北京市2013届高三数学 最新模拟试题分类汇编9 圆锥曲线 文 2.doc

北京2013届高三最新文科模拟试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 （2013北京海淀二模数学文科试题及答案）双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点.设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】B （2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（）ABCD【答案】D （2013届北京门头沟区一模文科数学）点P是以为焦点的椭圆上的一点,过焦点作的外角平分线的垂线,垂足为M点,则点M的轨迹是（）A抛物线B椭圆 C双曲线D圆xMyQPOF2F1【答案】D （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）双曲线的离心率为（）ABCD【答案】C （2013届北京大兴区一模文科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是（）A1B2CD【答案】B （2013届北京海滨一模文）抛物线的焦点为,点为抛物线上的动点,点为其准线上的动点,当为等边三角形时,其面积为（）AB4C6D【答案】D 共30分) 二、填空题（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）双曲线的一条渐近线方程为,则_.【答案】 （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_;渐近线方程为_.【答案】 （2013北京东城高三二模数学文科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于_.【答案】4; （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）以双曲线的右焦点为焦点,顶点在原点的抛物线的标准方程是_. 【答案】 （2013届北京大兴区一模文科）已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,实轴长为4,则双曲线的方程是_【答案】 （2013北京房山二模数学文科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为_,若点在抛物线上运动,点在直线上运动,则的最小值等于_.【答案】 （北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）设抛物线y2= 4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为Q,过点F作直线l交抛物线于A、B两点,若AQB=90o,则直线l的方程为_.【答案】 （2013届北京西城区一模文科）抛物线的准线方程是_;该抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,则_.【答案】,; 三、解答题（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分丨4分)已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.(I)求椭圆C的方程;(II)若直线交椭圆C于A,B两点,在直线上存在点P,使得 PAB为等边三角形,求的值.【答案】解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为 的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为 (II)设则 当直线的斜率为时,的垂直平分线就是轴, 轴与直线的交点为, 又因为,所以, 所以是等边三角形,所以直线的方程为 当直线的斜率存在且不为时,设的方程为 所以,化简得 所以 ,则 设的垂直平分线为,它与直线的交点记为 所以,解得,则 因为为等边三角形, 所以应有 代入得到,解得(舍), 此时直线的方程为 综上,直线的方程为或 （2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆C:()的右焦点为F(2,0),且过点P(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点.()求椭圆C的方程;()若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程.【答案】已知椭圆C:()的右焦点为F(2,0),且过点(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点. ()求椭圆C的方程; ()若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程. 解:()设椭圆C的方程为,则 ,解得,所以椭圆C的方程为, ()当斜率不存在时,不符合题意, 当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0), 由得, 因为, 所以, 所以, 因为线段AB的垂直平分线过点M(), 所以,即,所以, 解得, 所以直线l的方程为 或 （2013届北京西城区一模文科）如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.()若点的横坐标为,求直线的斜率;()记的面积为,(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由.【答案】()解:依题意,直线的斜率存在,设其方程为 将其代入,整理得 设,所以 故点的横坐标为. 依题意,得, 解得 ()解:假设存在直线,使得 ,显然直线不能与轴垂直. 由()可得 因为 , 所以 , 解得 , 即 因为 , 所以 所以 , 整理得 因为此方程无解, 所以不存在直线,使得 （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知椭圆C:,其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.()求椭圆C的离心率e; ()用m表示点E,F的坐标;()证明直线EF与y轴交点的位置与m无关.【答案】解:()依题意知,; (),M (m,),且, 直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=, 直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , 由得, 由得, ; ()据已知, 直线EF的斜率 直线EF的方程为 , 令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关 （北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）设椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,左焦点F1到直线:的距离等于长半轴长.(I)求椭圆C的方程; (II)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.【答案】 （2013届北京东城区一模数学文科）已知椭圆:的两个焦点分别为,离心率为,且过点.()求椭圆的标准方程;(),是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,且这两条直线互相垂直,求证:为定值.【答案】(共13分) ()解:由已知, 所以. 所以. 