十年，但发展十分迅速，小波分析的理论和方法越来越引起人们的广泛关注，并取得了令人瞩目的发展，在信号分析、图像处理、模式识别、语音分析、方程求解、分析力学等领域都已取得了具有科学意义和应用价值的重要成果。本文是在前人研究的基础上，对小波分析在地质数据中关于静态图像的压缩方面做出较为深入的分析和研究，并以此对小波概念的提出者地质学家J.Morlet做悼念。1.3 本文章节安排本文首先给出了图像压缩的一般概念，回顾了图像压缩的原理和几大方法。然后，介绍了小波分析的发展和一些基本理论。最后，结合小波分析，在图像压缩中的几大应用，包括层分解、小波基的选取和量化技术；主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术，并用Matlab软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息，达到对图像进行压缩的目的。分别作第一层分解和第二层分解，并比较图像压缩的效果。本文的内容安排：第一章简要介绍了数据压缩方面的一些知识，包括数据压缩技术简介、数据压缩技术分类和数据压缩技术的发展，阐述了数据压缩的必要性。第二章主要介绍的是数据压缩中有关图像压缩的要点，包括图像压缩的可能性、图像压缩的基本原理、图像压缩的分类和图像压缩的几大方法，回顾了图像压缩的必要性3。第三章给出了小波分析的基本理论，重点描述了多尺度分析与正交小波变换和双正交小波变换的有关知识，是下一章小波分析用于图像压缩的理论基础。第四章较为深入的研究了小波分析在静止图像数据压缩方面的应用,详细分析了几个常用小波基的特点,得出对于双正交小波,在消失矩相同时应尽量保持重构小波正则性的结论；指出了小波分析应用于静止图像数据压缩的研究方向。 第二章 数字图像压缩 由于图像数据之间存在着一定的冗余，所以使得数据的压缩成为可能。信息论的创始人香农提出把数据看作是信息和冗余度的组合。所谓冗余度，是由于一副图像的各像素之间存在着很大的相关性，可利用一些编码的方法删去它们，从而达到减少冗余、压缩数据的目的。为了去掉数据中的冗余，常常要考虑信号源的统计特性，或建立信号源的统计模型。2.1图像压缩的可能性 同一个信息可以用不同的数据集合来表示，我们说数据量大的数据集合存在着相对的数据冗余。图像可以压缩，是因为图像中存在大量的冗余信息，图像的冗余包括以下几种4：(1)空间冗余：像素点之间的相关性。(2)时间冗余：活动图像的两个连续帧之间的冗余。(3)信息熵冗余：单位信息量大于其熵。(4)结构冗余：图像的区域上存在非常强的纹理结构。(5)知识冗余：有固定的结构，如人的头像。(6)视觉冗余：某些图像的失真是人眼不易觉察的。 2.2图像压缩原理去除多余数据。以数学的观点来看，这一过程实际上就是将二维像素阵列变换为一个在统计上无关联的数据集合图像压缩是指以较少的比特有损或无损地表示原来的像素矩阵的技术，也称图像编码。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空间冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。数据压缩的目的就是通过去除这些数据冗余来减少表示数据所需的比特数。由于图像数据量的庞大,在存储、传输、处理时非常困难，因此图像数据的压缩就显得非常重要。信息时代带来了“信息爆炸”，使数据量大增，因此，无论传输或存储都需要对数据进行有效的压缩。在遥感技术中，各种航天探测器采用压缩编码技术，将获取的巨大信息送回地面。图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，它的目的是减少图像数据中的冗余信息从而用更加高效的格式存储和传输数据5。2.3 数字图像压缩方法 图像压缩就是在没有明显失真的前提下，将图像的位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形式。首先，尽管图像中数据量很大，但数据之间不是完全独立的，图像中存各种各样的相关性或冗余信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算出来。