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数系的扩充和复数的概念,复数的起源,16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在几何学中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。,数系的扩充,自然数,i的引入,对于一元二次方程没有实数根,引入一个新数：,虚数单位i,引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：,（1）它的平方等于-1，即,（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立,复数,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.其中i是虚数单位.,全体复数所成的集合叫做复数集,C表示,复数的代数形式,通常用字母z表示，即,其中称为虚数单位。,复数的相关概念,当a=0且时，z=bi叫做纯虚数,例题讲解,例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,解：（1）当，即时，复数z是实数,（2）当，即时，复数z是虚数,复数的分类,相等复数,两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小,例题讲解,复数间的关系,NZQRC,复数的几何意义,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面(简称复平面),一一对应,z=a+bi,例题讲解,例3:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.,复数的几何意义,复数z=a+bi,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,x,y,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,复数的模,对应平面向量的模|，即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.,x,O,z=a+bi,y,Z(a,b),|z|=,内容小结,复数代数形式,复数间的关系,复数的几何意义,复数的
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