毕业设计（论文）-拟奇异积分的非线性变换法.doc

SHANDONG毕业论文拟奇异积分的非线性变换法学 院： 理学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 学 号： 指导教师： 2012年 06月全套设计加153893706摘 要拟奇异积分是边界元法中的计算难题。本文首先介绍了拟奇异积分，包括拟奇异积分产生的原因，以及近些年来对拟奇异积分的处理方法，进而提出了一种新的有效的拟奇异积分的变换方法。该变换方法通过对拟奇异积分做相应的变换，成功地消除了拟奇异性，从而大大提高了拟奇异积分的计算精度。本文通过几个经典的数值算例，通过将本文提出的新的变换方法与常规的直接利用高斯数值积分所得的计算结果进行比较，证明了本文的变换方法的有效性，在其不改变计算量的情况下明显提高了拟奇异积分的计算精度。该变换方法由于消除了拟奇异积分的拟奇异性，因此解决了边界元法中拟奇异积分计算的难题。本文着重将此变换方法与常规的高斯数值积分方法相比较，通过作图更进一步表现出本文提出的新的变换方法的有效性。通过本文的数值算例表明，该变换方法不仅算法稳定而且效率高，具有较好的收敛性，是解决拟奇异积分计算的有效方法。即使区域内的点非常接近于边界，本文提出的变换方法所得的计算结果仍然很精确。本文提出的变换方法可以应用到位势问题和弹性力学问题等实际问题中。此外，针对经典直接变量边界积分方程在实际应用中存在的不足之处，也进行了相应的补充。关键词：边界元法，拟奇异积分，变换方法 I全套设计加153893706ABSTRACTProposed singular integral computational problems in boundary element method. This paper first introduces the proposed singular integrals, reason to be generated by the singular integral, and the quasi-singular points of the approach in recent years, and then propose a new proposed singular integral transform method. The transformation method proposed singular integral, the corresponding transformation to eliminate the proposed singularity, thus greatly improving the calculation accuracy of the proposed singular integral. Through several classic numerical example, This paper presents a new transformation method with the conventional direct use of the Gaussian numerical integration from the calculation results were compared to prove the effectiveness of the transformation method of this article, it does not change the calculation significantly increased the amount of the proposed singular integral calculation accuracy. The transformation method due to elimination of the proposed singular integral proposed singularity, thus solving the problem of singular integral calculation to be the boundary element method. This article focuses on this transformation method with the conventional Gaussian numerical integration method compared through the mapping further demonstrate the effectiveness of the new transformation method proposed in this paper. In this paper the numerical examples show that the transformation method is not only the algorithm is stable and high efficiency, better convergence is the solution to be a singular integral calculation method. Even if the region is very close to the boundary, the transformation method from the calculated results presented in this paper is still very accurate. In this paper, the transformation