函数的单调性

1 / 10 函数的单调性 课题： 函数的单调性 教学目的：（ 1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （ 2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （ 3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性 教学重点：函数的单调性及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 教学过程： 一、引入课题 通过最近比较热门话题的股票作为引题，用上证指数随时间的 “ 跌 ” 、 “ 涨 ” 以及人们往往都 会在涨到最高点卖出在最低点买进，形象刻画本课的要讲授的概念：函数的单调性以及最大最小值。 师：函数的性质的应用就在我们的生活中，我们的周边，如一天气温随时间的变化等。那我们今天就先来学习函数的单调性。 1画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1） f(x)=x 1 从左至右图象上升还是下降 _? 2 / 10 2 在区间 _上，随着 x 的增大， f(x)的值随着 _ 2） f(x)=-2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 _? 2 在区间 _上，随着 x 的增大， f(x)的值随着 _ 3） f(x)=x2 1 在区间 _上， f(x)的值随着 x 的增大而_ 2 在区间 _上， f(x)的值随着 x 的增大而_ 问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先画出图像并观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即 y 随x 的增大而增大（或减小） ；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。 问题 1：列表描点，画函数 f（ x） x2的图像。 x 4 3 / 10 3 2 1 0 1 2 3 4 f（ x） x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 4 / 10 意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量 总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。 说明：教师可以按照 P37来 EXcEL画图。 问题 2：利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。 从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在 y 轴左侧 “ 下降 ” ，也就是，在区间上，随着 x 的增大，相应的 f（ x）反而减小；图象在 y 轴右侧 “ 上升 ” ，也就是，在区间上，随着 x 的增大，相应的 f（ x）也随着增大 。 意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。 问题 3：当 x 从小到大变化时， y 的值如何变化？ 意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着 x 的增大 y 增大，也不能说随着 x 的增大 y 减小。学生必须分段回答这个问题，体验5 / 10 函数的这一特征是函数的局部特征。 问题 4:比较下列各数的大小。 22， 32， 42，（） 2，（） 2，（） 2。 就 x 在（ 0， + ）从小到大 取值时，具体讨论函数值的大小变化。这不难得到 22 32 42（） 2（） 2（） 2。 显然有：当 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 时，有 0 x x x x x x 时，即 0 y1 y2 y3 y4 y5 y6。 意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。 问题 5:对于函数一个函数 f（ x），如果 1 2 时，有 f（ 1） f（ 2），能否说函数 f（ x）在区间（ 1， 2）上递增呢？ 问题 6:函数 f（ x），对于（ 0， ）上的无数个自变量的值 x1， x2， x3， ，当 0 x1 x2 x3 时，有 0 y1 y2 y3 ，能否说函数 f（ x）在（ 0， ）上递增呢？请画图说明。 意图：这两个问题的目的是，逐步由 “ 静态 ” 、 “ 有限 ”向 “ 动态 ” 、 “ 无限 ” 过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题 6 引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。 问题 7:在函数 y x2 的图像位于 y 轴右边的部分随便（任意）取两点，横坐标分别是 x1， x2，即当 0 x1 x2时，是否总有 y1 y2呢？ 6 / 10 意图：抽象前的铺垫，以 “ 随便 ” 替代 “ 任意 ” 容易被接受。 问题 8:在 函数 y x2 的图像位于 y 轴左边的部分任意取两点，横坐标分别是 x1， x2，即当 x1 x2 0 时，是否总有 y1 y2呢？ 意图：把 “ 随便 ” 换成 “ 任意 ” 并不突然。任意 x1x2 0 时，有 y1 y2。而 0 x1 x2不变。这样，基本完成难点的突破。 问题 9:在函数 y x2 的图像上任意取两点，横坐标分别是 x1， x2，当 x1 x2时，是否总有 y1 y2呢？ 意图：函数递增、递减描述需要分段表述。 问题 10:你能否举出一个具体的函数的例子，使得它在区间（ ， ）上，对任意 x1 x2，总有 y1 y2。 意图：学生为寻找例子，会首先从形象直观的角度寻找思考，如 f（ x） x。加强几何直观与抽象表述之间的联系。 问题 11:你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（ 0， ）上，对任意 x1 x2，总有 y1 y2。 意图：使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到具体，体验函数的这一特征。 二、提出函数单调性定义 1增函数 7 / 10 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I内的某个区间 D内的任意两个自变量x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasingfunction） 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义（学生活动） 意图：培养学生数学表达能力。 问题 12：函数 f（ x）在区间（ 0， ）上，总有 f（ x） f（ 0），能否说 f（ x）在（ 0， ）上单调增？请举例说明。 意图：概念辨析。学生容易画出图形来加以说明。从反面进一步体验到，函 数单调性中 “ 任意 x1 x2，都有 f（ x1） f（ x2） ” 中 “ 任意 ” 二字的意义，体验到为什么要在区间上任意取大小不同的两个值。 说明： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2；当x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 2函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单 调区间： 8 / 10 3已学函数的单调性： 三、单调性的应用： 例 1（教材 P29例 1）根据函数图象说明函数的单调性 解：（略） 巩固练习：课本 P38练习第 1、 3 题 例 2物理学中的波利尔定律 p（ k 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积 V 减小，压强 p 将增大试用函数的单调性证明之 分析怎样来证明 “ 体积 V 减小，压强 p 将增大 ” 呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数 p（ k 是正常数）是减函数怎样证明函数 p（ k 是正常数）是减函数呢，只要 在区间（ 0， ）（因为体积 V 0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即 设 V1 V2，去证明 p1 p2也就是只要证明 p1 p20 证明设 V1 V2， V1， V2 （ 0， + ） p1 p