初三数学开放与探索总复习

1 / 12 初三数学开放与探索总复习 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 专题三 开放与探索 开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐题型以填空题、解答题为主 考向一 条件开放问题 条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的 【例 1】如图，已知 AcBD 于点 P， AP cP，请增加一个条件：使 ABPcDP( 不能添加辅助线 )，你增加的条件是_ 解析：要证明 ABPcDP ，已经给出了两个条件： AP cP，AcBD( 即 APB cPD 90) ，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边 答案： A c ， B D ， ABcD ， BP DP， AB cD (任2 / 12 选其中一个 ) 方法归纳解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件 考向二 结 论开放问题 结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性 【例 2】 (XX 广东河源 )如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点P 是 AB 上的动点 (P 不与 A， B 重合 )，分别以 AP， PB 为边向线段 AB 的同一侧作正 APc 和正 PBD (1)当 APc 与 PBD 的面积之和取最小值时， AP_.(直接写结果 ) (2)连接 AD， Bc，相交于点 Q，设 AQc ，那么 的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由 (3)如图 2，若点 P 固定，将 PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转(旋转角小于 180) ，此时 的大小是否发生变化？ (只需直接写出你的猜想，不必证明 ) 图 1 图 2 分析： (1)设等边 APc 边长为 x，高为 32x，则面积为 34x2，则等边 BDP 边长为 2a x，高为 32(2a x)，则面积为 34(2a x)2， 3 / 12 面积之和为 S 34x2 34(2a x)2 32x2 3ax 3a2，这是一个二次函数的最值问题 当 x a 时， S 最小 32a2. (2)判别 的大小是否会随点 P 的移动而变化，只需计算AQc (3)根据 (2)证明过程或直观 可得结论 解： (1)a (2) 的大小不会随点 P 的移动而变化 理由： APc 是等边三角形， PA Pc， APc 60. BDP 是等边三角形， PB PD， BPD 60 ， APc BPD ， APD cPB ， APDcPB ， PAD PcB QAP QAc AcP 120 ， QcP QAc AcP 120 ， AQc 180 120 60. (3)此时 的大小不会发生改变，始终等于 60. 方法归纳解答本题将等边 三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求 考向三 条件与结论开放问题 4 / 12 条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系 【例 3】 (1)如图 1，在正方形 ABcD 中， m 是 Bc 边 (不含端点 B， c)上任意一点， P 是 Bc 延长线上一点， N 是 DcP 的平分线上一点若 AmN 90 ，求证： Am mN. 下面 给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明 证明：在边 AB 上截取 AE mc，连接 mE.正方形 ABcD 中， B BcD 90 ， AB Bc Nmc 180 AmN AmB 180 B AmB mAB mAE. (下面请你完成余下的证明过程 ) 图 1 图 2 (2)若将 (1)中的 “ 正方形 ABcD” 改为 “ 正三角形 ABc”( 如图 2)， N 是 AcP 的平分线上一点，则当 AmN 60 时，结论 Am mN 是否还成立？请说明理由 (3)若将 (1)中的 “ 正方形 ABcD” 改为 “ 正 n 边形ABcDX” ，请你作出猜想：当 AmN _时，结论Am mN 仍然成立 (直接写出答案，不需要证明 ) 5 / 12 分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等 (1)中给出了线段 Em，即想提示考生证明AEmmcN. 由题目中的条件知，只需再找一角即可 (2)中解法同 (1)，在 AB 上构造出线段 AE mc，连接 mE.进一步证明 AEmmcN.(3) 是将 (1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质： AmN 与正多边形的内角度数相等 解： (1)AE mc， BE Bm， BEm EmB 45 ， AEm 135. cN 平分 DcP ， PcN 45 ， AEm mcN 135. 在 AEm 和 mcN 中， AEm mcN ， AE mc， EAm cmN ， AEmmcN ， Am mN. (2)仍然成立 在边 AB 上截取 AE mc，连接 mE. ABc 是等边三角形， AB Bc， B AcB 60 ， AcP 120. AE mc， BE Bm， BEm EmB 60 ， A Em 120. cN 平分 AcP ， PcN 60 ， 6 / 12 AEm mcN 120. cmN 180 AmN AmB 180 B AmB BAm ， AEmmcN ， Am mN. (3)(n 2)180n. 