method can be applied in place the practical problems of potential problems and elasticity problems. In addition, inadequacies exist in practical applications for the classical direct variable boundary integral equation corresponding supplement. Key words: Boundary element method, Nearly singular integral, Nonlinear transform.33目 录摘 要IABSTRACTII目 录III第一章 引言11.1 研究拟奇异积分的目的11.1.1薄体涂层结构问题的重要性11.1.2 薄体涂层结构问题是工程计算科学中的难点21.2拟奇异积分计算的困难3第二章 拟奇异积分的简介52.1边界元法的产生与发展52.2 边界元法中拟奇异积分产生的原因52.3 边界元法中拟奇异积分的处理方法7第三章 高斯求积公式93.1 一般理论93.2 高斯-勒让德求积公式10第四章 拟奇异积分的一种新的变换法134.1 拟奇异积分的一般形式134.2 几类特殊拟奇异积分的变换134.2.1 第一类拟奇异积分的变换134.2.2 第二类拟奇异积分的变换144.2.3 第三类拟奇异积分的变换15第五章 数值算例175.1 算例1175.2 算例2195.3 算例3205.4 算例4225.5 算例5245.6 算例6255.7 算例7275.8 算例828第六章 结论31参考文献32致谢33全套设计加153893706第一章 引言1.1 研究拟奇异积分的目的1.1.1薄体涂层结构问题的重要性现代科技的迅速发展促进了许多新材料的开发与利用，如薄膜材料、复合材料、智能材料、功能梯度材料等。涂层薄体由于具有隔热、耐磨和彷佛等优点，现在已经广泛应用于航空、航天及各种机械构件的表面改性技术中。以下各图是薄体涂层结构在现代工程中的应用。图1.1 航天飞机隔热层图1.2 彩色涂层钢板图1.3薄壳类构件图1.4薄体胶片图1.5包含裂纹或夹杂的机械构件图1.6各向异性薄体涂层的构件图1.7各向异性的复合材料叠层构件薄体涂层结构在工程中的应用越来越广泛，但其数值分析尚且不足。曾经有人认为边界元法无法有效解决这类问题，这是因为在求解薄体结构边界未知参量时，会出现类似于边界层效应的拟奇异积分问题，而且薄体区域内几乎所有内点都会出现边界层效应。近些年的研究表明，处理边界层效应问题的思想可以借鉴用于处理薄体结构问题，且与有限元法相比，边界元法具有更大的优越性。1.1.2 薄体涂层结构问题是工程计算科学中的难点一般说来，材料的涂层厚度非常薄，大约达到了微米级甚至纳米级。由于受到其厚度尺寸的限制，涂层材料中物理量的数值分析一直是计算科学的难点。采用有限元分析时，为了避免出现畸形单元，需按照涂层厚度划分单元。可是，这样做必然会导致百万甚至几百万个子单元，计算工作量剧增。实践表明，边界元法更便于求解薄体涂层结构问题，因为边界元法只需考虑问题域的边界，无需分析问题的整个区域。然而，边界元法求解此类问题是一项系统工程，需要同时做好几方面的工作：a）有效处理奇异边界积分；b）建立准确计算拟奇异积分的方法；c）准确逼近问题的几何边界。因此有效计算拟奇异积分是成功求解薄体、涂层结构的关键因素。1.2拟奇异积分计算的困难近边界点越靠近积分单元，核积分的震荡特性就越明显，因而应用常规的高斯求积所得的结果也将更不准确。利用Gauss消去法并不能有效计算拟奇异积分。从现象上看，当计算边界附近区域内点物理量时，会产生震荡现象，在边界附近很小的区间内，函数值变化非常迅速。图1.8是两个具体被积函数的函数图像。图1.8 和的两个积分核的图像用不同的高斯节点个数来计算积分和( , )，其相对误差如图1.9所示。图1.9拟奇异积分通常会在以下两种情况下出现。一种是当求解边界附近区域内的物理量时，称为边界层效应；另一种是在求解薄体问题考虑区域内的厚度很小时。应用常规的高斯求积公式不能准确的计算拟奇异积分的主要原因，是由相激烈震荡以及被积函数的无界性等拟奇异内核的不正常现象引起的。但是，这并不是全部原因，像和这样的拟奇异积分内核很明显既不是无界的也不迅速的在积分区间内震荡，但是它们仍然不能应用常规的高斯求积公式准确计算。基于这种现象，我们可以推测，如由雅可比提出的通过接收另一个零因子来消除近零因子的退化映射方法，并不是很有效。造成这一现象的主要原因近零因子的数量级的顺序不同或者是计算因子变化规模的不同。第二章 拟奇异积分的简介第二章 拟奇异积分的简介2.1边界元法的产生与发展在二十世纪六十年代，有限元法的离散思想就已经被应用于边界积分方程中，从而得出了基于边界积分方程的数值解法边界元法。1963年Jaswan和Symm用间接边界元法求解了位势问题；1967年Rizzo用直接边界元法求解了二维弹性问题；1969年Cruse将该方法推广到了三维弹性力学问题中。1978年，Brebbia编写了世界上第一本边界元专著，它提出了如何用加权余量法确立边界积分方程，初步形成了边界元法的理论体系，这标志着边界元法进入了系统性研究时期。边界元法由间接边界元法发展到直接边界元法，由于间接边界元法中的未知量不是物理变量，所以它的解函数并不具有特定物理意义。直接边界元法实在互等定理的基础上建立的Somigliana等式，以边界点为源点，基本未知量是所需要的客观未知量。常规的边界元法是应用于弹性力学中，它以边界上面力和节点的位移为基本的未知量，等待边界上的未知量求出以后，再通过内点积分方程求出内点参量。