高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.2分析法课件新人教版.pptx

主题分析法证明不等式:成立,可用下面的方法进行.证明:要证明由于只需证明,展开得只需证明67,显然67成立.所以成立.,据上面的内容,回答下列问题:(1)本题证明从哪里开始?提示:从结论开始.(2)证题思路是什么?提示:寻求每一步成立的充分条件.,结论:1.分析法的定义一般地,从要证明的_出发,逐步寻求使它成立的_,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个_的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法,又叫逆推证法或执果索因法.,结论,充分条件,明显成立,2.分析法的流程其中Q表示要证明的结论,P1,P2,P3,P分别表示使Q,P1,P2,Pn成立的_条件,P表示最后寻求到的一个明显成立的条件.,充分,【微思考】1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示:分析法的推理过程是演绎推理,因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理,从而得到的结论都是正确的,不同于合情推理中的猜想.,2.分析法的证题思路是什么?提示:分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知,即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发,一步一步探索下去,最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件,或者是可以证明的条件.,3.分析法证题的模式一般是什么?提示:“要证”“只需证”“即证”的语言模式.,【预习自测】1.证明不等式,比较适合的方法是()A.综合法B.分析法C.放缩法D.反证法,【解析】选B.由于题目不容易找到证明的突破口,故最合理的不是综合法,本题使用“执果索因”法,故适合的方法为分析法.,2.在不等边ABC中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,对三边a,b,c应满足的条件,判断正确的是()A.a2b2+c2D.a2b2+c2,【解析】选C.要想得到A为钝角,只需cosA0,因为cosA=,所以只需b2+c2-a20,即b2+c2a2.,3.补充下面用分析法证明基本不等式ab的步骤:要证,只需证a2+b22ab,只需证_,只需证_.由于_显然成立,因此原不等式成立.,【解析】要证ab,只需证a2+b22ab,只需证a2+b2-2ab0,只需证(a-b)20,由于(a-b)20显然成立,因此原不等式成立.答案:a2+b2-2ab0(a-b)20(a-b)20,【补偿训练】当a2时,求证:【证明】要证只需证只需证只需证只需证,只需证(a+1)(a-2)a(a-1),即证-20),而证明的结论比较复杂，这时我们一般采用分析法.,【证明】要证只要证因为a0,故只要证即从而只要证,只要证即证而上述不等式显然成立,故原不等式成立.,【方法总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明,经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明,常用分析法.,(3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.,【拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别(1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知,由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为:因为,所以,所以所以成立.,(2)分析法证明问题时,是从“未知”看“需知”,执果索因逐步靠拢“已知”,通过逐步探索,寻找问题成立的充分条件,它的证明格式:要证,只需证明,只需证因为成立,所以成立.,【巩固训练】1.若a,b,c是不全相等的正数,求证:,【证明】要证只需证只需证(中间结果),因为a,b,c是不全相等的正数,则且上述三式中的等号不全成立,所以(中间结果)所以,2.已知非零向量ab,求证:,【解题指南】本题含有绝对值符号,可用分析法通过变形、平方证明.,【证明】因为ab,所以ab=0.要证,只需证|a|+|b|a-b|,平方得|a|2+|b|2+2|a|b|2(|a|2+|b|2-2ab),只需证|a|2+|b|2-2|a|b|0成立,即证(|a|-|b|)20,显然成立.故原不等式成立.,类型二分析法证明其他问题【典例2】求证:以过抛物线y2=2px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x=-相切.,【解题指南】,【证明】如图所示,过点A,B分别作AA,BB垂直准线于点A,B,取AB的中点M,作MM垂直准线于点M,要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM|=|AB|.,由抛物线的定义有|AA|=|AF|,|BB|=|BF|,所以|AB|=|AA|+|BB|,因此只需证|MM|=(|AA|+|BB|).根据梯形的中位线定理可知上式是成立的,所以以过抛物线y2=2px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x=-相切.,【方法总结】分析法证明问题的两个关键点(1)利用分析法证明时,在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少,否则会出现错误.(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向,使问题顺利获解.,【巩固训练】(2017深圳高二检测)已知三角形的三边长为a,b,c,其面积为S,求证:,【证明】要证只需证a2+b2+(a2+b2-2abcosC)2absinC,即证a2+b22absin(C+30),因为2absin(C+30)2ab,只需证a2+b22ab.显然上式成立.所以a2+b2+c24S.,类型三综合法与分析法的综合应用【典例3】已知a,b,c表示ABC的三边长,m0,求证:,【解题指南】根据在ABC中任意两边之和大于第三边,再利用分析法与综合法结合证明不等式成立.,【证明】要证明只需证明即可,所以因为a0,b0,c0,m0,所以(a+m)(b+m)(c+m)0.,因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2.因为ABC中任意两边之和大于第三边,所以a+b-c0,所以(a+b-c)m20,所以2abm+abc+(a+b-c)m20,所以,【延伸探究】1.本例增加条件“三个内角A,B,C成等差数列”,求证:,【证明】要证,即证即证即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.因为ABC三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60.由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60,即b2=c2+a2-ac.所以c2+a2=ac+b2成立,即命题得证.,2.证明:【证明】要证只需证a+b+(a+b)c(1+a+b)c.即证a+bc.而a+bc显然成立.所以,【方法总结】综合法、分析法的应用(1)综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手易于寻找解题思路.(2)在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.,(3)在实际解决问题中,先分析由条件能产生什么结论,再分析要产生需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程.,【补偿训练】(2017沈阳高二检测)已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:,【证明】方法一:(综合法)当a=b=c时,取等号,所以不等式成立.,方法二:(分析法)要证成立,只需证成立.因为a+b+c=1,所以只需证成立,即