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三角形中位线训练试题一解答题（共30小题）1（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME2（2010顺义区）在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D为AC的中点（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明3（2008黄石）如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BEAD，垂足为E，连接CE，过点E作EFCE，交BD于F（1）求证：BF=FD；（2）A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=DA，并说明理由4（2008延庆县二模）（1）如图所示，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG=（AB+BC+AC）（直接写出结果即可）（2）如图，若BD，CE分别是ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明（3）如图，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明答：线段FG与ABC三边之间数量关系是5（2013春西城区期末）如图，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，联结GD，判断AGD的形状并证明6如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：1=27已知：如图，ABC中，AB，CR是ACB的平分线且交AB于R，AQCR，垂足为Q，P为AB的中点，求证：PQ=（BCAC）8如图所示在四边形ABCD中，CDAB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点求证：9如图，在ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于点O过点O作OPAC，OQAB，P、Q为垂足求证：DP=DQ10如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P求证：PAD=PBC11如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE的面积最小？为什么？12已知ABC中，DEBC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE13操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的ADE纸片绕点E旋转180后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的BFE纸片绕点E旋转180到AF1E位置；沿HG剪开并将其中的DGH纸片绕点H旋转180到AG1H位置；沿FG剪开并将CFG纸片放置于AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G则四边形FF1G1G的形状是操作、思考并探究：（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若AEH、BEF、CFG、DGH的面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是（不要求说明理由）14（2014春张家港市校级期末）如图，点D、E是RtABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点（1）求FGH度数；（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长15（2014春团风县校级期中）如图所示ABC中，B，C的平分线BE，CF相交于O，AGBE于G，AHCF于H（1）求证：GHBC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH16（2012春萍乡校级期中）已知：如图，AB=AC，ADBC于D，DFAE求证：CE=2DF17（2011秋江都市期末）如图（1），BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如图（2），BD、CE分别是ABC的内角平分线；如图（3），BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由18（2010秋茶陵县校级期末）如图，已知在ABCD中，EFBC，分别交AB、CD于E、F两点，DE、AF交于M，CE、BF交于N求证：MN=AB19（2010秋仪征市校级期末）如图1，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD、CE分别是ABC的内角平分线，则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3）如图3，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，则线段FG与ABC三边的数量关系是20（2007江苏）如图，已知AD与BC相交于E，1=2=3，BD=CD，ADB=90，CHAB于H，CH交AD于F（1）求证：CDAB；（2）求证：BDEACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE21（2014春江汉区期中）如图，已知ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DEFC，EFDC（1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：AED是等边三角形22（2013春富顺县校级月考）如图，M、N分别为AD、BC的中点，且AB=CD，求证：1=223（2016春梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点（1）若AB=6，求PM的长；（2）若PMN=20，求MPN的度数24（2014宿迁）如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：DHF=DEF25（2014鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE，求证：AB=CD（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，OEC=60，求OE的长度26（2011秋武汉月考）两只大小不同的含45角的三角板ABC和DBE如图摆放，直角顶点重合，连接AE，CD，F，M，N，G分别为线段AC，CD，ED，AE的中点（1）如图，若三角形的两直角重合，判断四边形FMNG的形状，并证明你的结论；（2）从（1）开始，三角板绕B点顺时针旋转角度（0360）时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由（若画出=180的情形，并正确答题得2分； 