其次，大部分图像视频信号的最终接收者都是人眼，而人类的视觉系统是一种高度复杂的系统，它能从极为杂乱的图像中抽象出有意义的信息，并以非常精练的形式反映给大脑。人眼对图像中的不同部分的敏感程度是不同的，如果去除图像中对人眼不敏感或意义不大的部分，对图像的主观质量是不会有很大影响的。本文主要是利用小波变换压缩对图像进行压缩，并对比了图像压缩前后的数据。2.4 图像压缩的分类本小节主要介绍了三大类别的图像压缩方法，分别为1.基于分形的压缩方法；2.小波变换(Wavelet Transform)与图像压缩；3.基于人工神经网络(Artificial Neural Network，ANN)的图像压缩。下面是对三类压缩方法的简要阐述。2.4.1基于分形的压缩方法基于分形的方法是近几年来引起关注和争议的一种图像压缩方法。对图像压缩而言，分形主要是利用自相似的特点，通过迭代函数系统来实现压缩。利用分形特征对图像进行描述和处理是很自然的。分形能取得更好的图像质量，当然在较低压缩比的情况下，JPEG是更好的选择。分形压缩方法计算量比较大，时间开销长，因此加快分形压缩方法速度是当前研究的热点之一。2.4.2小波变换(Wavelet Transform)与图像压缩小波变换(Wavelet Transform)在频率精度方面稍差一些，但在时间的分析能力上更好一些，而且可以对时间和频率同时进行分解，这是传统傅立叶变换所做不到的。小波变换已经开始应用到数字图像数据压缩等领域，主要是采用离散小波变换。在某些情况下，小波变换更优于DCT等其他正交变换。2.4.3基于人工神经网络(Artificial Neural Network，ANN)的图像压缩利用人工神经网络(Artificial Neural Network，ANN)进行图像压缩是这个领域近几年的又一研究热点，并且取得了积极的进展。这是一种与视觉系统知识紧密相关的压缩方法。ANN并分布的联结机制与人的视觉系统有某些相似之处，利用此原理及其改进的方法进行图像压缩可获得较好的效果。 第三章 小波分析理论基础小波分解方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，被称为“数学显微镜”。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。使得小波分析应用于各个领域。3.1从Fourier分析到小波分析 传统的信号处理分析工具和方法是以Fourier分析基础的，一个周期振动信号可看成是具有简单频率的简谐振动的叠加，Fourier展开正是这一无理过程的数学描述。Fourier变换定义了“频率”的概念，用它可以分析信号的能量在各个频率成分中的分布情况。对信号，其变换定义为 （3.1）逆变换定义为 （3.2）由式（3.1）知，Fourier变换将信号分解至纯频率项，频率信息由变换函数提供。但我们同时发现，尽管Fourier变换一直是频谱分析最有效的数学工具，但任何一个频谱信息依赖于在上的所有值，而由式(3.2)，Fourier逆变换在的收敛性依赖于的任意小的邻域值。此缺点在对声音等非平稳信号的压缩和传输中尤为突显，所给出的变换几乎是无用的，人们必须等待无限长的时间去计算Fourier变换。也就是说，Fourier变换的致命缺点是不能做局部分析。为了克服Fourier变换不能同时进行时间、频率局部性分析，Gabor于1964年引入加窗Fourier变换，信号的窗口Fourier变换定义为： （3.3）其中函数g是给定的称为窗函数（如Gauss函数）。此时有如下重建公式： （3.4）另外，参数和的值可以直接定义为离散值，并根据实际问题的需要适当选取时间步长与频率步长，例如，由此得到窗口Fourier变换的表达式： （3.5）但值得注意的是，窗口Fourier变换的时域与频域窗口的大小一旦选定就固定不变，与频率无关。因此，它只适合分析所有特征、尺度大致相同的过程，窗口没有自适性，不适合分析多尺度信号和突变过程，而且其离散形式没有正交展开。小波变换继承和发展了窗口Fourier变换时域、频域局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化、没有离散正交基的缺点。