边界元法既有起优点又存在不足，因此许多研究人员充分发挥边界元法的优点，提出和创建了边界元法的新的形式。Brebbia和Nardini提出了对偶互易边界元法，利用互易定理将一般的积分化为边界积分，使得计算量大大减小。Ghosh等人利用了二维弹性问题推导出以面力为变量和以位移沿边界的切向导数的积分方程，将基本解中的强奇异积分核变为弱奇异积分核。秦荣也提出了“样条边界元法”。该边界元法是将样条函数作为插值函数，这样就提高了边界元法的精度。此外，还有自适应边界元法、位移杂交边界元法、应力杂交边界元法、随机边界元法等等。现在边界元法的应用已经非常广泛，在固体力学、流体力学、应用数学、电磁物理、电化学等各个方面都有所应用。边界元法不仅能够用于解决求解线性边值问题，而且在解决非线性、非定常等问题上也有很大的作用。近些年来，边界元法也逐渐应用于塑性力学、断裂力学、动力学等方面。2.2 边界元法中拟奇异积分产生的原因边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立相应的边界积分方程，再结合边界的剖分而得到的离散算式。在这里我们考虑平面弹性力学问题。弹性力学问题内点位移和应力边界积分方程式分别为 (2.1) (2.2)当源点在边界单元上时，位移边界积分方程式为 (2.3)将边界离散成一定数量的边界单元，如图2-1所示，和分别是边界单元 的两个端点，为局部坐标系的坐标值，为内点到邻近边界单元的最小距离。对单元的物理量和几何形状作线性等参元插值，其插值形函数为 (2.4)由端点的坐标、，把单元从总体坐标系转变为局部坐标系, 那么单元可表示为 ， (2.5)设有 (2.6) (2.7)其中，即域内点到邻近边界单元的距离函数为 (2.8)式中，即单元长度的一半。图2-1 内点到边界的最小距离由此可见，常数、和仅由单元始末节点和源点的坐标确定，与积分点无关。由式(2.8)知，趋近于零的程度取决于 趋近于零的程度。积分方程式(2.1)、(2.3)和(2.2)的积分核、和、中含有、和的项。随着趋于零，这些积分核趋于无穷大，则产生了拟奇异积分。2.3 边界元法中拟奇异积分的处理方法在边界元法分析中，有三种奇异积分和一种拟奇异积分：弱奇异积分、柯西主值积分、超奇异积分和拟奇异积分。当源点不在边界上但又特别趋近于边界时；或者源点在边界上但不在当前积分单元上而是特别接近于当前积分单元时，源点与场点的距离趋近于零，但又不等于零，这时就产生所谓的拟奇异积分。从数学理论上来说，不管内点有多么的接近于边界，其积分均是有定义的，它不属于奇异积分。然而，从计算的角度分析，当内点很接近边界时，由于计算机精度的有限性，表示一个无限接近的量是不可能的。因而，虽然该积分有定义，但它却表现出奇异积分的特性，故称它为拟奇异积分。拟奇异积分常常出现在求解边界附近区域内的物理量中。传统的边界元法，计算离边界较远的区域内的点时，解的精确度很高，计算边界附近区域的点时，由于拟奇异积分的存在，求解精度则大大降低，甚至结果失真，这称之为边界元法的“边界层效应”。研究拟奇异积分具有非常重要的意义：首先，求解边界附近区域内的点时出现的边界层效应，一直是边界元法需要解决的问题。尤其是对接近边界的物理参量要求较高时的问题。如接触问题接触区域应力分布，裂纹尖端应力场，应力集中区域应力分布等问题具有较高的应用价值；其次，边界元法在薄膜和薄体结构中的应用在不断发展，在这个领域内，边界元法要比有限元法具有明显的优势。在表面和涂层等工程方面也有很广泛的应用，如在复合材料界面、功能梯度材料涂层和压电材料薄片等薄体类结构问题上的应用。所以，为了边界元法在工程中更深入广泛的应用，寻求一种可行的、有效的、便于推广的拟奇异积分数值算法成为必须解决的难题。拟奇异积分的处理方法大致可分为两大类：第一类是“整体算法”。该方法主要是通过建立新的规则化边界积分方程来实现的。间接计算或者避免计算拟奇异积分，比如虚边界元法、刚体位移法、简单解法等都是“整体算法”。虚边界元法避免了奇异积分和拟奇异积分的计算，主要问题是其理论基础仅仅在某种特定的情形下得到确认；简单解法和刚体位移法来自于奇异积分的规则化思想和方法，通过密度函数中的零因子来消除核函数分母中的拟零因子，但是其结果的计算精度并不是很高。第二类是“局部算法”。该算法是直接计算或者近似计算拟奇异积分，常见的算法有区间分割法、特别的高斯积分法、解析或半解析法及变换法等。区间分割法是一种比较有效的方法，但是分割区间的数量和计算点到边界的距离密切相关，当计算点越靠近边界时，分割区间的数量就越多，分格区间数量过多所付出的计算代价就会很大，并且累计误差也会增多，因此该方法并不是很实用；特别的高斯积分法则需要进行复杂的数学推导；而用解析法计算拟奇异积分比计算奇异积分反而更加困难，这对于一般的曲线单元来说是很难实现的；半解析法其思想是利用“加减法”来分离拟奇异部分，然后用解析法计算分离出去的部分，而规则化的部分采用常规的高斯数值求积公式计算，但是半解析法并没有从根本上消除被积函数的拟奇异性，规则化的部分却仍然保留着弱拟奇异性。当前在“局部算法”中，最常用的各种变换法。如Sigmoidal变换、优化坐标变换、距离变换等。第三章 高斯求积公式第三章 高斯求积公式3.1 一般理论当被积函数比较复杂而难以求得解析解时，可以应用数值积分方法获得数值解。如果求积公式 (其中为权函数) (3.1)具有次代数精度，则称其节点为高斯点，相应公式称为高斯型求积公式。要使(3.1)式具有次代数精度，只需取，对，(3.1)式精确成立，则有 (3.2)当给定权函数，求出右侧的积分，则由(3.2)式可以求出及。由于(3.2)式是关于及的非线性方程组，当时求解是很困难的。只有在确定后，才可以利用(3.2)式求解。此时(3.2)式为关于的线性方程组。