利用MATLAB求解微积分的方法.doc

第 3 章 (1)MATLAB微积分极限与级数的符号运算 MATLAB的极限与级数运算在符号系统中进行u 极限运算l limit(f, x, a) 求符号函数f的极限 l limit(f, x, a, right) 求符号函数f的右极限l limit(f, x, a, left) 求符号函数f的左极限 说明：上述命令中的a可以是无穷大 inf 或 -infp 说明：多元函数的极限需要使用累次极限来计算 举例u 级数运算l symsum(an, n, i, j) 求符号通项an的和 其中，当j为无穷大inf时，即为无穷级数。 举例 u 级数运算l taylor(f, n, a, x) 求符号函数f在点a关于变量x的n-1阶泰勒多项式 举例l taylortool 泰勒工具 举例微积分的符号运算u 导函数与偏导函数l diff(f, x) 求符号函数f对x的一阶导函数或偏导函数l diff(f, x, n) 求符号函数f对x的n阶导函数或偏导函数l 注：diff是differential(微分)的缩写 例：计算n 问:如何求符号函数在给定点的导数值或偏导数值？ 求完导函数或偏导函数之后，使用符号替换命令 subs 可以求得导函数值或偏导函数值u 不定积分与定积分l int(f, x) 求符号函数f关于变量x的不定积分l 注：int是integration(积分)的缩写l int(f, x, a, b) 求符号函数f关于变量x的定积分，a、b分别是积分下限和上限，a、b可以是函数表达式，也可以是无穷大inf或-inf 举例l 对于定积分，当系统求不出精确解时，如果被积函数中不含待定符号，可以使用vpa命令给出近似解 例如： syms x a=int(sin(sin(x), 1, 2) vpa(a)p 说明：l 参数方程求导和隐函数求导需要使用相关数学公式（见教材66-67页）l 重积分、曲线积分与曲面积分需要使用数学方法转化为累次积分来计算微积分的数值运算u 微积分的数值运算特点 采用数值算法，主要用于解决导数和定积分的近似计算问题 还可以解决离散数据的相关计算问题l 实例：某河床的横断面如图所示，试根据图示的测量数据(单位: m)，计算各测量点的坡度和横断面的面积。04101215222834401368953u 数值导数l gradient(f, x) 该命令求一元函数 f 的数值导数f (x) 其中，x是自变量的一组取值(离散数据)，f是因变量的对应取值(离散数据) ，计算结果是各离散数据点的导数值(近似解)。p 说明： x的取值越密集，得到的导数值就越精确。 该命令常用于求解离散型数据的变化率。l 例：计算前例中的坡度 x=0,4,10,12,15,22,28,34,40; f=0,-1,-3,-6,-8,-9,-5,-3,0; fx=gradient(f,x)l 例：求函数y=x2sinx在区间-3,3的一阶和二阶数值导数，作出原函数与一、二阶导函数的图形，并观察函数的单调性、凹凸性、极值、拐点与一、二阶导数之间的关系。 x=-3:0.01:3; f=x.2.*sin(x); fx=gradient(f,x) fxx=gradient(fx,x) plot(x,f, x,fx,r-, x,fxx,k-), grid onp 思考：怎样求函数在指定点的数值导数？ 比如：上面函数在x=1.5和x=1.501的数值导数是多少？ f(find(x=1.5) 或者 f(x=1.5) 一般方法：p,q=min(abs(x-x0); f(q)u 数值偏导数l fx, fy=gradient(f, x, y) 该命令求二元函数f的数值偏导数f x和f y 其中，x, y 分别是自变量x和y的一组取值(向量表示) ； f 是定义在x-y平面点集区域上的函数值(矩阵表示)，平面点集区域可以使用meshgrid命令生成；fx和fy分别得到每个点处偏x和偏y的偏导数值(矩阵表示)。p 说明：x和y的取值越密集，得到的偏导数值就越精确；该命令常用于求解离散型数据的方向导数、梯度、散度、旋度等。l 举例u 数值定积分l 梯形法数值积分：trapz(x, y) 其中x 表示自变量在积分区间的一组取值，y 表示被积函数对应于x 的一组函数值。 l 例：计算前面例题中的横断面积 x=0,4,10,12,15,22,28,34,40;y=0,1,3,6,8,9,5,3,0;s=trapz(x, y)l 例：求积分 解：x=-1: 0.1: 1 ; y=exp(-x.2) ; trapz(x,y)l 高精度数值积分：quad(f, a, b)或quadl(f, a, b) 求函数f 在区间a, b 上的定积分，其中：f 使用字符串函数表达式或内联函数，定义函数的乘、除、乘方时要使用点运算 。积分限 a 、b 必须是常量 。 quad 采用自适应步长Simpson 积分法 quadl 采用高精度Lobatto 积分法 l 例 求积分 解：z=quadl(exp(-x.2), -1, 1)l 注意：trapz, quad, quadl都不能用于求反常积分。u 数值重积分l 矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分： 二重积分命令 dblquad(f, a1, a2, b1, b2) f 为被积函数, 积分区域为矩形a1, a2; b1, b2 三重积分命令 triplequad(f, a1, a2, b1, b2 , c1, c2) f 为被积函数, 积分区域为立方体a1, a2; b1, b2; c1, c2说明：被积函数使用字符串函数表达式或内联函数；乘、除、乘方要用点运算；积分限必须是常量；f是字符串函数表达式时，积分的顺序按照自变量的字典顺序进行，f是内联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。