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合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 本科生毕业论文（设计） 题目： 基于马尔科夫场的图像去噪研究基于马尔科夫场的图像去噪研究 系 部 电子信息工程学院 学科门类 工学 专 业 电子信息工程 学 号 0808211026 姓 名 叶铭 指导教师 沈晶 2012 年 4 月 17 日 装 订 线 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 基于马尔可夫场的图像去噪方法研究 摘 要 随着数字图像处理技术的普及，应用范围的扩展，图像处理越来越受到人们的 关注并且不断发展。在许多科技领域对于图像质量的要求也越来越高，而噪声是影 响图像质量的主要因素，因此图像去噪是图像处理的首要任务，对于图像处理后续 工作的顺利进行有很重要的现实意义。 近年来，图像去噪无疑也是图像处理领域的研究热点。针对图像噪声的去除， 研究人员经过多阶段的研究提出了很多有效的，经过实验结果分析证明的方法，当 然任何一种去噪方法都不可能完全地去除图像中的噪声，完整恢复图像，然而研究 人员一直都在原有的去噪方法基础上逐步突破其局限性，完善去噪的方法，以期能 得到更好的去噪效果，提高去噪的质量。 本课题是基于马尔可夫随机场图像去噪方法的研究，马尔可夫随机场拥有其在 图像处理领域的独特优势，有着完备的数学基础和优化算法支持，因此它在去噪上 的应用受到越来越多的关注。本论文将马尔可夫随机场模型和贝叶斯框架相结合， 运用完备的算法框架，对图像进行去噪。实现并分析了 Membrane MRF（MMRF）和 Gaussian MRF（GMRF）这两种模型，并针对 GMRF 模型去噪结果中出现的个别很小区 域不滤波的现象，提出了迭代因子的方法解决了这一问题。MMRF 和 GMRF 模型是最常 用的两种模型。但这两种模型都无法辨别图像边缘处相邻像素点之间的差异，不能 很好地描述边缘处像素值具有陡变特性的图像结构特征，导致去噪过程中图像边缘 的模糊。针对这一问题，在优化中提出了基于区域分割的自适应邻域 MMRF，该模型 是在图像区域分割后，将不属于同一区域的邻域点不参与运算，避免图像边缘处相 邻像素点之间的相互影响从而有效地保护图像的边缘。实验结果表明，相比于传统 的 MMRF 模型，自适应邻域 MMRF 模型对图像的边缘保持有明显的提高。 关键词：数字图像 去噪 MRF 贝叶斯框架 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） ABSTRACT With the popularity of digital image processing technique and the expansion of its application scale,image processing is being paid more and more attention and has acquired continuous development. In science and technology, requirements of image quality are increasingly high, and noise is the main factor which affects the quality of image. So the image denoising is the primary task of image processing. Image denoising has very important practical significance for image processing. Recently, image denoising can surely be the main point of the research in the field of image processing. In image noise removal, researchers provided a lot of effective method of denoising after much research and the analysis of experimental results. Of course, any kind of denoising method cannot completely remove the noise of the image and recover the whole image, but researchers have developed denoising method