若画出=90的情形，并正确答题得4分； 若画出其它的情形并正确答题得6分请自主选择）27已知：如图，梯形ABCD，ABCD，以AC、AD为边向外作ACED，联结BE，点F是BE的中点，联结CF求证：CFAB28在四边形ABCD中，ACBD相交于O点，AC=BD，E、F分别是AB，CD的中点，连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由29如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别是BD、AC，BC、MN的中点，求证：EFMN30如图，在ABC中，BC=a若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1=；若D2，E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2=；若D3，E3分别是D2B，E2C的中点，则若DnEn分别是Dn1B，En1C的中点，则DnEn的长是多少（n1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示）？2016年05月30日wx98wx的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME【解答】（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，点B为线段AD的中点，又点M为线段AF的中点，BM为ADF的中位线，BMCF证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，ABC=CEF=90，ABCE，EFCE，ABEF，BAM=DFM，M是AF的中点，AM=MF，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BE=CEBC，DE=EFDF，BE=DE，BDE是等腰直角三角形，EBM=45，在等腰直角CEF中，ECF=45，EBM=ECF，MBCF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知BCD与ABC为等腰直角三角形，AB=BC=BD=a，AC=CD=a，点B为AD中点，又点M为AF中点，BM=DF分别延长FE与CA交于点G，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，点E为FG中点，又点M为AF中点，ME=AGCG=CF=a，CA=CD=a，AG=DF=a，BM=ME=a=a解法二：如答图1bCB=a，CE=2a，BE=CECB=2aa=a，ABMFDM，BM=DM，又BED是等腰直角三角形，BEM是等腰直角三角形，BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，AC=CD，点B为AD中点，又点M为AF中点，BM=DF延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=EG，CF=CG，点E为FG中点，又点M为AF中点，ME=AG在ACG与DCF中，ACGDCF（SAS），DF=AG，BM=ME证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，BCE=45，ACD=452+45=135BAC+ACF=45+135=180，ABCF，BAM=DFM，M是AF的中点，AM=FM，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BM=DM，AB=BC=DF，在BCE和DFE中，BCEDFE（SAS），BE=DE，BEC=DEF，BED=BEC+CED=DEF+CED=CEF=90，BDE是等腰直角三角形，又BM=DM，BM=ME=BD，故BM=ME2（2010顺义区）在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D为AC的中点（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明【解答】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC证明如下：延长DF交AB于点G，由题意，知EDF=ACB=90，DE=DF，DGCB，点D为AC的中点，点G为AB的中点，且，DG为ABC的中位线，AC=BC，DC=DG，DCDE=DGDF，即EC=FGEDF=90，FHFC，1+CFD=90，2+CFD=90，1=2DEF与ADG都是等腰直角三角形，DEF=DGA=45，CEF=FGH=135，CEFFGH，CF=FH（2）FH与FC仍然相等理由：由题意可得出：DF=DE，DFE=DEF=45，AC=BC，A=CBA=45，DFBC，CBA=FGB=45，FGH=CEF=45，点D为AC的中点，DFBC，DG=BC，DC=AC，DG=DC，EC=GF，DFC=FCB，GFH=FCE，在FCE和HFG中，FCEHFG（ASA），HF=FC3（2008黄石）如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BEAD，垂足为E，连接CE，过点E作EFCE，交BD于F（1）求证：BF=FD；（2）A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=DA，并说明理由【解答】（1）证明：在RtAEB中，AC=BC，CE=AB，CB=CE，CEB=CBECEF=CBF=90，BEF=EBF，EF=BFBEF+FED=90，EBD+EDB=90，FED=EDFBF=FD；（2）解：由（1）BF=FD，而BC=CA，CFAD，即AECF若ACEF，则AC=EF，BC=BFBA=BD，A=450A90且A45时，四边形ACFE为梯形；（3）解：作GHBD，垂足为H，则GHABDG=DA，DH=DB又F为BD中点，H为DF的中点GH为DF的中垂线GDF=GFD点G在ED上，EFDGFDEFD+FDE+DEF=180，GFD+FDE+DEF180度3EDF180度EDF60度又A+EDF=90，30A90当30A90时，DE上存在点G，满足条件DG=DA4（2008延庆县二模）（1）如图所示，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG=（AB+BC+AC）（直接写出结果即可）（2）如图，若BD，CE分别是ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明（3）如图，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明答：线段FG与ABC三边之间数量关系是GF=（AC+BCAB）【解答】（1）FG=（AB+BC+AC）；（2）答：FG=（AB+ACBC）；证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于MAFBD，AGCE，AGC=CGN=90，AFB=BFM=90在RtAGC和RtCGN中AGC=CGN=90，CG=CG，ACG=NCGAGCRtNGCAC=CN，AG=NG同理可证：AF=FM，AB=BMGF是AMN的中位线GF=MNAB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