几类不同增长的函数模型（2课时）

1 / 6 几类不同增长的函数模型（ 2 课时） 几类不同增长的函数模型（ 2 课时） 教学要求： 结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义 . 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异 . 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题 . 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用 . 教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对 数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题 教学过程： 一、新课引入：（国际象棋棋盘的奖赏 教科书第三章的章头图：澳大利亚兔子数 “ 爆炸 ” ） 有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋 1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿2 / 6 只可爱的兔子变得可恶起来， 75 亿只兔子吃掉了相当于75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气 二、讲授新课： 1、例题讲解： 例 1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番 请问，你会选择哪种投资方案？ 探究：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 师生共同分析解答 探究：根据例 1 的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？ 根据以上分析，你认为就作出如何选择？ 例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一3 / 6 个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%现有三 个奖励模型： ； .问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 探究：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？ 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？ 通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例 2 的解答 2、探究与发现：幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析： 你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告 3、尝试练习：教材 P110 练习 1、 2；教材 P113 练习 4、小结与 反思：直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义；数学的实用价 三、巩固练习： 1.教材 P120 习题 32（ A 组）第 13 题； 2.作业：教材 P1252、 3、 4 题 3、课外活动：收集一些社会生活中普遍使用的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，怎样选用合理4 / 6 的函数模型？ 第三、四课时函数模型的应用实例（ 2 课时） 教学要求：通过一些实例，来感受一次函 数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用 . 教学重点：建立函数模型的过程 . 教学难点：在实际问题中建立函数模型 . 教学过程： 一、新课引入：前节课主要是讲授指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，本节课我们主要是通过一些生活中常遇到的实例来进一步说明函数模型在解决实际问题中的应用 . 二、讲授新课： 1、例题讲解： 例 1、在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势 .设某服装开始时定价为 10 元，并且每周（ 7 天）涨价 2 元， 5 周后开始保持 20 元的平稳销售；10 周后当季节即将过去时，平均每周降价 2 元，直到 16 周末，该服装已不再销售 . （ 1）试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系； （ 2）若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式为，试问该服装第几周每件销售利润最大？ 5 / 6 （找出实际问题中涉及的函数变量 引导学生根据变量间的关系建立函数模型 利用模型解决实际问题 小结：二次函数模型） 练习（图表形式）：某同学完成一项任务共花去 9 个小时，他记录的完成工作量的百分数如下： 时间 /小时 1 2 3 4 5 67 8 9 完成的百分数 15 30 45 60 60 70 80 90 100 （ 1）如果用 T（ h）来表示 h 小时后完成的工作量的百分数，请问 T（ 5）是多少？求出 T（ h）的解析式，并画出图象 .（ 2）如果该同学在早晨 8： 00 时开始工作，什么时候他未工作？ 例 2、人中问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据 .早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯（ 1766 1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中 t 表示经过的时间，表示时的人口数， r 表示人口的 年平均增长率 . （数据和问题见 P115） （师生共析 教师小结：指数型函数模型 学生阅读课本，完善解题过程） 例 3、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值研究：（数据和问题见 P118） 分小组讨论该选用何种函数模型来刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系并分别验证，总结讨论结果，找出6 / 6 最恰当的函数模型，利用函数模型来解决实际问题 . 小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 检验 符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合 实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止 . 2、练习：教材 P114 图形给出的函数应用研究 ;利润研究； 三、巩固练习： 1.阅读 P123、 P73、 P79 等应用问题，小结函数模型类别 2.已知镭经过 100 年，质量便比原来减少，设质量为 1 的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为 . 3.某新型电子产品 2002 年投产 ,计划 XX 年使其成本降低36. 则平均每年应降低成本 . 3.有一批影碟（ VcD）原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售