based on its limitations, hoping to get better denoising result and improve denoising quality. This topic is based on Markov Random Field for image denoising .Markov Random Field has its advantage in image processing area. It has the unique advantage of possessing the mathematical foundation and complete support, so it has being paid more and more attention. This thesis will combine Markov Random Field with Bayesian framework and use complete algorithm framework to fulfill image denoising.This article put forward and realized two common MRF models (MMRF and GMRF). And denoising results of the GMRF model disappear in small area of the image, so the article put forward the iterative method to solve the problem. MMRF and GMRF are the most commonly used models. But these two kinds of models are unable to discern the image edge and the difference between adjacent pixels, leading to the fuzzy image edge. In this paper, the adaptive neighborhood MMRF is based on the regional division .The point which is not belong to the same area field doesnt participate in each other.This model will effectively protect the edge of image. Keywords: Digital Image denosing MRF Bayesian framework 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 目目 录录 第一章 绪论 .1 1.1 课题的研究背景及意义.1 1.2 国内外研究现状.1 1.3 图像噪声及图像去噪方法.2 1.3.1 图像噪声.2 1.3.2 图像去噪方法.3 1.4 论文研究目标及内容.4 1.5 论文结构安排.4 第二章 马尔可夫随机场理论（MRF） .6 2.1 马尔可夫随机场（MRF）和吉布斯（Gibbs）分布 .6 2.1.1 邻域系统和基团（Cliques）.6 2.1.2 Markov 随机场 .7 2.1.3 Gibbs 随机场（GRF）.8 2.1.4 MRF 与 GRF 的等价关系 .9 2.2 MRF 模型 .10 2.2.1 Auto 模型 .10 2.2.2 Multi-level Logistic (MLL)模型.11 2.2.3 Membrane MRF（MMRF）模型.11 2.2.4 Gaussian MRF（GMRF）模型.12 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 第三章 基于 MRF 的图像去噪 .13 3.1 贝叶斯估计理论.13 3.2 MAP-MRF 框架 .14 3.3 MAP-MRF 框架下的图像去噪 .14 3.3.1 特征模型.14 3.3.2 先验模型.15 3.4 算法流程图.16 3.5 优化算法.16 3.5.1 条件迭代模型算法(Iterated Conditional Modes,ICM).16 3.5.2 模拟退火算法(Simulated Annealing,SA).17 参考文献 .24 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 1 第一章 绪论 1.1 课题的研究背景及意义 随着数字图像处理技术的普及，应用范围的扩展，图像处理越来越受到人们的 关注并且不断发展。