（湖南专版）2019年中考数学一轮复习 第二章 方程（组）与不等式（组）2.2 一元二次方程及其应用（试卷部分）课件.ppt

2.2一元二次方程及其应用,中考数学(湖南专用),A组20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一一元二次方程及其解法,1.(2015湖南衡阳,8,3分)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1,则另一个根为()A.-2B.2C.4D.-3,答案A把x=-1代入x2+3x+a=0,可得1-3+a=0,解得a=2.原方程为x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2.故选A.,2.(2018湖南郴州,13,3分)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,则方程的另一个根为.,答案2,解析解法一:因为关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,所以将x=-3代入原方程,求得k=1,解一元二次方程得另一个根为2.解法二:由一元二次方程根与系数的关系可得,两根之积为-6,原方程的一个根是-3,所以另一个根为2.,3.(2014湖南岳阳,10,4分)方程x2-3x+2=0的根是.,答案1或2,解析将原式因式分解,得(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2.,4.(2017湖南湘潭,22,8分)多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+23=(x+2)(x+3).(1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.,解析(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+24=(x+2)(x+4).(2)x2-3x-4=0,(x+1)(x-4)=0,则x+1=0或x-4=0,解得x=-1或x=4.,思路分析(1)类比题干中因式分解的方法求解即可;(2)利用十字相乘法将左边因式分解后求解.,考点二一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,1.(2018湖南娄底,5,3分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定,答案A由题意得=-(k+3)2-41k=k2+2k+9=(k+1)2+8,(k+1)20,(k+1)2+80,即0,方程有两个不相等的实数根.故选A.,2.(2017湖南怀化,7,4分)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是()A.2B.-2C.4D.-3,答案Dx1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,x1x2=-3.故选D.,3.(2017湖南益阳,6,3分)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是()A.b2-4ac0B.b2-4ac=0C.b2-4ac0,故选A.,4.(2018湖南常德,13,3分)若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值可能是(只写一个).,答案6(答案不唯一),解析关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,=b2-4230,解得b2.故答案可以为6.(答案不唯一),解题关键本题考查了根的判别式,牢记“当0时,一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.,5.(2016湖南岳阳,22,8分)已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).,解析(1)证明:=-(2m+1)2-4m(m+1)=10,方程总有两个不相等的实数根.(2)x=0是方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根,0-(2m+1)0+m(m+1)=0,解得m=0或m=-1.(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5,当m=0时,3m2+3m+5=302+30+5=5;当m=-1时,3m2+3m+5=3(-1)2+3(-1)+5=3-3+5=5.综上,(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值是5.,评析本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法,属于中等难度题.,6.(2014湖南株洲,21,6分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别是ABC的三边长.(1)如果x=-1是方程的一个根,试判断ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断ABC的形状,并说明理由;(3)如果ABC是等边三角形,试求出这个一元二次方程的根.,解析(1)ABC是等腰三角形.理由:将x=-1代入原方程得a+c-2b+a-c=0,即可得a=b,故ABC是等腰三角形.(2)ABC是直角三角形.理由:由题意可知=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即4b2-4(a2-c2)=0,可得b2+c2=a2,故ABC是直角三角形.(3)因为ABC是等边三角形,所以a=b=c0,故原方程可化为2ax2+2ax=0,解得x1=0,x2=-1.,考点三一元二次方程的应用,1.(2016湖南衡阳,9,3分)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭.抽样调查显示,截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆.设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得()A.10(1+x)2=16.9B.10(1+2x)=16.9C.10(1-x)2=16.9D.10(1-2x)=16.9,答案A2013年底该市汽车拥有量为10万辆,则2014年底该市汽车拥有量为10(1+x)万辆,2015年底该市汽车拥有量为10(1+x)2万辆,故可得方程10(1+x)2=16.9,故选A.,思路分析理解增长率的含义,2015年为16.9万辆,是在2013年10万辆的基础上增长两年的结果,故可列方程为10(1+x)2=16.9.,评析本题考查了一元二次方程的实际应用,熟悉相关的实际背景有助于解决这类问题,属容易题.,2.(2016湖南永州,24,10分)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种商品每次降价的百分率;(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?,解析(1)设该种商品每次降价的百分率为x,依题意得400(1-x)2=324,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).