小波基函数相当于一个窗函数，小波基的平移相当于窗口平移，它在低频区有大的时域窗口，频率越高，则时域窗口越小，而且具有离散化的规范正交基。3.2连续小波变换与离散小波变换 定义3.1 如果函数 且满足： （3.6）则叫允许小波，条件（3.6）称为允许性条件，此条件等价于 。 定义3.2 设 且 ， 则经由函数伸缩和平移得到的函数族 （3.7）叫做分析小波或连续小波。 叫做基本小波或母小波。a为伸缩因子，b为平移因子。 连续小波的作用于Cabor变换中的窗口函数是类似的，不同的是尺度参数a的作用，它虽然不改变窗口的面积，但使得窗口具有敏感的变焦特性。也就是说，具有适当于它们的频率的时间宽度：高频很窄，低频很宽。这样在信号中的瞬变现象分析中，小波变换比Gabor变换更好地“移近”观察6。定义3.3 设是基本小波， 是按式（3.7）给出的连续小波，对信号 ，该信号的连续小波变换为： （3.8）此时有如下重建公式： （3.9）参数a的伸缩和参数b的平移为连续取值的小波变换是连续小波变换，主要用于理论分析方面。实际应用中需要对尺度参数a和定位参数b进行离散化处理，可以选取 ，m是整数， 是大于1的固定伸缩步长。在m=0时，取固定整数倍化b，当然必须选取使 覆盖整个实轴。因此，选 于是离散小波可以定义为 （3.10）相应的小波变换为： （3.11）称为离散小波变换。为简化数值计算，选取特殊的 及 ，此时的离散小波为： （3.12）称为二进小波。3.3 多尺度分析与正交小波变换在连续小波变换的情形下，当小波满足允许性条件时可完全重构原信号。那么离散小波变换由变换系数 能否以数值稳定的方法重构呢？如果我们构造小波 ，使得伸缩、平移函数族 是 的一组规范正交基，那么任意 有 ，即由系数 完全刻画了函数的性质或信号的变化过程。为了有效的寻找 的基底，我们先从 的一个子空间出发建立基底，再利用简单的变换把基底扩充到整个 ，而这也正是多尺度分析基本思想。定义3.4 空间 中的多尺度分析是指 中的满足如下条件一个空间序列 ：1. 一致单调性： 2. 渐进完全性： 3. 伸缩规则性： 4. 平移不变性： 5. Riesz基存在性： 存在 ，使得 ，构成的Riesz基。此处的函数 称为尺度函数，也称 生成了一个多分辨分析。对于如上定义的多尺度分析 ， 必满足双尺度方程，即： (3.13)对 进行正交化，可以得到一组标准正交基。 定理3.1 设 是多尺度分析 的生成元，满足：（1） 是 的标准正交基；（2） 存在 使得： (3.14)现令 (3.15) 则有 （1） , 从而 （2） 是函数中的标准正交基，从而 是 中的标准正交基。并且 的一种可能是 即： (3.16) 设 是 中的标准正交基，则对任意 有如下展开 (3.17)其中 (3.18)由于式（3.17）是一个无穷级数，其系数需按（3.18）式计算，而 一般不具有初等解析表达式。实际问题在 往往是数值方式给出的，因此用（3.18）式计算 是不方便的。所以希望代替式（3.18）得到一个离散算法，这就是著名的Mallat算法（此处不再叙述详见7）。3.4 双正交小波变换虽然小波正交基用途广泛，但也存在不足。其一是小波正交基的结构复杂，其次具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。因此，它用作滤波器不可能具有线性相位，从而产生重构失真。解决的方法之一就是放弃正交性，即用双正交小波代替正交小波。双正交小波的定义如下8：定义3.5 设 如果构成的Riesz基，且 （3.19）则称是一个双正交小波函数，和是对偶小波，和为双正交的对偶小波基。由和的双正交性可以得到的展开式 （3.20）类似于构造正交小波的途径，构造双正交小波函数的途径是由两个对偶的多分辨分析出发。定义3.6 设 和 分别是 的可能不同的多分辨分析。如果 ，则称 和 是互相对偶的多分辨分析，称 为双正交尺度函数。 如果将数字滤波器 的Z变换 的复变量Z限制在单位圆上，用表示，即 则多分辨分析生成元 满足如下二尺度方程， （3.21） （3.22）其中满足 （3.23）其中，为单位矩阵。定理3.2 按式（3.22）定义，和是满足双正交性： 与 第四章 基于小波变换的数字图像压缩小波图像压缩是利用小波变换同时具有好的空间分辨率和好的频率分辨率的特性，使变换系数的能量同时在频率上和空间上集中，达到去除像素冗余度的作用，以此达到压缩的目的。