方法归纳解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断 一、选择题 1如图，在网格中有一个直角三角形 (网格中的每个小正方形的边长均 为 1 个单位长度 )，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有 ( ) A 4 个 B 6 个 c 7 个 D 9 个 2根据图 1 所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象 (如图2)，过点 m 作 PQx 轴交图象于点 P， Q，连接 oP， oQ.则以下结论 x 0 时， y 2x， 7 / 12 oPQ 的面积为定值， x 0 时， y 随 x 的增大而增大， mQ 2Pm， P oQ 可以等于 90. 图 1 图 2 其中正确的结论是 ( ) A B c D 二、填空题 3在四边形 ABcD 中， AB Dc， AD Bc请再添加一个条件，使四边形 ABcD 是矩形你添加的条件是 _ (写出一种即可 ) 4若关于 x 的方程 x2 mx 3 0 有实数根，则 m 的值可以为 _ (任意给出一个符合条件的值即可 ) 三、解答题 5如图，将 ABc 的顶点 A 放在 o 上，现从 Ac 与 o 相切于点 A(如图 1)的位置开始，将 ABc 绕着点 A顺时针旋转，设旋转角为 (0AB)，将纸片折叠一次，使点 A 与点 c 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 Bc 边于点 F，分别连接 AF 和 cE. (1)求证：四边形 AFcE 是菱形； 9 / 12 (2)若 AE 10cm， ABF 的面积为 24cm2，求 ABF 的周长； (3)在线段 Ac上是否存在一点 P，使得 2AE2 AcAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由 8已知：二次函数 y x2 bx 3 的图象经过点 P( 2,5) (1)求 b 的值，并写出当 1 x3 时 y 的取值范围 (2)设点 P1(m， y1)， P2(m 1， y2)， P3(m 2， y3)在这个二次函数的图象上 当 m 4 时， y1， y2， y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由 当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1， y2， y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由 参考答案 专题提升演练 1 c 以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选 c. 2 B 根据图中所示程序，可得 y 与 x 的函数关系式为 y 2x(x0)，易知 错误； PQx 轴， 点 P 在 y 2x 上， SPom 12omPm 12|k| 1，同理可得 SQom 2， SPoQ SPom SQom 1 2 3，10 / 12 正确；当 x 0 时， y 4x， y 随 x 的增大而减小， 错误；设 om a，当 y a 时， P 点的横坐标为 2a， Q 点的横坐标为 4a，则 Pm 2a， mQ 4a，则 mQ 2Pm， 正确；当点 m 在 y 轴的正半轴上由下向上运动时， PoQ 由 180逐渐变小至 0 ， PoQ 可以等于 90 ， 正确 3 A 90 或 B 90 或 c 90 或 D 90 或 AcBD(答案不唯一，写出一种即可 ) 由已知条件 AB Dc， AD Bc，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使 ABcD 是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等 4答案不唯一，所填写的数值只要满足 m212 即可，如 4等 由于这个方程有实数根，因此 b2 4ac ( m)212 m2 120 ，即 m212. 5解： (1) (2) 90. 依题意可知， AcB 旋转 90 后 Ac 为 o 直径，且点 c 与点 E 重合，因此 AFE 90.Ac 8， BAc 60 ， AF 12Ac 4， EF 43， SAEF 12443 83. 6解： (1)HGA HAB (2)由 (1)可知 AGcHAB ， cGAB AcBH，即 x9 9y， 11 / 12 y 81x. (3)由 (1)知 AGcHGA. 要使 AGH 是等腰三角形，只要 AGc 是等腰三角形即可 有两种情况， (1)cG 为底， Ac AG 时，得 AG 9，此时 cG等于 92， (2)cG 为腰， cG AG 时，此时 cG 922. 7解： (1)证明：由折叠可知 EFAc ， Ao co. ADBc ， EAo Fco ， AEo cFo. AoEcoF. Eo Fo. 四边形 AFcE 是菱形 (2)由 (1)得 AF AE 10. 设 AB a， BF b，得 a2 b2 100 ， ab 48. 2 得 (a b)2 196，得 a b 14(另一负值舍去 ) ABF 的周长为 24cm. (3)存在，过点 E 作 AD 的垂线交 Ac 于点 P，则点 P 符合题意 证明： AEP AoE 90 ， EAP oAE ， AoEAEP. 12 / 12 AoAE AEAP ，得 AE2 AoAP ，即 2AE2 2AoAP. 又 Ac 2Ao， 2AE2 AcAP. 8解： (1)把点 P 代入二次函数解析式，得 5 ( 2)2 2b 3，解得 b 2. 所以二次函数解析式为 y x2 2x 3. 当 x 1 时， y 4，当 x 3 时， y 0， 所以当 1 x3 时， y 的取值范围为 4 y0. (2)m 4 时， y1， y2， y3 的值分别为 5,12,21