在许多科技领域对于图像质量的要求也越来越高，然而在采集、 获取、编码和传输图像的过程中，图像均或多或少受到噪声的“污染” 。 而噪声是 影响图像质量的主要因素，噪声不但影响了图像本身的视觉效果，也妨碍了人们对 它的正常识别，因此图像去噪已成为图像处理中的首要任务，对于图像处理后续工 作的顺利进行有很重要的现实意义。 在数字图像处理的各项技术中，图像去噪是其中最基础的、核心的技术，许多 图像处理技术都建立在图像去噪的基础之上，因此图像去噪一直是数字图像处理研 究领域的热点，针对图像噪声的去除，研究人员经过多阶段的研究提出了很多有效 的，经过实验结果分析证明的方法，当然任何一种去噪方法都不可能完全地去除图 像中的噪声，完整恢复图像，然而研究人员一直都在原有的去噪方法基础上逐步突 破其局限性，完善去噪的方法，以期能得到更好的去噪效果，提高去噪的质量。图 像去噪是图像处理中的病态问题，解决病态有两个途径：1、正则化方法 2、马尔可 夫随机场方法。其中马尔可夫随机场模型(Markov random Field, MRF)1方法是以 能量函数的形式对去噪问题进行软正则化处理。马尔可夫随机场是马尔可夫过程在 空间上的一种延伸，它认为在空间中某点的属性与其周围点的属性之间具有相互依 赖关系，而与其他点无关。该特性即反映了图像的随机性，同时也反映了图像的潜 在结构，可以有效地描述图像的性质。基于马尔可夫场的方法已经在图像去噪、分 割、分类中有着广泛的应用。 1.2 国内外研究现状 基于 MRF 的图像去噪，是建立在 MRF 图像模型和 Bayes 估计2的基础上，提供 了为内容相关项建模的途径，结合实际的观测图像，按照统计决策和聚集理论中的 最优准则寻求问题的解，同时能克服正则化方法的不足。基于 MRF 的图像去噪最重 要的是建立马尔可夫图像模型，1920 年，随着 Ising Model 的提出，马尔可夫随机 场模型(Markov random Field, MRF)作为一种新的随机过程理论受到了广泛地关注， 其应用领域也不再仅仅局限于统计物理模型。1965 年 Abend Etal 开始研究马尔可夫 随机场模型，但直到七十年代末，Harsher 等人才真正利用马尔可夫随机场模拟出各 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 2 种图像，特别是纹理图像。自从 1984 年，S. Geman 和 D. Geman 发表了著名的文献 Gibbs Distributions and the Bayesian Restoration of Images.，将吉布斯分布 和模拟退火算法引入图像降噪复原以来，MRF 的研究得到深入的发展。目前常用典型 的马尔可夫模型有 Auto（Auto- logistic）模型，MLL (Multi-level Logistic)模 型（Auto 模型可看成是 MLL 模型特例） 。后来研究者提出了两种经典的 MRF 模型，即 Membrane MRF（MMRF）和 Gaussian MRF（GMRF）模型，利用 MMRF 模型进行贝叶斯 去噪可以在很大程度上降低算法的复杂度，提高算法的效率，但是 MMRF 去噪会使得 点、线、边缘等结构模糊化。针对以上两种 MRF 模型不能很好地保持边缘结构， Roth S 等人在 FRAME（Filter, Random fields And Maximum Entropy）模型的基础 上提出了一种通过通过学习得到先验知识方法框架。随后在这个框架下产生了很多 MRF 模型。该类方法去噪效果较好，但算法复杂度偏高。基于块间相似性的图像去噪 方法是近年来研究热点。Ming Liu 利用块间相似性来描述邻域像素之间的关系建立 MRF 模型。该方法在去除噪声的同时能较好的保持图像的细节，但在每次迭代过程需 要在全局计算图像块的相似性，算法非常耗时。 1.3 图像噪声及图像 去噪方法 1.3.1 图像噪声 任何一幅原始图像，在其获取，传输的过程中，或多或少的都会遭受到噪声的 污染，使得图像模糊，质量下降，不利于分析。噪声可以理解为“妨碍人们感觉器 官对所接收的信源信息理解的因素” 。 1.图像噪声1的特点： （1）叠加性：在图像的串联传输系统中，各个串联部分引起的噪声就有叠加效 应，使信噪比下降； （2）分布和大小不规则：由于噪声在图像中是随机出现的，所以其分布和幅值 也是随机的； （3）噪声与图像之间具有相关性：通常情况下，摄像机的信号和噪声相关，明 亮部分噪声小，黑暗部分噪声大。数字图像处理技术中存在的量化噪声与图像相位 有关。 2.图像噪声的分类： 噪声按其产生的原因可以分为外部噪声和内部噪声。外部噪声的来源主要是指系 统外部干扰以电磁波或经电源串进系统内部而引起的噪声。如电气设备，天体放电 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 3 现象等引起的噪声。