高等代数与MATHEMATICA

26高等代数课程实验讲义第一讲 高等代数与Mathematica一.Mathematica(4.0版本)简介1.初识Mathematica4.0Mathematica是一个 “做数学”的软件系统.下面以该软件的4.0版本为例，简单介绍Mathematica能做什么，如何进行简单操作.开始时,点击Mathematica4.0图标进入到Mathematica4.0的相应界面即工作屏幕,这时界面上方给出主菜单.单击(文件),从下拉菜单中选择Palettes（图1.1）,再从其子菜单中点击BasicInput和BasicCalculations，这时在屏幕右侧出现两个常用工具栏（图1.2），利用它, 我们可以方便地进行一些常规计算. 图1.1图1.2 例1 计算0.1255.67+722.解 键入命令按“Shift+Enter”,得计算结果，如图1.3.图1.3例2 因式分解多项式.键入命令Factorx3-12x2-145x+1716按“Shift+Enter”,得分解结果，如图1.4.图1.4例3 计算及.解 键入命令 / MatrixForm按“Shift+Enter”,得计算结果，如图1.5.图1.5数学软件Mathematica4.0功能强大，掌握这个工具，对学习、科研、工作会带来许多便利与快捷.以下着重介绍Mathematica4.0的一些基本概念和在高等代数方面的具体应用.2.Mathematica4.0中常用的基本量2.1数Mathematica4.0的简单数值类型有整数（Integer）、有理数（Rational）、实数（Real）和复数（Complex）.N表达式给出表达式的6位有效数字的近似值.如图1.6.图1.62.2 变量Mathematica4.0的内部函数与命令都是由英文大写字母开头的标识符.为不混淆起见，我们自己定义的变量名一般以英文小写字母开头后面跟字母或数字，也可以用大写单个字母来表示.如 A，B，xx，x1，a3等等.Mathematica4.0中变量可以存放一个数值，也可以存放一个多项式或矩阵等等.例如变量赋值形式为变量=表达式变量1=变量2=表达式. 这里的=实际上就是给变量定义一个值.例如利用命令Clearm清除变量m 的定义和所定义的值. 3.表List表是将一些有关联的元素组成一个整体，在Mathematica4.0中即可对该整体进行操作，也可以对单个元素进行操作.表可以表示数学中的集合、向量和矩阵或一组数据，直接用“变量=x1, x2,”表示，其中x1, x2,表示元素.建表函数一般形式为Table通项公式，循环范围，循环范围建表函数常用形式如表1.表1建表函数意义Tablef,i,min,max,stepTablef,i,min,maxTableForm表给出f的数值表，i从min变到max，以step为步长给出f的数值表，i从min变到max，步长为1以表列格式显示一个表建表示例如图1.7.图1.74.其它符号4.1 括号 内放函数变量； 是表与子表元素分界符；（ ）用于组织运算量之间的顺序.4.2算术运算符(表2)表2符号意义实例+-*/%加号减号乘号（可用空格代替）除号乘方上一个计算结果上上个计算结果a+bx-y,-us*t, s tm/n23%+5%+%注：（1）在数值计算中，算术表达式的运算结果是一个数值，在符号计算中算术表达式的运算结果仍然是一个表达式； （2）算术运算顺序依数学中习惯从左到右，次序为：“ ” “*,/ ” “+,-” （3）算术表达式可由常量，变量，函数，命令，运算符和括号组成.4.3关系运算符(表3)表3关系运算符数学符号及其意义实例=！=y, xyzx+y=y/zuvy/s=z二.应用Mathematica4.0进行高等代数计算1.Mathematica4.0处理多项式问题进入Mathematica4.0界面后，在界面上方给出的主菜单中.单击( 帮助),从下拉菜单中选择，,再从选择框中，选择 后单击，在右侧选择框中单击后，在右侧选择框中出现处理多项式的有关命令，如图1.8.利用这些命令, 我们可以方便地处理多项式.图1.8例1计算 f (x)= x4-2x3-x2+x+9除以g (x)=2x3+ x2-x+7的商及余式.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令f=x4-2x3-x2+x+9;g=2x3+ x2-x+7;q= PolynomialQuotientf, g, xr=PolynomialRemainderf , g, x按“Shift+Enter”键，便得所求.如图1.9.图1.9例2 写出f (x)=( 1.5x+3)8中x5的系数.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令Coefficient( 1.5x+1)8, x,5 按“Shift+Enter”键，便得所求.如图1.10 .图1.102.Mathematica4.0处理线性代数问题由图1.11中Lists and Matrices中的两个工具栏可以方便地进行线性代数中的相关计算. 图1.112.1矩阵定义的一般形式向量和矩阵定义的一般形式见表4. 表4 向量和矩阵定义意义Arraya,nArraya,m,nTable0,m,nIdentityMatrixnDiagonalMatrixlistMatrixFormm定义向量a1,a2, ,an定义m行n列的矩阵ai ,j,i=1,2,m; j=1,2,;nm行n列的零矩阵n级单位矩阵对角线元素为表list中元素的对角矩阵按向量或矩阵形式输出m例3（1）定义一个23的矩阵，并以矩阵形式输出.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令Arraya,2,3/MatrixForm 按“Shift+Enter”键，便得所求.如图1.12 .图1.12例4（1）定义4阶单位矩阵；（2）建立以数表A=2,3,4中元素为对角线元素的3阶对角矩阵.