CMAB+ACBC=MNGF=MN=（AB+ACBC）；（3）线段FG与ABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BCAB）5（2013春西城区期末）如图，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，联结GD，判断AGD的形状并证明【解答】解：判断：AGD是直角三角形证明：连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，F是AD的中点，HFAB，HF=AB，1=3，同理，HECD，HE=CD，2=EFC，AB=CD，HF=HE，1=2，3=EFC，EFC=60，3=EFC=AFG=60，AGF是等边三角形，AF=FG，AF=FD，GF=FD，FGD=FDG=30，AGD=90，即AGD是直角三角形6如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：1=2【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接MG，NGG、N、M均为中点，GN是ADB的AB对的中位线，GM是BCD的CD对的中位线，NGAB，NG=AB，GMCD，GM=CD，1=GNM，2=GME，又AB=CD，MG=NGGNM=GME1=27已知：如图，ABC中，AB，CR是ACB的平分线且交AB于R，AQCR，垂足为Q，P为AB的中点，求证：PQ=（BCAC）【解答】解：延长AQ与BC交于DCR是ACB的平分线，ACQ=DCQAQC=DQC=90，CQ=CQ，ACQDCQ（ASA）AQ=QD，AC=CD，BCCD=BCAC=BDP是AB的中点，且AQ=QD，PQ是三角形ABD的中位线PQ=BDPQ=（BCAC）8如图所示在四边形ABCD中，CDAB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点求证：【解答】证明：取AD中点G，连接EG，FG，在ACD中，EG是它的中位线（已知E是AC的中点），所以EG=CD同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是ABD的中位线，所以FG=AB在EFG中，EFEGFG由，得EF（CDAB）9如图，在ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于点O过点O作OPAC，OQAB，P、Q为垂足求证：DP=DQ【解答】证明：如图，取OB中点M，OC中点N，连接MD，MQ，DN，PND为BC的中点DMOC，DM=OC，DNOB，DN=OB在RtBOQ和RtOCP中，QM=OB，PN=OCDM=PN，QM=DNQMD=QMO+OMD=2ABO+FOB，PND=PNO+OND=2ACO+EOCABO=ACO，FOB=EOC，QMD=PNDQMDDNP，DQ=DP10如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P求证：PAD=PBC【解答】证明：如图：取AP，BP的中点分别为F，E；并连接DF，MF，EC，ME；根据三角形的中位线定理得：MF=BP=PE，ME=AP=PF，四边形MFPE为平行四边形MFP=MEP，PDAD，PCBC，ADP=BCP=90，在RtAPD与RtBPC中，DF=AF=PF=PA，CE=BE=PE=BP，DF=EM=PF，FM=PE=CE，MC=MD，MDFCME（SSS），DFM=MEC，DFP=CEP，FA=FD，CE=BE，DAF=FDA，ECB=CBE，DFP=2DAP，CEP=2CBP，DFP=CEP，PAD=PBC11如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE的面积最小？为什么？【解答】解：过P作直线GFAB，交BC于G，交AC于F，在BC上取点E，使GE=BG，延长EP交AB于点D，则BDE的面积最小若过P任作一直线，交BC于M，交AB于N，过D作DKBC，交MN于K，GPAB，BG=GE，DP：PE=BG：GE，PD=PE，又DKBC，KDP=MEP，PKD=PME，MPFKPG，SNPGSMPF，SBMNSBFG，BDE的面积最小12已知ABC中，DEBC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE【解答】证明：在ABC中，DEBCADNABM，且AENACM，且，M是BC的中点，所以BM=CM，DN=NE13操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的ADE纸片绕点E旋转180后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的BFE纸片绕点E旋转180到AF1E位置；沿HG剪开并将其中的DGH纸片绕点H旋转180到AG1H位置；沿FG剪开并将CFG纸片放置于AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G则四边形FF1G1G的形状是平行四边形操作、思考并探究：（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若AEH、BEF、CFG、DGH的面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是28（不要求说明理由）【解答】解：操作2：连接BD根据三角形的中位线定理，得EHBD，EH=BD，FGBD，FG=BD，根据旋转的性质，得F1G1EH，F1G1=EH所以F1G1FG，F1G1=FG，所以四边形FF1G1G的形状是平行四边形（1）连接BD根据三角形的中位线定理，得EHBD，EH=BD，FGBD，FG=BD，则EHFG，EH=FG，则四边形纸片EFGH的形状是平行四边形（2）见上述操作2；（3）2814（2014春张家港市校级期末）如图，点D、E是RtABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点（1）求FGH度数；（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长【解答】解：（1）F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，FGDB，GHECDBE=FGE，EHG=AEGFGH=FGE+EGH=ABE+BEA=180A=18090=90（2）如图所示：连接FM、HMM、H分别是BC和DC的中点，MNBD，MN=同理：GFBD，GF=四边形FGHM为平行四边形G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，GH=3，由（1）可知：FGH=90，四边形FGHM为矩形GHM=90GM=515（2014春团风县校级期中）如图所示ABC中，B，C的平分线BE，CF相交于O，AGBE于G，AHCF于H（1）求证：GHBC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH【解答】解：（1）证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在ABM中，由已知，BG平分ABM，BGAM，所以ABGMBG（ASA）从而，G是AM的中点同理可证ACHNCH（ASA），从而，H是AN的中点所以GH是AMN的中位线，从而，HGMN，即HGBC（2）解：由（1）知，ABGMBG及ACHNCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米又BC=18厘米，所以BN=BCCN=1814=4（厘米），MC=BCBM=189=9（厘米）从而MN=1849=5（厘米），GH=MN=cm16（2012春萍乡校级期中）已知：如图，AB=AC，ADBC于D，DFAE求证：CE=2DF【解答】证明：AB=AC，ADBC于D，BD=CD，DFAE，BF=EF，DF是BEC的中位线，CE=2DF17（2011秋江都市期末）如图（1），BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如图（2），BD、CE分别是ABC的内角平分线；如图（3），BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由【解答】解：（1）证明：AFBD，ABF=MBF，BAF=BMF，MB=AB，AF=MF， 同理可说明：CN=AC，AG=NG FG是AMN的中位线，FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC） （2）解：图（2）中，FG=（AB+ACBC） 图（3）中，FG=（AC+BCAB） 如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，FG=MN=（BM+CNBC）=（AB+ACBC），如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，FG=MN=（CN+BCBM）=（AC+BCAB），解答正确一种即可 18（2010秋茶陵县校级期末）如图，已知在ABCD中，EFBC，分别交AB、CD于E、F两点，DE、AF交于M，CE、BF交于N求证：MN=AB【解答】证明：平行四边形ABCD，CDAB，ADBC，EFBC，EFBCAD，四边形ADFE、CFEB是平行四边形，FM=AM，FN=BN，MN=AB19（2010秋仪征市校级期末）如图1，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD、CE分别是ABC的内角平分线，则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3）如图3，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，则线段FG与ABC三边的数量关系是FG=（AC+BCAB）【解答】解：（1）BDAF，AFB=MFB=90，在ABF和MBF中，ABFMBF（ASA）MB=ABAF=MF，同理：CN=AC，AG=NG，FG是AMN的中位线FG=MN，=（MB+BC+CN），=（AB+BC+AC）（2）图（2）中，FG=（AB+ACBC）解：如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，AFBD，ABF=MBF，BAF=BMF，在ABF和MBF中，ABFMBF（ASA）MB=AB，AF=MF，同理：CN=AC，AG=NGFG=MN，=（BM+CNBC），=（AB+ACBC），答：线段FG与ABC三边的数量关系是FG=（AB+ACBC）（3）解：FG=（AC+BCAB），理由是：AFBD，ABF=MBF，BAF=BMF，在ABF和MBF中，ABFMBF（ASA）MB=AB，AF=MF，同理：CN=AC，AG=NGFG=MN，=（CN+BCBM），=（AC+BCAB）故答案为：FG=（AC+BCAB）20（2007江苏）如图，已知AD与BC相交于E，1=2=3，BD=CD，ADB=90，CHAB于H，CH交AD于F（1）求证：CDAB；（2）求证：BDEACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE【解答】证明：（1）BD=CD，BCD=1；1=2，BCD=2；CDAB（2）CDAB，CDA=3BCD=2=3，BE=AE且CDA=BCD，DE=CE在BDE和ACE中，BDEACE（SAS）；（3）BDEACE，4=1，ACE=BDE=90ACH=90BCH；又CHAB，2=90BCH；ACH=2=1=4，AF=CF；AEC=904，ECF=90ACH，又ACH=4，AEC=ECF；CF=EF；EF=AF；O为AB中点，OF为ABE的中位线；OF=BE21（2014春江汉区期中）如图，已知ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DEFC，EFDC（1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：AED是等边三角形【解答】（1）证明：DEFC，EFDC，四边形CDEF是平行四边形，EF=CD，D，F分别是BC，AB的中点，ADBC，CFAB，BF=CD=AB，又FD=BF=AB，FD=CD，EF=FD；（2）证明：ABC是等边三角形，B=ACD=60，BC=AC，在BCF和ACD中，BCFACD（SAS），CF=AD，CAD=BCF，DEFC，EFDC，四边形CDEF是平行四边形，CF=DE，DEFC，BCF=BDE，由三角形的外角性质得，CAD+ACB=BDE+ADE，ADE=ACB=60，AED是等边三角形22（2013春富顺县校级月考）如图，M、N分别为AD、BC的中点，且AB=CD，求证：1=2【解答】证明：连接AC，取AC的中点G，连接NG和MGG是AC的中点，M是BC的中点，即MG是ABC的中位线，MG=AB，且MGAB2=NMG，同理，GN=CD，NGCD，1=MNG，又AB=CD，MG=NG，MNG=NMG，1=223（2016春梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点（1）若AB=6，求PM的长；（2）若PMN=20，求MPN的度数【解答】解：（1）AB=DC，AB=6，DC=6，点P是AC的中点，点M是AD的中点，PM=DC=6=3；（2）点P是AC的中点，点N是BC的中点，PN=BC，AB=DC，PM=PN，PNM=PMN=20，MPN=180PMNPNM=14024（2014宿迁）如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：DHF=DEF【解答】证明：（1）点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，DE、EF都是ABC的中位线，EFAB，DEAC，四边形ADEF是平行四边形；（2）四边形ADEF是平行四边形，DEF=BAC，D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，DH=AD，FH=AF，DAH=DHA，FAH=FHA，DAH+FAH=BAC，DHA+FHA=DHF，DHF=BAC，DHF=DEF25（2014鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE，求证：AB=CD（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，OEC=60，求OE的长度【解答】（1）证明：连结BD，