下面先讨论如何选取节点才能使求积公式(3.1)具有次代数精度。设上的个节点。的拉格朗日多项式为其中。则 用乘上式并从到积分得 (3.3)其中 ，余项显然当取时有，此时有即求积公式(3.1)至少具有次代数精度。现在考察如何选取节点才能使求积公式精确度提高到次。此时要求对为次多项式时，而当时，为次多项式。若要求对，积分，即相当于要求与每个带权在上正交。也就是以节点为零点的次多项式是上带权的正交多项式，于是有一下结论。插值型求积公式(3.1)的节点是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式带权正交，即3.2 高斯-勒让德求积公式在高斯求积公式(3.1)中，若取权函数，区间为，则得公式 (3.4)勒让德多项式是区间上的正交多项式，因而，勒让德多项式的零点就是(3.4)式的高斯点。形如(3.4)式的高斯公式特别地称为高斯-勒让德多项式。以下列出了高斯-勒让德求积公式节点数从1到6及其所对应的系数，如表3-1所示表3-1 高斯-勒让德求积公式的节点和系数012345公式(3.4)的余项由(3.3)式得 ，这里是最高项系数为1的勒让德多项式，进一步得， (3.5)当积分区间不是，而是一般的区间时，只要做变换可将化为，这时 (3.6)对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式。第四章 拟奇异积分的一种新的变换法第四章 拟奇异积分的一种新的变换法4.1 拟奇异积分的一般形式形如或其中很小。上述积分均可通过变换将化为，从而化为或的形式。4.2 几类特殊拟奇异积分的变换4.2.1 第一类拟奇异积分的变换积分可以表示成这里，。分别对右侧的两个积分做变换，可得令，从而可以求出将上述变换代入积分后得同理可得令，从而可以求出的值将上述变换代入积分后得4.2.2 第二类拟奇异积分的变换积分可以表示成这里，。分别对右侧的两个积分做变换，可得令，从而可以求出的值将上述变换代入积分后得同理可得令，从而可以求出将上述变换代入积分后得4.2.3 第三类拟奇异积分的变换这里，。分别对右侧的两个积分做变换，可得令，可求出的值将上述变换代入积分后得同理可得令，可求出的值将上述变换代入积分后得第五章 数值算例第五章 数值算例本章通过八个数值算例来验证本文提出的新的非线性变换法的正确性和有效性。这些算例分别对上述三类积分中的参数赋予不同的值，并通过表格和图像来表明本文变换法的精确度。5.1 算例1用常规的高斯数值积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差(采用16点高斯积分法，下同)。由可求出该积分的精确解这里。令，可得其中。其中。因此其中。然后，应用常规的高斯求积公式计算，结果见表5-1。表5-1C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.12.7178975E+01-7.6253703E+002.9422553E+01-1.3506325E-082.9422553E+010.014.9393272E+01-8.4176904E+013.1215942E+022.9204609E-053.1215933E+020.0014.9855312E+01-9.8412045E+013.1395810E+03-3.6981622E-043.1395927E+030.00014.9859983E+01-9.9841281E+013.1415266E+044.2645772E-033.1413927E+040.000014.9860029E+01-9.9984129E+013.1412441E+05-1.0457379E-023.1415727E+050.0000014.9860030E+01-9.9998413E+013.1403911E+06-3.8183725E-023.1415907E+060.00000014.9860030E+01-9.9999841E+013.1412141E+07-1.2042222E-023.1415925E+070.000000014.9860030E+01-9.9999984E+013.1444842E+089.2041645E-023.1415926E+080.0000000014.9860030E+01-9.9999998E+013.1487537E+092.2794415E-013.1415927E+090.00000000014.9860030E+01-1.0000000E+023.1516922E+103.2147961E-013.1415927E+10将表5-1中的数据画图，见图5-1。图5-15.2 算例2用常规的高斯数值积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差。由可以求出该积分的精确解。这里。令，可得其中其中。因此其中。然后，应用常规的高斯数值求积方法计算上式即可求出结果。