2025年全国统一高考数学试卷（全国二卷）含答案

2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（使用地区：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）A.8 B.9 C.12 D.182.已知z=1+i，则1z−1=A.−i B.i C.−1 D.3.已知集合A={−4,0,1,2,8},B=x∣x3=x,A.{0,1,2} B.{1,2,8}C.{2,8} D.{0,1}4.不等式x−4x−1≥2的解集是（A.{x∣−2≤x≤1} B.{x∣x≤−2}C.{x∣−2≤x<1} D.{x∣x>1}5.在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A=（A.45° B.60° C.120° D.135°6.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=−2x+2，则|AF|=A.3 B.4 C.5 D.67.记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=6,SA.−20 B.−15 C.−10 D.−58.已知0<α<π，cosα2=55A.210 B.25 C.32二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.记Sn为等比数列an的前n项和，q为an的公比，q>0，若SA.q=12 C.S5=8 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=xA.f(0)=0 B.当x<0时，fC.f(x)≥2当且仅当x≥3 D.x=−1是f(x)11.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，左、右顶点分别为A.∠A1MC.C的离心率为13 D.当a=2时，四边形NA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量a=(x,1),b=(x−1,2x),若a13.若x=2是函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−a)的极值点，则f(0)=＿＿＿＿＿.14.一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为＿＿＿＿＿cm．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数fx（1）求φ；（2）设函数g(x)=f(x)+fx−π616.（15分）已知椭圆C:x2a2+y（1）求C的方程；（2）过点（0,−2）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为2，求17.（15分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF//AD，AB=3AD,CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD（1）证明:A'B//（2）求面BCD'与面18.（17分）已知函数f(x)=ln(1+x)−x+1（1）证明：f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；（2）设x1,x2分别为f(x)（i）设函数g(t)=fx1+t−fx1（ii）比较2x1与19.（17分）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为P12<p<1，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk（1）求p3,p（2）若p4−p（3）证明：对任意正整数m，p2m+1

参考答案一、单选题 1-5：CADCA 6-8：CBD二、多选题 9.AD 10.ABD 11.ACD三、填空题 12.2 13.−4 14.2.5四、解答题15.（1）φ=π（2）函数g(x)函数g(x)的单调递减区间为−16.（1）x（2）517.（1）证明：设AD=1，所以AB=3，CD=2，因为F为CD中点，所以DF=1，因为EF∥AD，AB∥CD，所以AEFD是平行四边形，所以AE∥DF，所以A'E∥D'F，因为D'F⊂平面CD'F，AE⊄平面CD'F，所以A'E//平面CD'F，因为FC∥EB，FC⊂平面CD'F，EB⊄平面CD'F，所以EB//平面CD'F.又EB∩A'E=E，EB，AE⊂平面A'EB，所以平面A'EB//平面CD'F，又AB⊂平面A'EB，所以A'B//平面CD'F.（2）4218.（1）证明：由题得f'因为x∈(0,+∞)，所以x2>0则g'(x)=−1(1+xg(0)=1−3k>0所以当x∈0,x0时，g(x)>0，则f所以f(x)在0,所以f(x)对函数y=ln⁡(1+x)−x有所以y=ln⁡(1+x)−所以y=ln⁡(1+x)−又因为f(0)=0,x→+∞所以x→+∞时f所以存在唯一x2∈(0,+∞)