4.1 图像的小波分解 数字图像的小波分解是小波压缩的第一步。一幅图像可以看做是二维信号，使用二维离散小波变换对图像进行分解,类似于子带分解。数字图像首先在行的方向进行分解，并对行方向进行下取样,去除冗余信息；然后对列方向进行分解,再对列方向进行下取样。重复地对低频子带系数进行这一过程，直到最低分辨率达到需要的尺度为止。由于这种多级分解就获得了图像的一种由一组低分辨率系数和一系列细节系数表示的方法。小波变换将图像的绝大部分能量压缩到低频子带中,只有少数的能量分布在高频子带，结果得出数字图像小波变换系数具有下面几个统计特性8：空频局部化;能量压缩特性；子带内小波系数的聚类特性；子带间小波系数的相似性；小波系数幅值从低频到高频的衰减性。这些特性已被证实对数字图像压缩是至关重要的。利用小波变换进行数字图像压缩有以下优点：(1)小波变换完善的重建能力保证了信号在分解过程中没有信息丢失和冗余，即小波变换作为一组表示信号分解的基函数是唯一的；(2)小波变换把图像分解为逼近图像和细节图像之和,它们分别代表了图像的不同结构，因此原始图像的结构信息和细节信息很容易提取； (3)小波变换编码不同于DCT块编码技术，它不会出现人的视觉非常敏感的方块效应，这是因为小波变换对图像信号进行全局分解，量化失真随机分布于整幅图像之中，人眼不易察觉；(4)二维小波分解为图像的分析提供了方向选择性，非常适合于人眼的视觉系统。4.2 小波基的选取 小波变换是一种信息保持型的可逆变换，原来信号的信息完全保留在小波变换的系数中。理论上讲，由分解后的信号可以准确地恢复到原信号，但并非所有的小波基都适合数字图像数据的分解，选择的小波基的合适与否直接影响到最终的压缩效果。选择小波基时应考虑以下几个方面9：(l)正交性。用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子空间中,使各子带数据相关性减小。但能准确重建的正交的线性相位有限冲击响应滤波器组是不存在的，即除了Haar系小波外，没有任何紧支集正交小波具有对称性。因此一般放宽条件用双正交滤波器。(2)支撑集。一般要求小波基是紧支撑集，紧支小波基的重要性在于它在数字信号的离散小波分解过程中可以提供系数有限的、更实际的FIR滤波器；非紧支小波基在实际运算时必须截断，Daubechies小波是目前最常用的紧支正交小波之一。(3)对称性。对称滤波器具有两个优点：一方面人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称误差更不敏感，另一方面对称滤波器组具有线性相位，在对图像进行处理时，线性相位很重要,对图像边缘作对称边界延拓时，重构图像边缘部分失真较小有利于获得高质量的重构图像。(4)正则性。正则性刻画了小波的光滑度，正则性与支撑集大小有关，支撑越大，正则性越好。小波基的正则性对最小量化误差是很重要的，因此，正则性越大的小波基越好。(5)消失矩阶数。消失矩表明了小波变换后能量集中程度，消失矩阶数很大时，精细尺度下的高频部分数值有很多是小的可以忽略的(奇异点除外)因此用消失矩越大的小波基进行分解后，图像的能量越集中，压缩的空间就越大。本文对常用的4种小波基根据以上的标准进行了比较10：表4-1 四种常用的小波基比较Daubechies-4Daubechies-20BrislawnAntonini光滑度0.52.91.01.4消失矩阶数21014对称性非对称非对称对称对称正交性正交正交正交双正交紧支性紧支集紧支集非紧支集紧支集4.3 量化技术 数字图像压缩编码的第二级是量化，量化是使数据比特率下降的一个强有力的措施，其目标是将一个“连续”的图像变换系数集映射为一个能很好逼近相应系数的有限的符号集合11。进而将小波系数转化为字符流，使得所得的字符流的熵足够小以便于在熵编码时得到低比特率。量化方法通常可分为标量量化(SQ)和矢量量化(VQ)。标量量化对每一系数单独量化，量化分层可以是均匀的,也可以是非均匀的。其中均匀量化器由于对信号的适应性以及实现的简单性，仍是很常用的量化技术。