内部噪声则是由光和电的基本性质所引起的噪声，电器的机械 运动引起的噪声，元器件材料本身引起的噪声，系统设备内部引起的噪声。 需要指出的是。噪声分类方法不是绝对的，按不同的性质有不同的分类方法。例 如，从统计特性看，图像噪声可分为平稳噪声和非平稳噪声，其中统计特性不随时 间变化的噪声是平稳噪声，统计特性随时间变化的噪声是非平稳噪声。根据噪声与 信号之间的关系，可分为加性噪声和乘性噪声。理论上加性噪声分析方法成熟，且 处理比较方便；而乘性随机噪声处理方法目前还没有成熟的理论，并且处理起来非 常复杂。一般条件下，现实生活中所遇到的绝大多数图像噪声均可以认为是加性噪 声。所以本文在对 MRF 图像去噪研究中都是以加性高斯白噪声为模型的。 1.3.2 图像去噪方法 现在的研究人员对于图像噪声的处理方法主要包括： 1、空间域法和变换域法。空间域法的原理是在原图像上直接进行数据运算，对 像素的灰度值进行处理，包括邻域平均法、空间域低通滤波法、多幅图像平均法和 中值滤波法。而变换域法则是对图像进行某种变换，将图像从空间域转换到变换域， 对变换域中的系数进行处理，再进行反变换将图像从变换域转换到空间域，来达到 去除噪声图像的目的，包括基于离散傅里叶变换的频率域低通算法,以及小波变换和 基于小波变换的图像去噪算法。 2、偏微分方程(PDE)方法。偏微分方程，经过十几年的发展成为继小波以后的 图像处理领域又一强有力的工具。偏微分方程已应用于数字图像处理和计算机视觉 的许多方面，如图像去噪、图像分割、运动物体跟踪、边缘检测、图像修复、图像 锐化、对比度增强、图像量化等，并取得了很好的处理效果。用偏微分方程进行图 像处理的基本思想是以被处理图像为方程初始值，用偏微分方程模型对初始图像进 行求解，方程的解就是我们需要得到的处理结果。 3、基于随机场的去噪方法。本文就是基于 MRF 的图像去噪方法的研究，这里不 做详述。 目前所提出的各种去噪算法，都只能对某一类型的图像起到较好的效果。下面 介绍几种常见的去噪方法： 1.均值滤波：对一些图像进行线性滤波可以去除图像中某些类型的噪声，一种 典型的低通滤波器均值滤波器，它的输出是当前像素邻域内像素点间的简单平均 值，均值滤波降低了图像灰度的阶跃性，但会使图像边缘模糊。 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 4 2.中值滤波：中值滤波是滤波器窗口中各像素按灰度值大小顺序排序，然后用 处于中间位置的像素灰度值代替位于窗口中心的像素灰度值，因此对脉冲噪声（椒 盐噪声）有很明显的效果，而对较为常见的高斯噪声并不能有效地去除，因为它并 不具有平均作用，在滤除诸如高斯噪声等非冲激噪声时会严重损失图像的边缘结构 信息，造成图像边缘细节模糊化。 3.小波去噪：近年来，小波理论得到了迅速的发展，而且由于其具备良好的时 频局部化能力和多分辨率分析能力，因而在图像处理各领域的实际应用非常广泛， 在去噪领域中，小波理论深受许多学者的重视，他们应用小波变换进行去噪，获得 了非常好的效果。一幅图像经小波变换后，其小波系数在各尺度上有较强的相关性， 尤其是在信号的边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度上却 没有这种明显的相关性。因此，利用小波系数在不同尺度上对应点处的相关性来区 分系数的类别可以达到去噪的目。基于小波变换的图像去噪方法能在降低图像噪声 的同时，较好的保持图像的边缘特征。 1.4 论文研究目标及内容 本论文的研究目标是构建合适的 MRF 模型，对含噪图像进行处理，去除或是减 少图像的噪声，并且通过评价指数的实验结果分析 MRF 模型的优势以及亟待研究的 内容。本论文的研究内容是基于马尔可夫随机场的去噪方法的研究，基于马尔可夫 随机场的方法中，近年来研究人员提出了很多模型，其中基于平滑模型和基于高斯 马尔可夫模型较为常见。本课题首先从平滑模型着手，通过对平滑模型的研究和分 析，编写程序，结合得出的实验结果（包括图像和相关的指数数据）找寻较好的去 噪模型，以此构建能准确描述图像统计特性的概率模型；之后则是尝试用其他的马 尔可夫场模型对图像去噪方法进行研究，以期能找到更好的去噪模型，并且对图像 去噪各方面有更深的理解和探究。 1.5 论文结构安排 本论文共分为五章， 第一章：绪论。介绍了数字图像处理技术的应用特点，课题的研究背景及意义， 国内外研究现状，图像噪声， 图像去噪方法回顾，以及本论文的研究目标及内容。 第二章：介绍基于马尔可夫随机场。包括 MRF 和吉布斯（Gibbs）分布，其中有 邻域系统和基团，Markov 随机场，Gibbs 随机场，MRF 与 GRF 的等价关系；MRF 模型， 介绍了 Auto 模型，Membrane MRF（MMRF）模型，Gaussian MRF（GMRF）模型， 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 5 FRAME 模型。 