三次函数性质总结.doc

三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k0时函数单调递增；当k0a0000图象x1x2xx0xx1x2xx0x 2极值点的个数：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x)，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。（1）若，此时函数无极值；三次函数在上不存在极值点。（2）若，三次函数在上的极值点要么有两个。且两根为且， 此时函数在处取极大值，简言之：波峰是为极大值 在处取极小值，简言之：波谷是为极小值论证如下：令f（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。当=4b2-12ac0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2， 则x1、x2是f（x）在(-,+)上的两个极值点；当=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-,+)上单调增， 此时y=f（x）没有极值点； x (-,x0) x0（x0，+) f/（x） + 0 + f(x) 当=4b2-12ac0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。 3.奇偶性：函数当且仅当时是奇函数。4对称性：函数图象关于点中心对称（了解）证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即+，整理得，据多项式恒等对应系数相等,可得且=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； 证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。实际上：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，yf(x)图象的对称中心在导函数y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。由上又可得以下结论：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.证明 的图象关于对称，则 图象关于直线对称. 若图象关于直线对称，则图象关于点对称.证明 图象关于直线对称，则， ， 图象关于点对称.这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数系列探究3：三次函数f（x）图象的切线条数 由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。例.已知曲线yx3/34/3，求曲线在点（，）处的切线方程解：f（x）x2，f（），曲线在点（，）处的切线斜率为kf（）代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y（x），即yx变式：已知曲线yx3/34/3，则曲线过点（，）的切线方程。错解：依上题，直接填上答案xy错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。 点（，）在曲线yx3/34/3上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（，）的切线对应的切点为（x0，x03/34/3），斜率为k=x02，切线方程为y -（x03/34/3 ）=x02（x-x0）即y=x02x- 2x03/3+4/3 点（2，4）的坐标代入，得4=2x02- 2x03/3+ 4/3， 2 x03-6 x02+8=0 ， x03-3x02+4=0， 又x03+1-（3x02-3）=0（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0（x0+1）（x02-4x0+4）=0 x0=-1或x0=2切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。系列探究4：一般三次函数的图像：a0a0000图象x1x2xx0xx1x2xx0x从数形结合的视角看三次方程的实数根：OOOO x1x2x 三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d在实数集上怎样进行因式分解，记ax3+bx2+cx+d=a（x-x1）（x-x2）（x-x3），（）若x1x2x3，则交点为3个；（）若x1、x2、x3中有两个相等，不妨x1=x2x3，则交点为2个。（）若x1=x2=x3，则交点为1个；（）若f（x）=a（x-x0）（x2+dx+e），且 有d2-4e0，y=f（x）的图象与x轴只有一个交点。（1）若，方程有且只有一个实数解；（2）若，令两根为且，若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。则方程有且只有一个实数解，且，若，则方程有三个不同的实数解，且有，若，则方程有两个不同的实数解由图像能够探究出在区间的最大值与最小值吗？ 函数若，且，则： ；。拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得 .请你掌握：三次函数解析式的形式（1）一般形式：（2）已知函数的对称中心为，则（3）已知函数图象与轴的三个交点的横坐标，则 （4）已知函数图象与轴的一个交点的横坐标，则 （2012全国大纲版 10）已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则A 或2 B或3 C或1 D或1【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而，当时取得极值由或可得或，即。答案A（2012福建文）12.已知f（x）=x-6x+9x-abc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0.其中正确结论的序号是A. B. C. D.【解析】，单调递增，单调递减，单调递增，又因为，所以 ，【法一】， 【法二】又因为，所以为正数，所以为正数，又因为，【点评】本题考查运用导数分析函数的能力，数形结合及代入转化的能力【答案】A（2012重庆理卷）（8）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值（2012重庆文）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）A. B c D高考含参三次函数题型分析 我们知道导数是研究函数的重要工具，三次函数的导数是二次函数，正因如此，三次函数问题的解决往往关键转化为二次函数问题，如二次函数方程根的问题，二次不等式解集问题等常见题型。首先，回顾一下三次函数图象a0a0000图象x1x2xx0xx1x2xx0x【题型1】含参三次函数单调性问题例一 (08全国 文 21 )已知函数f(x)=x3+a x2+x+1,aR.（）讨论函数f(x)的单调区间；（）设函数f(x)在区间（-）内是减函数，求的取值范围.解法分析：对于问题（）我们往往采用的解题思路是：求函数的导数为然后往往按以下步骤进行讨论分析。（1） 讨论导数二次项系数是否为零（2） 讨论导数判别式 （3） 则原函数为单调增（减）函数（4） 求导函数等于0时的根，并比较根的大小（5） 结合到导函数图象，得出三次函数单调性下面我们按照这个思路解决一下则（1）讨论导数二次项系数是否为零 （2）讨论判别式 = （3），则原函数为单调增（减）函数即时，恒成立，则为单调增函数，单调增区间为（4） 求导函数等于0时的根，并比较根的大小时，或时，存在零解，此时 显然，（5）结合到导函数图象，得出三次函数单调性所以此时函数的单调递增区间为和 单调递减区间为对于问题（）设函数f(x)在区间（-）内是减函数，求a的取值范围.往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。f(x)在区间（-）内是减函数，则对恒成立。方法一：根的分布，数形结合由的两根在区间外则有成立，可以解得方法二：主参分离，求最值对恒成立。则有则，由“对勾函数” ，则方法三：求根公式由的两根在区间外则有可以解得【题型2】不等式与恒成立问题例二（08 安徽文）设函数为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。解法分析：（），由于函数在时取得极值，所以 即 对于问题（）有两种方法：方法一 转化为关于的函数 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充分必要条件是 即 ， 于是的取值范围是 方法二 恒成立问题，转化为不等式的最值问题 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 于是对任意都成立，即于是的取值范围是【题型3】三次方程根问题例三（05全国）设a为实数，函数。（）求的极值；（）当a在什么范围内取值时，曲线轴仅有一个交点。解法分析：对于问题（）易得f(x)的极大值是，极小值是对于问题（）主要方法结合三次函数图象解决方法一：由三次函数单调性函数由此可知x取足够大的正数时，有，x取足够小的负数时有，所以曲线与x轴至少有一个交点。 结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上；当f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上 所以当时，曲线与x轴仅有一个交点。方法二：将与x轴交点问题转化为函数与函数的交点个数问题yx-1y=-a易求函数的极大值极小值-1，当或时函数与函数只有一个交点所以当时，曲线与x轴仅有一个交点。同学们也可以思考一下，函数当a在什么范围内取值时，曲线轴仅有三个交点。【题型4】三次函数极值点与二次函数零点分布问题例五(07全国 22 ) 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解法分