从信息论的角度来看，矢量量化总能获得优于标量量化的率失真性能，而且鉴于图像小波变换后的小波系数所呈现出的一些统计特性6，基于小波变换的图像编码也常采用矢量量化技术。 在数字图像的压缩中，图像可看成是一串数据。设这一串数据共m个,把它截成M段(一般是相等的,设k个数据)，即把m个数据变成了M个数据向量X=(X,XZ,X），再把这M个向量分成N个组，对每个组挑选一个数据向量 作为代表向量。图像上某个数据向量，如果满足 （4.1）其中为矢量X，与码字y之间的失真测度。则该数据向量属于第j个组，则这个数据向量就用该组的代表向量凡代替。这时的编码就是在码字的相应位置上记下编号j，而不必记下片本身。矢量量化的关键是训练码本，以获得尽可能小的平均失真。在众多的矢量算法中，LBG是最有代表性的基本算法，但其时间复杂度随着比特率和矢量维数的增加呈指数规律两上涨。由于图像复杂多样，形成的矢量变化多端，要建立一个囊括各种变化的大型码字不太可能，且码书越大，编码所需的比特数越多，编码和解码速度越慢，影响其应用。4.4经典小波本小节主要介绍了几种常见了经典小波，包括Haar小波、Morlet小波、Mexican hat小波和Gaussian小波，并分别对其进行简要的分析。4.4.1 Haar 小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是： （4.2）其波形如图4-1（a）所示。的傅里叶变换是： （4.3） Haar小波有很多好的优点，如：1. Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；2.若取，那么Haar小波不但在其整数位移处是正交的，即，而且在取不同值时也是两两正交的，即如图4-1(b)和(c)所示。所以Haar小波属正交小波；3. Haar波是对称的。我们知道，离统的单位抽样响应 (a) 若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一的一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；4. Haar小波仅取1和1，因此计算简单。 (b) 但Haar小波是不连续小波，由于，因此在处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。但由于 (c)Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文中常被用作范例来讨论。 图4-1 Haar小波4.4.2.Morlet小波Morlet小波定义为 (4.4) 其傅里叶变换如公式4.5。 (4.5) 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB中将（图4-3）式改造为公式4.6： (4.6)并取 。该小波不是紧支撑的，理论上讲可取。但是当，或再取更大的值时，和在时域和频域都具有很好的集中，如图4-2所示。Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。 图9.6.2 Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱(a)时域波形 (b)频谱图4-2 Morlet小波4.4.3.Mexican hat 小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。它定义为 (4.7)式中，其傅里叶变换为 (4.8)该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图4-3所示。该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测12。 (a)时域波形 (b)频谱图4-3 墨西哥草帽小波4.4.4Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为： (4.9) 式中定标常数是保证。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当取偶数时正对称，当取奇数时，反对称。