第三章：介绍基于 MRF 的图像去噪，包括有贝叶斯估计理论，MAP-MRF 框架，去 噪算法描述，算法流程图，优化算法。 第四章：实验的结果分析。包括去噪结果评价，实验数据，实验结果，实验的 分析及讨论。 第五章：总结。 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 6 第二章 马尔可夫随机场 理论（MRF） 数字图像信号处理可以分为确定性的分析方法和统计分析方法。采用统计的方 法分析和处理图像，就要对图像建立相应的模型。目前，人们己经广泛研究了马尔 可夫随机场在图像复原、分割、纹理分析、边缘检测等领域的应用。本章将介绍马 尔可夫随机场和吉布斯分布的相关概念，以及在图像处理中常用的模型。 2.1 马尔可夫随机场 （MRF）和吉布斯（ Gibbs）分布 2.1.1 邻域系统和基团（ Cliques） 邻域系统：设，如果对任意的 |( , ), ijij Mmi jNN mNN ，满足 ( , ), ij i jNN mNN （l) ，即任何一点都不属于自己的邻域; ( ,) ij i jm （2)如果，那么，即邻域关系是对称的。 ( , ) ij k lm( ,) kl i jm 那么称为(i,j)的一个邻域，M 就是的一个邻域系统。 ij m NN 图 2.1 是 MRF 图像模型中的一阶邻域，在已设图像中坐标为（i,j）的像素点的 邻域包括的是点（i,j-1）,(i-1,j),(i,j+1),(i+1,j)。为了表达像素之间的作用距 离 ，引入基团(clique)的概念。 基团（cliques）：设 M 是的一个邻域系统，c 是与 M 有关的上的一 NNNN 个子集，如果有 （1）c 由单个像元(平面上的点)组成，或者 （2）如果，就得到 ( , )( , )i jk l( , )i jc( , )k lc( , ) kl i jm 那么称 c 是与 M 有关的一个基团，M 上所有的基团记为 C。 图 2. 1 一阶邻域系统 图 2.2 是一阶邻域系统的基团。 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 7 图 2. 2 一阶邻域系统基团 在本课题中构建的其中一个模型就是二阶邻域系统的 MRF 的一阶平滑模型，图 2.3 是 MRF 图像模型中的二阶邻域，在已设图像中坐标为(i,j)的像素点的邻域包括的像 素点是(i,j-1)，(i-1,j)，(i,j+1)，(i+1,j)，(i-1,j-1)，(i-1,j+1)，(i+1,j-1) (i+1,j+1),图 2.4 是二阶邻域系统的基团 图 2. 3 二阶邻域系统 图 2. 4 二阶邻域系统基团 本文是对 MRF 图像去噪方法的研究，由于数字图像在计算机中采用二维矩阵表 示和存储，所以对任意一个灰度图像我们都可以把它看做一个二阶规则的邻域系统， 在这里我们就不讨论不规则的邻域系统。 2.1.2 Markov 随机场 马尔可夫随机场（Markov Random Field）现今得到了很大的发展，运用于图像 恢复，图像分割，目标检测等方面。MRF 是一种描述元素间相互作用的数学模型，马 尔可夫随机场是马尔可夫链在空间上的拓展，马尔科夫链中的马尔可夫性，指的是 一个随机变量序列按时间先后关系依次排 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 8 开的时候，第 N+1 时刻的分布特性，与 N 时刻以前的随机变量的取值无关，而马尔 可夫随机场则是拓展到空间上的某一元素点的概率分布只与它周围的元素点有关。 一维马尔可夫随机过程描述的是随机过程中某点的状态只与该点之前的一个点的状 态有关系，二维 MRF 的平面网格结构描述的是图像中像素之间的空间相关性。因此 对于定义在二维空间上的图像，也可以将它看为一个二维马尔可夫随机场,此时必须 考虑空间的关系,MRF 使用图像中的概念表示二维平面上的随机场。 二维马尔可夫随机场：设是二维方格上的随机场, ,NjiXX ij NN 是邻域系统，则如果对于一切有 ,),(NNmNNjimM ijij NNji),( ，就称 X 是关于邻域系统 ,|),(),( ,),( ,| ijklijklij mlkXXplkjiNNjiXXp M 的二维马尔可夫随机场（MRF） 。 设一幅 NN 图像的像点集为 X=x=(i,j);1iN,1jN，MRF 认为图 像具有以下性质： （1）正概率性，即图像像素的联合概率为 ：;P Xx0,xX （2）马尔可夫性，即满足以下等式： (2.1) 是中心像素点，是除去中心像素点的其他像素点的集合，是中心像 xsXr sN 素点的邻域系统。