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令 A=2，3，4； IdentityMatrix4/MatrixFormDiagonalMatrixA/MatrixForm按“Shift+Enter”键，便得所求.如图1.13 .图1.132.2矩阵的直接输入方法(1)在工具栏中选，按Ctrl+“，”增加行，Ctrl+“”增加列，直到需要的m行n列；(2)将光标移至左上角第一个格中输入数字或字母，按“Tab”键依次输入全部元素.例5 输入矩阵.解 如图1.14.图1.142.3 利用Mathematica4.0进行线性代数计算例6 求.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令DetAInverseA /MatrixForm按“Shift+Enter”键，便得所求.如图1.15.图1.15例7 求解非齐次线性方程组 解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令LinearSolveA,B /MatrixFormNullSpaceA /MatrixForm按“Shift+Enter”键，得方程组的一个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系.如图1.16. 图1.16 方程组一个特解对应的齐次线性方程组的基础解系,该方程组全部解为第二讲 应用Mathematica4.0进行多项式与行列式相关运算 高等代数课程实验一预备知识一.相关命令命令CoefficientList多项式, 变量 给出在多项式中变量各个幂次的系数组成的列表，从第0次幂开始.命令Coefficient多项式,项,n给出多项式中n次幂的系数.命令PolynomialQuotientf (x), g(x), x可以求出f (x)除以g(x)所得的商式.命令PolynomialRemainderf (x), g(x), x 可以求出f (x) 除以g(x)所得的余式.命令Expand多项式展开乘积与幂，把多项式写成单个项的和的形式.命令PolynomialGCDf1, f2, 可以求出f1, f2, 的最大公因式.命令PolynomialLCMf1, f2, 可以求出f1, f2, 的最小公倍式.命令D多项式，变量给出多项式相应于变量的导数.命令Solve代数式=0，变量给出代数方程的解.如果方程的解包含复数，就用-1的幂次表示.若希望得到更符合惯例的表示，可在Solve命令的右边插入 /.(a_-b_):(a-ComplexExpandb)命令Factor多项式在整数环上分解多项式.命令Factor多项式， Extension-Automatic表示扩展到包括出现在多项式中的代数数全体的数域上.命令Factor多项式， GaussianIntegers-Ture允许在包含i的整数集上进行分解因式.命令Simplify表达式对表达式进行一系列的变换（尝试利用展开、因式分解以及其它标准数学变换化简表达式的复杂性），并返回它所找到的最简形式.命令Det可以计算行列式.二.实验示例例1 f (x)=( 2x+1)8,将f (x)展开，并指出x5及x7的系数.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令CoefficientList( 2x+1)8, x ;Coefficient( 2x+1)8, x,5 Coefficient( 2x+1)8, x,7按“Shift+Enter”键，便得所求值.如图2.1 .图2.1例2 计算 f (x)= 4x4-2x3-16x2+5x+9除以g (x)=2x3- x2-x+7的商及余式，并验证答案的正确性.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令f = 4x4-2x3-16x2+5x+9;g=2x3- x2-x+7;q= PolynomialQuotientf, g, xr=PolynomialRemainderf , g, xg*q+r/ Expand按“Shift+Enter”键，便得所求值.如图2.2 .图2.2例3求 f (x)=2x5-2x3-3x2+5x+2与g(x)= 2x3-x2-x+1的最大公因式.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令f=2x5-2x3-3x2+5x+2;g= 2x3-x2-x+1;PolynomialsGCDf, g按“Shift+Enter”键，便得所求值.如图2.3 .图2.3例4 判别多项式f (x)= x5-5 x4+7x3-2x2+4x-8有无重因式.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令p1= x5-5 x4+7x3-2x2+4x-8;p2=Dx5-5 x4+7x3-2x2+4x-8;PolynomialsGCDp1, p2按“Shift+Enter”键，便得所求值.如图2.4 .如图2.4例5 求 f (x)= x5-5 x4+7x3-2x2+4x-8在实数域及复数域上的标准分解式.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令p1= x5-5 x4+7x3-2x2+4x-8;Solvep1=0，x Solvep1=0，x/.(a_-b_):(a-ComplexExpandb)按“Shift+Enter”键，便得所求值.如图2.5 .如图2.5例6计算行列式 (1) (2) 解 (1)打开Mathematica4.0窗口，键入命令Det按“Shift+Enter”键，便得所求值.如图2.6(1) . 图2.6(1)(2) 图2.6(2)例7 用克拉默法则解线性方程组解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令“x1,x2,x3,x4=”d1/d,d2/d,d3/d,d4/d按“Shift+Enter”键，便得所求方程组的解.如图2.7.图2.7第三讲 应用Mathematica4.0进行线性方程组与矩阵的相关运算 高等代数课程实验二预备知识一.