答:该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件,第一次降价后的单件利润为400(1-10%)-300=60(元);第二次降价后的单件利润为324-300=24(元).依题意得60m+24(100-m)3210,解得m22.5.m为整数,m的最小值为23.答:第一次降价后至少要售出该种商品23件.,B组20142018年全国中考题组,考点一一元二次方程及其解法,1.(2015山西,5,3分)我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是()A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想,答案A将高次方程问题转化为低次方程问题求解,将复杂问题转化为简单问题求解,将未知问题转化为已知问题求解,体现了转化思想,故选A.,2.(2015广西柳州,17,3分)若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则m的值为.,答案-3,解析将x=1代入原方程得1+2+m=0,解得m=-3.故答案为-3.,评析本题主要考查的是方程的解(根)的定义,将方程的解(根)代入方程得到关于m的方程是解题的关键.,考点二一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,1.(2017四川绵阳,7,3分)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为()A.-8B.8C.16D.-16,答案C由一元二次方程根与系数的关系得解得m=2,n=-4,故nm=(-4)2=16,故选C.,2.(2017甘肃兰州,6,4分)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值范围为()A.mB.mC.m=D.m=,答案C因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m=,故选C.,思路分析一元二次方程有两个相等的实数根,则判别式=0,列出关于m的方程,解方程即可.,方法规律对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b2-4ac0,x1x2=0,则x10,x20,故选D.,3.(2017上海,2,4分)下列方程中,没有实数根的是()A.x2-2x=0B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0D.x2-2x+2=0,答案DA项,=(-2)2-410=40;B项,=(-2)2-41(-1)=80;C项,=(-2)2-411=0;D项,=(-2)2-412=-40,D项中的方程没有实数根,故选D.,思路分析对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,当0时,方程有两个实数根;当0时,方程无实数根,所以应先算出各选项中方程的判别式,再进行判断.,4.(2017内蒙古包头,8,3分)若关于x的不等式x-1的解集为x1,则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定,答案C解不等式得x0,即0,所以方程N的两根符号也相同,故B项不符合题意;如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同除以25,得c+b+a=0,所以是方程N的一个根,故C项不符合题意;如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,即(a-c)x2=a-c,又由ac得x2=1,解得x=1,故D项符合题意.故选D.,7.(2015河北,12,2分)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是()A.a1C.a1D.a1,答案B由题意知=4-4a1,故选B.,8.(2015湖南怀化,7,4分)设x1,x2是方程x2+5x-3=0的两个根,则+的值是()A.19B.25C.31D.30,答案C由题意知x1+x2=-5,x1x2=-3,则+=(x1+x2)2-2x1x2=(-5)2-2(-3)=31.故选C.,思路分析由根与系数关系分别表示x1+x2,x1x2的值,再将所求代数式恒等变形.,解题关键将+恒等变形为(x1+x2)2-2x1x2,转化为两根之和与两根之积的表达式.,9.(2015湖南张家界,6,3分)若关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是()A.1B.0,1C.1,2D.1,2,3,答案A由题意可得k0且(-4)2-43k0,解得k且k0,所以k的非负整数值是1.故选A.,思路分析由一元二次方程的定义及根的判别式分别列出关于k的不等式,求解确定k值.,易错警示忽略方程为一元二次方程的隐含条件:二次项系数不为0,即k0,求得k,错选B.,10.(2016湖南长沙,14,3分)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.,答案m-4,解析一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,0,即b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4m0,解得m-4.,11.(2017江苏南京,12,2分)已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,则p=,q=.,答案4;3,解析因为方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,所以p=-(-3-1)=4,q=(-3)(-1)=3.,12.(2016湖北黄石,12,3分)关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是.,答案m,解析设x1、x2为方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根,由已知得即解得m.故答案为m.,评析本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式组,解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大.,13.(2015内蒙古赤峰,10,3分)若关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab=.,答案4,解析关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的两个实数根分别是2,b,由根与系数的关系,得解得ab=14=4.故答案是4.,14.(2017北京,21,5分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.,解析(1)证明:依题意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2.(k-1)20,方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x=,x1=2,x2=k+1.方程有一个根小于1,k+11,k0,0.不可能.(5分)(2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k+27.解得k=13,将n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合.k=13.