等式的含义是中心像素点的概率分布只与它周围邻域的概率分布 相关，而与图像范围内邻域以外的其他像素点无关，表明了 MRF 的局部特性。 2.1.3 Gibbs 随机场（GRF） 对图像点集 S 的 d 阶邻域系统，基团 c 是指 cS，且满足： i （1）c 是由单点集构成的； （2）任何 rs，rc，sc，则 s。 i 记 C 为所有可能的基团 c 的集合，则定义在 S 上的随机场关于邻域系统具有 i Gibbs 分布或者说是 Gibbs 随机场是指它的概率分布具有如下的形式： (2.2) TxU Z xXP/exp 1 式中：U(x)为能量函数， (2.3) U xVc x T 表示温度，它反映了吉布斯模型的物理学背景。温度愈高，系统愈不稳定，噪 声水平越高：在图像上则表现出短距离的相关性，即图像由小尺度的结构所支配， 较低的温度则反之。在应用过程中可将 T 视为常量，在没有特殊说明的情况下 T 为 )(,|(),|(sNrxXxXpSrsrxXxXp rsssrrss 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 9 1。Vc(x)为关于基团c的势函数： (2.4) - ( ( ) ij c cx Vx 如果中所有的相同） （其他） 上式中表示相应与某种基团指定的参数；Z 是归一化因子，称为分割函数且 x T xU eZ )( （2.5） 对于点集 S 的邻域系统，随机变量集 Z 为关于的马尔可夫随机场等价于其 i i 概率分布 P(X=x)。有了这个结论，我们便可以通过计算 Gibbs 分布的能量函数来求 出 MRF 的条件概率。吉布斯模型和马尔可夫模型的不同之处在于吉布斯模型是从联 合概率的角度描述了随机场。 2.1.4 MRF 与 GRF 的等价关系 近些年来，随着数学各分支在理论和应用上的逐步深入，使得数学形态学，模 糊数学，变分法，随机场理论等在图像处理技术应用中取得很大进展。MRF 理论这种 分析物理现象的空间或时间相关特性的概率理论，对它的研究早在上世纪 60 年代就 已经开始了，但是直到 70 年代初期才获得了重要的实质性进展，即发现了 Gibbs 随 机场与 MRF 的等价性，Gibbs 随机场具有全局特性，一个马尔可夫随机场可以用条件 分布来描述，而这个分布为随机场的局部特性，用局部特性来定义整个场有一些固 有的困难。例如局部特性可能不唯一地或一致地定义一个随机场，从局部特性获得 组合分布也存在困难等。Besag 提出了关于方形网格上数据的统计学模型，把 Markov 随机场和 Gibbs 分布联系起来，解决了该数学模型的实际应用方法。在这种 数学模型指导下，使用局部的图像运算就可以获得全局性的处理结果。 这个等价关系被称为 Hammersley-Clifford 定理15： 设是定义在二维网格上的邻域系统,随机场 ,),(NNmNNjimM ijij 是关于邻域系统 M 的 MRF, 当且仅当其联合分布是与 M 有关基团的 ,NjiXX ij Gibbs 分布，即 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 10 ),( ,| )(exp )(exp ),(),( ,| ijmnmnijij XCc Cc mnmnijij mnmxXxXp xVc xVc jinmxXxXp ij （2.6） 根据 MRF 与 Gibbs 分布的一致性，通过能量函数确定 MRF 的条件概率，从而使 其在全局上具有一致性。通过单个像素及其邻域的简单的局部交互，MRF 模型可以获 得复杂的全局行为，即计算局部的 Gibbs 分布得到全局的统计结果。 根据这个定理可以方便地使用 Gibbs 随机场定义和描述 MRF，这已经成为贝叶斯 估计问题中建立先验概率模型的一种流行的方法，并且被广泛应用于图像去噪领域。 2.2 MRF 模型 MRF 是运用最广泛的基于统计学的图像模型，在图像边缘提取、分割、恢复以及 纹理分析等方面有着大量应用。MRF 是图像去噪领域的一种重要工具，其理论提供了 对上下文相关性的一种方便的、一致的建模方法，它的最大优点在于既利用了像素 点本身的特征信息，又利用了相邻像素之间的相关信息。MRF 将图像模拟成一个随机 变量组成的网格，其中的每一个变量具有明确的对其自身之外的随机变量组成的邻 近基团的依赖性。该模型着眼考虑每个像元关于它的一个邻近像元的条件分布，能 够有效地描述图像的局部统计特性。基于 MRF 模型的图像处理具有如下的优点:(l) 模型的参数较少，便于处理;(2)模型具有空间约束能力，能得到更好的处理效果;(3)基 于模型的方法易于结合其他方法，易于拓展;(4)不同的模型先验可以反映各种图像 属性，方法稳定。对于定义在二维空间上的图像，可以将它看为一个二维随机场， 自然也存在二维 MRF，此时必须考虑空间的关系，MRF 使用图论中的概念表示二维平 面上的随机场。