相关命令命令A+B、k A、A.B可以分别计算矩阵的和、数乘、乘法.命令TransposeA可以计算矩阵的转置.命令DetA可以计算方阵A的行列式.命令MatrixPowerA,m 可以计算方阵A的m次幂.命令InverseA可以求出矩阵A的逆矩阵.命令RowReduceA可以将矩阵A化为行最简形，从而求出A的秩及A的列向量组的极大无关组；可以求得线性方程组AX=b的系数矩阵与增广矩阵的秩，从而获知非齐次线性方程组是否有解，并在有解时写出其解.命令NullSpaceA 可以求得齐次线性方程组AX=O的基础解系.命令LinearSolveA,b 可以求得非齐次线性方程组AX=b的一个特解.二.实验示例例1 设，求.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令2 A-3 B/MatrixFormA. TransposeB/MatrixForm按“Shift+Enter”键，便得所求.如图3.1.图3.1例2 ，求.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令;DetAMatrixPowerA,10/MatrixFormInverseA /MatrixForm按“Shift+Enter”键，便得所求.如图3. 2. 图3.2例3 解矩阵方程.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令InverseA. B. InverseA/MatrixForm按“Shift+Enter”键，便得矩阵X.如图3.3.图3.3例4 解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令;RowReduceA/MatrixForm按“Shift+Enter”键，便得矩阵A的行最简形.如图3.4.图3.4根据A的行最简形，得r(A)=3.例5 判定向量组的线性相关性.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令；RowreduceA/MatrixForm按“Shift+Enter”键，得矩阵A的行最简形.如图3.5 .图3.5因为矩阵A的行最简形中非零行的个数为3，知向量组线性无关.例6 求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令；RowreduceA/MatrixForm按“Shift+Enter”键，得矩阵A的行最简形.如图2.6.图2.6因此，为向量组的一个最大无关组，且例7 求齐次线性方程组的基础解系及通解.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令；NullSpaceA /MatrixForm按“Shift+Enter”键，得该方程组基础解系. 如图3.7.图3.7即方程组基础解系为通解为x=.例8 求非齐次线性方程组的全部解解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令LinearSolveA,B /MatrixFormNullSpaceA /MatrixForm按“Shift+Enter”键，得方程组的一个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系.如图3.8.图3.8 方程组一个特解对应的齐次线性方程组的基础解系,该方程组全部解为例9 下列线性方程组是否有解？若有解，求出全部解.解 (1) 打开Mathematica4.0窗口，键入命令RowReduceAb /MatrixForm按“Shift+Enter”键，得方程组增广矩阵的行最简形，如图3.9(1).3.9(1)因r(A)=r(Ab)=23,该方程组有无穷多解：x=.(2) 图3.9(2)因r(A)=3r(Ab)=4,该方程组无解.第四讲 应用Mathematica4.0进行二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间相关计算 高等代数课程实验三预备知识一.相关命令命令 可以计算向量的和、数与向量相乘.命令 可以分别计算向量（Pn中）的内积、模、夹角.命令RowReduceA 可以将矩阵A化为行最简形，从而判定构成矩阵A的列向组的线性相关性、求出生成子空间的基、向量在基下的坐标.命令EigenvaluesA可以求出矩阵A的特征值.命令EigenvaluesNA可以求出矩阵A的近似特征值.命令EigenvectorsA可以求出矩阵A的特征向量.命令EigensystemA可以同时求出矩阵A的特征值与特征向量.命令DiagonalMatrixlst生成一个阶为Lengthlst的对角矩阵，其对角线由lst中元素依序而成.这里lst为某种对象的列表.命令RowReduceA可以将矩阵A化为行最简形，从而求出由A的列向量组生成的子空间的基与维数.命令CharacteristicPolynomial矩阵，变量可以求出矩阵的特征多项式.命令Normalize向量可以将向量转化为单位向量.命令GramSchmidt向量列表可以将向量列表张成空间的标准正交向量组. 最后两个命令包含在软件包中.通过菜单HelpBrowseradd onStandard PackagesLinear algebraOrthogonalization获得.二.实验示例例1 已知向量解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令按“Shift+Enter”键，即得所求.如图4.1.图4.1例2 已知向量夹角.解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令按“Shift+Enter”键，即得所求.如图4.2.图4.2此即这里给出的角度单位为弧度. 例3 线性空间V的线性变换A在一组基下的矩阵为求A的特征值与特征向量.解 方法1 打开Mathematica4.0窗口，键入命令;Eigenvalue