图4-4给出了时的的时域波形及对应的频谱。 (a)时域波形 (b)频谱图4-4 高斯小波，取 4.5小波变换实现数字图像压缩 利用小波变换对图像数据进行压缩的具体过程主要分为以下两个步骤：（1）利用二维离散小波变换将图像分解为低频分量以及分别对应不同方向高频细节分量13 （2）对所得到的低频分量 以及高频细节分量 ，根据人类的视觉生理特征分别作不同策略的量化和编码处理。例如，对于低频分量可以采用快速余弦变换、“之”字型扫描、非均匀量化结合Huffman编码的方法进行数据压缩。对于其它3个方向的高频分量可以采用阀值量化或时频域局部化并结合Huffman编码的方法进行数据压缩。对于高频分量的阀值量化意味着取门限，令 （4.10）门限的大小可根据要求重建图像的PSNR或均方误差来确定。 对人眼的视觉生理实验表明:在重建图像中人眼能觉察出的失真不仅取决于该图像的总均方误差，而且取决于这一误差在低频分量和各个高频分量中的分配。人眼对刺激的响应灵敏度与空间方向也有关，对水平方向和垂直方向的灵敏度要高，对45。方向最低。由于二维小波变换将原始图像分解为独立的频带以及水平、垂直和45。三个方向的分量，因此可以通过改变各高频分量取阀值量化引起的均方误差，使之与人的视觉频率特征和空间方向特征一致，以便得到最佳的数据压缩效果。在解码端则采用逆小波变换、熵编码方法可在允许一定失真的条件下近似恢复原始图像。下图为图像lena经过一次小波分解后的低频分量和3个方向的高频分量。 图4-5 小波分解后的低频分量和3个方向的高频分量如上页图4-5所示，lena图像分解后低频方向上的分量存在边界失真问题，而边界失真主要是正交镜像滤波器的非线性相位特性、信号自身在边界附近的相关性以及对变换结果亚抽样所造成的。在信号的子带分析中,子带分析重构系统必须满足下列两个条件:(l)完全重构性:原始信号可以由它的子带信号完全重构。正交镜像滤波器组组成的系统是完全重构的系统。(2)子带信号的数据点数的总和不应多于原始信号的数据点。对于无限长度的信号,它们的频带是严格受限的,根据抽样定理,其子带信号进行严格抽样就能满足条件(l)和(2)。然而,对于有限长度的信号,信号经小波变换滤波,的数据点的总和大于原始信号的数据点数,从而引起边界外延。如果满足条件(l)的完全重构性,子带信号在严格抽样时的数据点将不断增加,不能满足条件(2)。如果去掉因滤波而增加的点数以满足条件(2),则由于信息的丢失,重构信号将产生畸变,不能满足条件(l)。为了同时满足两个条件,必须对原始信号进行边界周期延拓,形成一个无限信号,以减少信息的丢失。嵌入式零树编码（EZW）算法EZW算法的主要特点是：EZW利用了一幅图像的小波变换在不同级之间的相似性。Shapiro假定：如果在粗分辨率一个小波系数是无效的，所有在同一空间位置和方向上的系数也极有可能是无效的。结果表明，这个假定是相当有效的。Shapiro把小波系数组织成一系列的四叉树形结构，如下图4-6所示。零树根节点意味着所有在此子树上的小波系数都是不重要的，因而除了要对树根进行编码外，其他的节点都不需要编码。为了获得很低的比特率，零树根符号的概率必须很高。各系数编码的顺序如图8.6-2所示。扫描从最低频率子带LL3（假定是三级分解）开始，结束于HH1。在移到下一子带之间，要把当前子带的系数全部扫描完，所有的父节点先于子节点被扫描。显然，这种扫描方式在编码端和译码端都是一样的。 LL3 HL3 LH1 HH1 HL2 HL1 LH2 HH2 LH1 HH1 图4-6 三级DWT时的父子依赖关系 LL3 HL3 HL2 LH3 HH3 HL1 LH2 HH2 LH1 HH3图4-7 三级小波的扫描顺序在按图4-7所定义的扫描顺序对意义图（即有效小波系数的位置）进行主编码过程，使用了如下码字：POS(positive significant),NEG(negative significant)IZ(isolated zero/insignificant),andZTR(root of a zerotree).在辅助编码过程中，对单个比特信息进行编码，该单比特信息用于解码时确定某小波系数是否被认为是有效的。EZW是一种嵌入式编码，所谓嵌入式编码，就是量