可以利用图来直观的表示图像中像素之间的相关模式。用图表示 MRF 的优点在于比较直观、清楚，可以将复杂的问题分解成几个简单的问题。图的这些 特点可以用来表示 MRF 中的马尔可夫性，从而为贝叶斯分析带来一定的帮助。 下面介绍几种常用的典型的 MRF 模型： 2.2.1 Auto 模型 Auto 模型可以根据的假设值做更广泛的分类。如果在离散区域中0.1 i x i x (或者是-1，+1)，即 Auto- logistic 模型， 其相应的能量函数形式是 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 11 , )( i i Sii ii i Si i xxxxU i （2.7） 可以看作是相互作用系数， 是邻域系统。 ,ii i 2.2.2 Multi-level Logistic (MLL)模型 上述的 Auto- logistic 模型可以视为是 MLL 模型的一个特例:在此类模型中，一 个子团的势能依赖于子团的类型(例如大小，形状，或者可能与方向);此模型的子团 势能定义如下图: 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 对于单点子团，则函数依赖于已经分配给的标签值 1 )()( icc xVxV （2.8） 对于成对点子团势能，势能函数为 2 ( ( ,) c i i c C V x x 若上的一对位置点上的有相同值） （其他） （2.9） 由于 MLL 的简单性，上面这种模型被广泛地应用在区域建模中。如果采用一阶 邻域，则对应着上图的四种类型的子团，参数，控制着网格 S 上标识出现的概 i i 率，是随机变量的边缘分布。当参数，都相等时，该模式是各向同 1 2 3 4 性的，具有块状的区域;否则呈现各向异性，表现为类似纹理的区域。当确定了参数 之后，就可以根据上式获得某 x 出现的概率。 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 12 2.2.3 Membrane MRF（MMRF）模型 MMRF 模型是典型的 MRF 模型，其能量函数为下式 一阶平滑模型 （2.10） 其中是中心点，是的邻域。是邻域系统中的点。 i x i i x j x 二阶平滑模型 （2.11） 三阶平滑模型 （2.12） 本论文所实现第一个模型的是基于二阶邻域系统的一阶平滑模型。 2.2.4 Gaussian MRF（GMRF）模型 的条件密度函数服从正态分布，则构建的是 GMRF 模型。其能量函数为下式 i x (2.13) 上式中的如 (2.14) i 和 是关于对称的邻域点对，为权重参数。 k x k x r x k 本论文中实现的第二个模型是二阶邻域系统的 GMRF 模型。 2 )(),( ij x jiii xxxU 2 11 )2()( i iii xxxxU 2 211 )33()( i iiii xxxxxU 2 2 2 )( ),( ii ii x xU 2 1 )( N k k kki xx 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 13 第三章 基于 MRF 的图像去噪 3.1 贝叶斯估计理论 MAP-MRF 是 Maximum aposteriori probability-Markov Random Field(基于最大后 验概率的马尔可夫场)的缩写，在贝叶斯估计理论中，以最小化估计风险函数作为选 择最优估计的准则。贝叶斯估计风险函数定义为下式 dxyxPxxCxR Xx )|(,()( * ） （3.1） 其中 y 为观察值，x 为实际值，x*为估计值，C(x*,x)为成本函数，p(x|y)为后验 概率。 成本函数 C(x*,x)定义为当估计值是 x*,而实际值是 x 时产生的成本，它是根据我 们的偏好定义，两个普遍的选择其中一个是二次式的成本函数 2* |),(xxxxC （3.2） |a-b|表示 a 和 b 之间的距离，而风险函数为) 10( 其他）( 1 )|(|0 ),( 2* * xx xxC （3.3） 是任何大于 0 的小常数。在二次式的成本函数下的贝叶斯风险衡量估计的变 化值为 (3.4) dxyxpxxxR Xx )|(|)( 2* 令=0，我们可以得到最小的变化估计 * *) ( x xR (3.5) Xx dxyxxPx)|( * 也就是其次可能性的平均值。对于成本函数，贝叶斯风险是： 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 14 (3.6) |:|:| * * )|(1)|()( xxxxxx dxyxPdxyxPxR 3.2 MAP-MRF 框架 当趋近于 0，上式接近于，是包含所有x的空间的容量。)