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中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷 数学科学 学院 高等代数课程试题(A卷)优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 共 2 页 第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 文具，满分为：100 分.题号一二三四五六七八总分得分一.判断题(每题2分,共10分)1.线性空间V ,则dim+dim=dimV. ( ) 2.特征向量的和仍是特征向量. ( ) 3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的. ( ) 4.一个线性变换的不变子空间之和仍是它的不变子空间. ( ) 5.全体阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间. ( )二(20分)已知,.求的特征值和特征向量,并求一正交阵使成对角形.三(20分)设是数域上形如的循环矩阵的集合，(1) 证明:是线性空间 的子空间.（2）证明:有.（3）求的维数和一组基.四(10分)设为3阶复数矩阵,与 等 价.，求的若当标准形.授课教师命题教师或命题负责人签字 年 月 日院系负责人签字年 月 日共 2 页 第 2 页五(10分)证明：设为n级矩阵,是矩阵的最小多项式,则多项式以为根的充要条件是|.六(10分)设V是数域上的n维线性空间,是上的线性变换，且.证明:的值域与核都是的不变子空间.七(10分)设阶矩阵,求的最小多项式.八(10分)设是数域上线性空间上的线性变换,多项式互素,且满足(零变换)求证：中国海洋大学 XXXX-XXXX学年 第X学期 期末考试试卷 学院XXX XXXXX课程试题(A卷)优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 共 页 第 页中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 高等代数试题(A卷)答案一.判断题 1. 2. 3. 4. 5.二.解：=，所以特征值为0，4（3重）.将特征值代入，求解线性方程组，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：，.所以正交阵 而.三.证：(1) 验证即可. (2) 令，为循环阵，(为阶单位阵)则在上线性无关.且，令有.，必上次多项式，使，反之亦真.(3)由上可知：是的一组基，且.四.解：A的行列式因子为, .所以，不变因子为, ，初等因子为，因而A的Jordan标准形为五证：设, 或.所以, 因而.因为为最小多项式，所以.六证：在的核中任取一向量，则 所以在下的像是零，即即证明了是的不变子空间在的值域中任取一向量，则.因此，也是的不变子空间综上，的
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