弹性力学-第三章-平面问题的直角坐标解答.ppt

第三章平面问题的直角坐标解答,胡衡武汉大学土木建筑工程学院,弹性力学及有限元,二零零八年五月,常体力情况下的平面问题,常体力情况下的平面问题需要满足：,1.艾里应力函数表示的相容方程：,2.边界条件,3.位移单值条件,逆解法与半逆解法,逆解法：先设定各种形式的满足相容方程的应力函数，并由此求出应力分量；然后根据边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应边界上什么样的面力，从而得知应力函数可以解决的问题。,半逆解法：根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程求出应力函数的具体表达式；再由应力分量与应力函数的关系求得应力分量，并考察这些应力分量能否满足应力边界条件和位移单值条件。如果条件都满足，则得出的结果就是正确解答，否则需要另作假设。,不计体力的平面问题的逆解法（1）,注：线性应力函数对应于无体力，无面力，无应力的状态，因此把平面问题的应力函数加上或减去一个线性函数，并不影响应力。,不计体力的平面问题的逆解法（2）,x,y,不计体力的平面问题的逆解法（3）,矩形梁的纯弯曲（1）边界条件,矩形梁的纯弯曲（2）边界条件,x,y,M,M,h/2,h/2,总能满足,矩形梁的纯弯曲（3）位移分量,物理方程,矩形梁的纯弯曲（4）位移分量,几何方程,矩形梁的纯弯曲（5）位移分量,注：同一截面上的转角为常数；梁的纵向纤维的曲率与材料力学中的公式一致。,矩形梁的纯弯曲（6）位移分量,x,y,M,M,h/2,h/2,矩形梁的纯弯曲（7）位移分量,x,y,M,M,h/2,h/2,简支梁受均布载荷（1）应力分量函数,y方向正应力由直接载荷q引起，由于q不随x变化，所以可以假设y方向正应力也不随x变化，即：,简支梁受均布载荷（2）应力函数,不计体力,简支梁受均布载荷（3）相容方程,相容方程要求上式对所有x都成立，这就要求x的系数以及式中常数都为零，即：,简支梁受均布载荷（4）相容方程,注：此式中的常数项在应力函数中为一次项，故略去。,简支梁受均布载荷（5）由应力函数求应力分量函数,简支梁受均布载荷（6）边界条件,由于yz面是梁和载荷的对称面，所以正应力应该是x的偶函数，切应力是x的奇函数。,E=F=0,E=F=G=0,简支梁受均布载荷（7）边界条件（主要边界）,简支梁受均布载荷（8）边界条件（主要边界）,简支梁受均布载荷（9）边界条件（次要边界）,圣维南原理：,？,简支梁受均布载荷（10）边界条件（次要边界）,简支梁受均布载荷（11）边界条件（次要边界）,由上式可知，剪应力表达式总能满足边界条件。,简支梁受均布载荷（12）材料力学解答,简支梁受均布载荷（13）材料力学解答与弹性力学解答比较,弹性力学对材料力学的修正项。,弹性力学与材料力学的结果一致。,为什么材料力学中忽略此项？,简支梁受均布载荷（14）材料力学解答与弹性力学解答比较,材料力学,弹性力学,引用平面截面假设,不引用平面截面假设,不考虑微分体的平衡,考虑微分体的平衡,忽略横向正应力,不忽略横向正应力,只适应杆状结构,非杆状结构,半逆解法小结,提出应力分量函数形式假设。由应力分量与应力函数的关系推导应力函数的形式。将应力函数代入相容方程。以坐标参数为基准合并同类项，并令其中各项的系数以及常数项为零，从而得到满足相容方程的应力函数形式。计算各应力分量。列出主要边界条件和次要边界条件。先从主要边界条件下手求解应力分量中的参数。主要条件不够就利用次要边界条件。次要边界条件不能完全满足（与已求得的参数有矛盾）就利用圣维南原理。,楔形体受重力和液体压力（1）,在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将有两部分组成：第一部分由重力引起，应当于1g成正比，第二部分由液体压力引起，应当与2g成正比。因此，应力分量的表达式只能为A1gx,B1gy,C2gx,D2gy的组合。因此应力函数设为：,楔形体受重力和液体压力（2）,该应力函数总能满足相容方程：,因此，直接可以求应力分量的函数形式：,楔形体受重力和液体压力（3）,主要边界条件(1)：,楔形体受重力和液体压力（4）,主要边界条件(2)：,斜面,楔形体受重力和液体压力（5）,应力分量函数：,边界条件：,楔形体受重力和液体压力（6）,应力分量函数：,楔形体受重力和液体压力（7）,确定应力分量函数：,注：此解为三角形