|(1)( * yxPxR 由贝叶斯决策理论可推出，最小化估计风险等效为最大化后验概率，因此，最小风 险估计可以表示为 （3.7 ） 上式就是估计理论中的最大后验概率准则（ Maximum aposteriori probability，MAP） ，后验概率可以通过由贝叶斯公式 (3.8) )( )()|( )|( yp xpxyp yxP 计算出来。式中p(x)为先验概率，p(y|x)为似然概率，当观察值y给定后，p(y)为 固定值。因此 3.7 式可以转化为式 )()|(maxarg * xpxypx Xx （3.9） 对于 3.9 式可等效为式 * argmax(ln( | )ln( ) x X xp y xp x （3.10） 在 MAP-MRF 框架下，p(x)是通过引入马尔可夫场作为先验知识表达出来。总 结来说，MAP-MRF 框架是在引入了马尔可夫场作为先验知识的前提下，并找到能 描述该先验知识的一种联合概率密度p(x)（即先验概率） ，然后将它与似然概率相乘 得到后验概率，在最大后验概率准则下寻求最优解这样一种理论框架。因此，最大 后验估计可归结为先验概率和似然概率的计算。 3.3 MAP-MRF 框架下的图像去噪 由上节可知，最大后验概率的计算归结为先验概率和似然概率的计算，MRF 模 型可以充分利用像素邻域的空间结构信息，并以此定量计算待测像素的先验概率。 马尔可夫性描述的是局部特性，但由 Hammersly-Clifford 理论可知，MRF 与 Gibbs )yP(xmaxargx Xx * 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 15 随机场（GRF）具有对等性，即一个 MRF 可以由一个 Gibbs 分布表征，相应的 MRF 模型的结构信息就可以由 Gibbs 分布的指数表达式计算得到。如下： TxU Z xXP/exp 1 （3.11） 其中为先验能量，由 2.10 式可求出。( )U x 假设 y 为观测到的图像，x 为实际图像，y=x+n，n 为高斯白噪声，所以 y-x 服 从高斯分布。 （3.12 ） 其中为似然能量，可由 2.13 式可得到。( | )U y x 后验概率，其中 ( | ) ( | ) U x y p x ye 2 2 2 ( |)(| )( ) () () 2 ii i i i U x yU y xU x yx xx （3.13） 这就是后验能量，MAP 估计即是求后验能量的最小值，对一幅图像而言，可将 图像去噪问题转化为 （3.14 ） 的最优解问题 ( | ) 1 (| ) 2 U y x P y xe ),( 2 )( minarg ),( 2 2 * Cii i i i ii si Xx xxU xy x 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 16 3.4 算法流程图 原始图像原始图像 参数初始化参数初始化 for z=1:itern,itern 为迭代次数为迭代次数 for i=1:m; j=1:n,m*n 为像素点数为像素点数 for G=0:255; 代入代入 2 2 () 2 i i yG for G=0:255; 代入代入 ( , ) (,) ii i ic U x x 上面两式相加上面两式相加 min r=m*n+1 ; rm*n z=z+1 ; zitern 输出噪声图像输出噪声图像 Y N Y N 图 3. 1 算法流程图 3.5 优化算法 3.5.1 条件迭代模型算法 (Iterated Conditional Modes,ICM) ICM 算法是由 Besag 在 1986 年提出， 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文（设计） 17 这种方法是在迭代最大化中采取了“贪婪”策略。由于我们采用的 MAP-MRF 框架， 在实际当中很难对一个 MRF 的联合概率进行最大化。因此 ICM 算法在给定数据 y 和其他像素点的标签值下，算法通过对条件后验概率最大化，从而依),|( iSi xyxP 次将更新为。ICM 算法需要预先有两个前提假设: k i x 1 k i x （1）被观察的各个像素点是互相独立的，每个，都只是拥有同样的条件密度 i y 函数，仅仅条件依赖于，因此有)|( ii xyp i x (3.15)|()|( i i i xypxyp （2）的取值只依赖于其邻域点的取值，这就是马尔可夫性; i x 由上面两个假设，以及贝叶斯定理，我们可以得到: (3.16)|()|(),|( i yxpxypxyxP iiiiSi 对于上式最大化等价于对下面对应的后验势能函数的最小化: ),|(