(6分)由题意,得18=6+,求得x=50.,50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0.=(-13)2-4147-且k1C.k0,且k-10,k的取值范围是k-且k1.故选B.,2.(2018湖南永州东安模拟,7)已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个实数根,则m的取值范围是()A.m1B.m-1C.m-1且m0D.m-1且m0,答案D关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个实数根,解得m-1且m0.,思路分析根据二次项系数非零结合根的判别式0即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可.,易错警示忽略一元二次方程中二次项系数非零这一隐含条件,错选B.,3.(2017湖南长沙三模,9)若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是()A.m-1B.m1C.m1,答案B一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,4-4m0,m1,故选B.,4.(2017湖南长沙一模,8)关于x的方程x2-mx-1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定,答案A由题得=(-m)2-41(-1)=m2+4,m20,m2+40,即0,原方程有两个不相等的实数根.故选A.,5.(2016湖南株洲石峰模拟,8)若一元二次方程x2+2x+m+1=0有实数根,则()A.m的最小值是1B.m的最小值是-1C.m的最大值是0D.m的最大值是2,答案C一元二次方程x2+2x+m+1=0有实数根,=22-4(m+1)0,解得m0.故选C.,6.(2016湖南永州一模,12)已知一元二次方程x2+2x-5=0的两根为x1,x2,则x1+x2=.,答案-2,解析由根与系数的关系知x1+x2=-2.,7.(2018湖南湘西一中模拟,20)关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若3(x1+x2)-x1x2-10=0,求m的值.,解析(1)关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有两个实数根,=(-3)2-4(m-1)=13-4m0,解得m.即m的取值范围为m.(2)由题意得x1+x2=3,x1x2=m-1,3(x1+x2)-x1x2-10=33-(m-1)-10=0,解得m=0.当3(x1+x2)-x1x2-10=0时,m的值为0.,8.(2016湖南湘潭二模)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)当k取最大整数值时,求该方程的解.,解析(1)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,=22-4k0,解得k30)步,则宽为(60-x)步,由矩形的面积=长宽,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,将其代入x-(60-x)中,即可得出结论.,2.(2017湖南娄底一模,6)某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列方程中正确的是()A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315C.560(1-2x)2=315D.560(1-x2)=315,答案B第一次降价后的售价是560(1-x)元,第二次降价后的售价是560(1-x)2元.故选B.,3.(2016湖南岳阳十二校联考)学校去年年底的绿化面积为5000平方米,预计到明年年底增加到7200平方米,求这两年的年平均增长率.,解析设这两年的年平均增长率为x,根据题意得,5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,开方得,1+x=1.2或1+x=-1.2,解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去).答:这两年的年平均增长率为20%.,B组20162018年模拟提升题组(时间:20分钟分值:50分),一、选择题(每小题3分,共15分),1.(2018湖南永州冷水滩一模,4)若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-1,则另一个根是()A.1B.0C.2D.-2,答案D设原方程的另一个根是t,根据题意得-1t=2,解得t=-2,即方程的另一个根是-2.故选D.,2.(2017湖南娄底3月模拟,11)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是()A.-1或5B.1C.5D.-1,答案D设原方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=a,x1x2=2a,+=5,(x1+x2)2-2x1x2=5,a2-4a-5=0,a1=5,a2=-1,又由题意知=a2-8a0,即a8或a0,a=-1.故选D.,3.(2017湖南娄底3月模拟,2)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1,答案A把x=0代入原方程得|a|-1=0,a=1,又由题知a-10,即a1,a=-1.故选A.,思路分析先把x=0代入原方程求出a的值,然后根据二次项系数不能为0,把a=1舍去.,易错警示忽略一元二次方程的二次项系数不能为0的条件,错选D.,4.(2016湖南怀化模拟,10)下列关于方程x2+x-1=0的说法中正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根,且它们互为相反数C.该方程有一根为D.该方程有一根为,答案DA项,=12+410,方程x2+x-1=0有两个不相等的实数根,故本选项错误;B项,方程两根的和为-1,它们不互为相反数,故本选项错误;C项,把x=代入x2+x-1=0,等号左右两边不相等,故本选项错误;D项,把x=代入x2+x-1=0,等号左右两边相等,故本选项正确.故选D.,5.(2016湖南常德模拟,7)某等腰三角形的边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为()A.9B.10C.9或10D.8或10,答案B该三角形是等腰三角形,当a=2,或b=2时,a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,把x=2代入x2-6x+n-1=0得,22-62+n-1=0,解得n=9.当n=9时,方程的两根是2和4,而边长分别为2,4,2的三边不能构成三角形,故n=9不合题意;当a=b时,方程x2-6x+n-1=0有两个相等的实数根,=(-6)2-4(n-1)=0,解得n=10.当n=10时,方程的两根是3和3,边长分别为3,3,2的三边能构成三角形,故n=10符合题意.故选B.,思路分析先确定等腰三角形中a、b的值,再由a、b为方程的根,确定n的值.,解题关键分类讨论等腰三角形的腰的情况并结合根与系数的关系求未知字母的值.,二、填空题(每小题4分,共8分),6.(2018湖南湘潭模拟,12)已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2,且+=3,则k的值为.,答案-2,解析由题意得x1+x2=-6,x1x2=k,又+=3,则=