数字电子技术第二章、逻辑代数基础.ppt

第二章逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.1概述,2.2逻辑代数中的常用运算,2.3逻辑代数中的基本定律和常用公式,2.4逻辑函数及其表示方法,2.5逻辑函数的公式化简法,2.6逻辑函数的卡诺图化简法,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑代数运算法则,基本逻辑关系,基本运算规则,基本代数规律,吸收规则,摩根定理,反演定理,逻辑函数的化简,公式法,图形法,逻辑函数表示法,2.1概述,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑电路,逻辑代数,研究工具,逻辑函数,逻辑状态,二值变量,2.2逻辑代数中的常用运算,依据：,1.逻辑变量只取：0、1两种状态。,2.与、或、非是三种最基本的逻辑运算。,与普通代数运算法则类似的：分配律、结合律、交换律等。,与普通代数运算法则不同的：,AA=A,A+A=A,一、“与”逻辑,A、B、C条件都具备时，事件F才发生。,逻辑符号,2.2.1基本逻辑运算,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑符号逻辑式真值表,F=ABC,逻辑式,真值表,逻辑代数基础,数字电子技术基础,二、“或”逻辑,A、B、C只有一个条件具备时，事件F就发生。,逻辑符号,逻辑代数基础,数字电子技术基础,F=A+B+C,逻辑式,真值表,逻辑代数基础,数字电子技术基础,三、“非”逻辑,A条件具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。,逻辑符号,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑式,真值表,逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.2.2复合逻辑运算,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。,与非：条件A、B、C都具备，则F不发生。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,或非：条件A、B、C任一具备，则F不发生。,异或：条件A、B一个具备，另一个不具备则F发生。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,一、常量间的运算,由三种基本逻辑关系(与、或、非），可得逻辑运算结果：,00=01=10=0,11=1,0+0=0,0+1=1+0=1+1=1,逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.3逻辑代数中的基本定律和常用公式,2.3.1逻辑代数中的基本定律,二、基本定律,A+0=A,逻辑代数基础,数字电子技术基础,A0=0,A+1=1,A1=A,三、基本代数规律,交换律,结合律,分配律,A+B=B+A,AB=BA,A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B,A(BC)=(AB)C,A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C),逻辑代数基础,数字电子技术基础,普通代数不适用,四、吸收规则,吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。,1.原变量的吸收：,A+AB=A,证明：,左式=A(1+B),原式成立,长中含短,留下短。,长项,短项,=A=右式,2.反变量的吸收：,证明：,=右式,长中含反,去掉反。,3.混合变量的吸收：,证明：,=右式,正负相对,余全完。,（消冗余项）,五、德摩根定理,（DeMorgan),证明：,穷举法,推广到多变量：,说明：变量的与非（或非）运算等于变量的非或（非与）运算。,可以用列真值表的方法证明：,逻辑代数基础,数字电子技术基础,六、反演定理,变量与常数均取反,（求反运算）,互补运算,1.运算顺序：先括号再乘法后加法。,2.不是一个变量上的反号不动。,注意:,用处：实现互补运算（求反运算）。,新表达式：,显然：,(变换时,原函数运算的先后顺序不变),(反函数),将函数式F中所有的,例1：,与或式,注意括号,注意括号,例2：,与或式,反号不动,反号不动,1、真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,设A、B、C为输入变量，F为输出变量。,2.4逻辑函数及其表示方法,逻辑代数基础,数字电子技术基础,请注意,n个变量可有2n个组合，按二进制顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,真值表、函数式、卡诺图、逻辑图,2、逻辑函数式:把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，常用“与或”的形式。,如：,最小项:乘积项中包含所有输入变量的原变量或反变量。,逻辑相邻:两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子,逻辑代数基础,数字电子技术基础,3、逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示。,F=AB+CD,逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.4.2逻辑函数的两种标准形式,一、逻辑函数的最小项及其性质二、逻辑函数的最小项表达式,一、逻辑函数的最小项及其性质,（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,（3）最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,2、逻辑函数的最小项表达式,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,2.5逻辑函数的公式化简法,2.5.1逻辑函数的最简表达式,1、最简与或表达式,乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。,最简与或表达式,2.5逻辑函数的表达式,一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。,2.5.2逻辑函数的公式化简法,1、并项法,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,运用摩根定律,运用分配律,运用分配律,2、吸收法,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,、配项法,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,、消去冗余项法,数字电子技术,2.6.1用卡诺图表示逻辑函数,2.6逻辑函数的卡诺图化简法,卡诺图：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,两变量卡诺图,三变量卡诺图,四变量卡诺图,函数取0、1均可，为任意状态。,只有一项不同,逻辑代数基础,数字电子技术基础,为了方便，有时用二进制对应的十进制表示单元编号。,F(A,B,C)=(1,2,4,7),1,2,4,7单元取1,其它取0,逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.6.2逻辑函数的化简图形化简法,卡诺图法步骤:,一、布阵（画法规则）,二、填项(用卡诺图表示逻辑函数),三、勾圈化简(用卡诺图化简),一、布阵（画法规则）,卡诺图:是与真值表关系相对应，按一定规则画出来的方块图。,n个变量:N=2n项,n=3:N=8,n=4:N=16,最小项：构成逻辑函数的基本单元。,小方块,1.N=2n格（n5）:最小项,2.循环码编排,循环邻接,上下封闭,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,00001111,0000000100110010,0100010101110110,1100110111111110,1000100110111010,相邻两项只有一个变量取值不同,布阵,最小项,编号方式二：,变量,00,01,11,10,00,01,11,10,D,按十进制数编号：,m0m1m3m2,m4m5m7m6,m8m9m11m10,m12m13m15m14,高位,低位,布阵:,1.N=2n格（n5）:最小项,2.循环码编排,最小项编号方式:,1)00001111,3)m0m15,例:四变量卡诺图,2),二、填项,用卡诺图表示逻辑函数,填F=1项,1.最小项直接填入；,2.刷项（填公因子所包含的项）；,3.按（m0,m15)编号填入。,按F=1与或式填项,例1:,有重复“1”者，只填一个“1”。,1,1,有重复“1”者，只填一个“1”。,刷项：,填公因子包含的项,例1:,1111,1111,例1:,F=1的项全部填完以后,填项结束;,不填者自动为“0”。,例1:,三、勾圈化简,1.圈最少,圈内“1”最多,但为2n个(n0);,2.2n个“1”被圈消n个变量;,3.所有“1”圈过，化简结束。,用卡诺图化简,方法：,可得最简与或式,A,B,D,C,1111,1111,11,11,D,消取值不同的变量：,合理重叠（“1”可以重复使用）。,例1:,也可以取F=0的项化简:,1111,11,填项：,1111,11,11,F=1的项全部填完以后,填项结束。,冗余项,勾圈化简,例：用公式化简法得到下式，是否为最简式?,填项,1,1,F=1全部填完,填项结束,勾圈化简,圈最少,圈内“1”最多,但为2n个,圈最少,圈内“1”最多,但为2n个,说明：化简结果不唯一。,F4(A,B,C,D)=m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15),圈最少,圈内“1”最多,但为2n个,化简结果不唯一。,说明一：,说明二：,小结：