所以:,即. 因为椭圆过点, 得,. 所以椭圆的方程为. ()证明:由()知椭圆的焦点坐标为,. 根据题意, 可设直线的方程为, 由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为. 设,. 由方程组消得 . 则 . 所以=. 同理可得. 所以. （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知椭圆的离心率为,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为.()求椭圆的方程()设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),求证:直线与圆相切.【答案】解()由已知得,且 解得 又所以椭圆的方程为 ()证明:有题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为 ()当直线轴时,直线的方程为且 则 解得故直线的方程为 因此,点到直线的距离为 又圆的圆心为,半径 所以直线与圆相切 ()当直线不垂直于轴时,设直线的方程为 由 得 故 即 又圆的圆心为,半径 圆心到直线的距离为 将式带入式得 吗 所以 因此,直线与圆相切 （2013届房山区一模文科数学）已知椭圆和点,垂直于轴的直线与椭圆交于两点,连结交椭圆于另一点.()求椭圆的焦点坐标和离心率;()证明直线与轴相交于定点.【答案】()由题意知: 所以 所以,焦点坐标为; 离心率 ()由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为 , ,则, 由 得 则 (1) 直线AE的方程为, 令,得 (2) 又 , 代入(2)式,得 (3) 把(1)代入(3)式,整理得 所以直线AE与轴相交于定点 （2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知椭圆的离心率为且过点.(I)求此椭圆的方程;(II)已知定点,直线与此椭圆交于、两点.是否存在实数,使得以线段为直径的圆过点.如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.【答案】解:(1)根据题意, 所以椭圆方程为 (II)将代入椭圆方程,得,由直线与椭圆有两个交点,所以,解得. 设、,则,若以为直径的圆过点,则,即, 而=,所以 , 解得,满足. 所以存在使得以线段为直径的圆过点 （2013北京朝阳二模数学文科试题）已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.()求椭圆的方程;()过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,试求点到轴的距离;若不存在,请说明理由.【答案】解:()依题设,则,. 由,解得,所以.所以椭圆的方程为 ()依题直线的方程为. 由得. 设,弦的中点为, 则,所以. 直线的方程为, 令,得,则. 若四边形为菱形,则,.所以. 若点在椭圆上,则. 整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形. 此时点到的距离为 （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）已知椭圆过点,离心率为.()求椭圆的方程;()过点且斜率为()的直线与椭圆相交于两点,直线,分别交直线 于,两点,线段的中点为.记直线的斜率为,求证: 为定值.【答案】解:()依题得解得,. 所以椭圆的方程为 ()根据已知可设直线的方程为. 由得. 设,则. 直线,的方程分别为:, 令, 则,所以. 所以 （2013届北京大兴区一模文科）已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C.()求曲线C的方程;()若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求线段MN长度的最小值.【答案】解:()设,由题意知 ,即 化简得曲线C方程为: ()思路一 满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为, 由()知,所以,设直线方程为, 当时得点坐标为,易求点坐标为 所以=, 当且仅当时,线段MN的长度有最小值. 思路二:满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为, 联立方程: 消元得, 设, 由韦达定理得:, 所以,代入直线方程得, 所以,又 所以直线BQ的斜率为 以下同思路一 思路三:设,则直线AQ的方程为 直线BQ的方程为 当,得,即 当,得,即 则 又 所以 利用导数,或变形为二次函数求其最小值. （2013届北京海滨一模文）已知圆:,若椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为. (I)求椭圆的方程;(II)已知直线:,若直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点(其中点在线段上),且,求的值.【答案】解:(I)设椭圆的焦距为, 因为,所以 所以 所以椭圆: (II)设(,),(,) 由直线与椭圆交于两点,则 所以, 则, 所以 点()到直线的距离 则 显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾, 因为,所以 所以 解得,即 （2013北京东城高三二模数学文科）已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是. ()求椭圆的方程; ()若直线交椭圆于不同的两点,且,都在以为圆心的圆上,求的值.【答案】(共13分)解() 因为,所以 . 因为原点到直线:的距离,解得,. 故所求椭圆的方程为. () 由题意消去 ,整理得 . 可知. 设,的中点是, 则,. 所以. 所以. 即 . 又因为, 所以.所以 （2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知椭圆()的焦点坐标为,离心率为.直线交椭圆于,两点.()求椭圆的方程; ()是否存在实数,使得以为直径的圆过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】()由, 得, 所以椭圆方程是: ()设, 则, 将代入,整理得(*) 则 以PQ为直径的圆过,则,即 解得,此时(*)方程,所以 存在,使得以为直径的圆过点 （2013届北京门头沟区一模文科数学）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且离心率为.(I)求椭圆的标准方程;(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若,求的面积.【答案】解:(I)设椭圆方程为, 由,可得, 既所求方程为 (II)设, 由有 设直线方程为,代入椭圆方程整理,得 解得 若, 则 解得 又的面积 答:的面积是 （2013届北京市延庆县一模数学文）在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交椭圆于两点,且的周长为.过定点的直线与椭圆交于两点(点在点之间).() 求椭圆的方程;()设直线的斜率,在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.【答案】 解:()设椭圆的方程为,离心率, 的周长为, 解得,则, 所以椭圆的方程为 ()直线的方程为, 由,消去并整理得(*) ,解得, 设椭圆的弦的中点为,则“在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在