经计算可得表5-2表5-2C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.15.8998364E+00-1.6111120E+005.9964459E+00-1.6585306E-095.9964459E+000.017.2211745E+00-3.1854399E+011.0596685E+011.4933286E-061.0596685E+010.0017.2439587E+00-5.2348037E+011.5201800E+01-3.6106080E-051.5201805E+010.00017.2441883E+00-6.3426074E+011.9807015E+012.0308942E-041.9806975E+010.000017.2441906E+00-7.0325465E+012.4412148E+011.2469714E-052.4412145E+010.0000017.2441907E+00-7.5034862E+012.9016938E+01-9.9344850E-042.9017227E+010.00000017.2441907E+00-7.8469230E+013.3621868E+01-7.1004555E-023.3645758E+010.000000017.2441907E+00-8.1049870E+013.8227610E+01-1.2016664E-043.8227656E+010.0000000017.2441907E+00-8.3087292E+014.2834293E+013.4253260E-034.2832826E+010.00000000017.2441907E+00-8.4729139E+014.7441458E+017.2971856E-034.7437996E+01将表5-2中的数据画图，见图5-2。图5-25.3 算例3用常规的高斯数值积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差。由可以求出该积分的精确解。这里。作变换，可得其中。作变换，可得其中。因此其中。然后，应用高斯求积公式，计算结果见表5-3。表5-3C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.1-3.3776840E+00-4.1172427E-01-3.3916483E+00-1.5455698E-10-3.3916483E+000.01-3.7308931E+00-5.2439873E+00-3.9373681E+006.4366387E-09-3.9373681E+000.001-3.7358058E+00-6.4579667E+00-3.9937188E+00-1.1055466E-07-3.9937188E+000.0001-3.7358551E+00-6.5889489E+00-3.9993717E+005.1378911E-08-3.9993717E+000.00001-3.7358556E+00-6.6021420E+00-3.9999372E+002.3791620E-08-3.9999372E+000.000001-3.7358556E+00-6.6034623E+00-3.9999937E+00-4.5728826E-09-3.9999937E+000.0000001-3.7358556E+00-6.6035943E+00-3.9999994E+00-2.0042193E-09-3.9999994E+000.00000001-3.7358556E+00-6.6036075E+00-3.9999999E+00-2.7191583E-10-3.9999999E+000.000000001-3.7358556E+00-6.6036088E+00-4.0000000E+00-7.4829032E-12-4.0000000E+000.0000000001-3.7358556E+00-6.6036090E+00-4.0000000E+002.0816682E-11-4.0000000E+00将表5-3中的数据画图，见图5-3。图5-35.4 算例4用常规的高斯积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差。由可求出该积分的精确解 这里。令，可得其中。令，可得其中。因此其中，。然后，应用高斯求积公式计算，结果见表5-4。表5-4C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.12.8909360E+014.6243073E-022.8776289E+016.0340302E-082.8776289E+010.011.1083904E+02-6.4416830E+013.1149293E+021.8132676E-053.1149288E+020.0011.1602579E+02-9.6303647E+013.1389209E+03-1.6258757E-043.1389260E+030.00011.1608055E+02-9.9630473E+013.1414373E+043.5439858E-033.1413260E+040.000011.1608110E+02-9.9963050E+013.1412754E+05-9.2512947E-033.1415660E+050.0000011.1608111E+02-9.9996305E+013.1404646E+06-3.5822315E-023.1415900E+060.00000011.1608111E+02-9.9999631E+013.1411623E+07-1.3690519E-023.1415924E+070.000000011.1608111E+02-9.9999963E+013.1442622E+088.4973595E-023.1415926E+080.0000000011.1608111E+02-9.9999996E+013.1484671E+092.1882055E-013.1415927E+090.00000000011.1608111E+02-1.0000000E+023.1514966E+103.1525258E-013.1415927E+10将表5-4中的数据画图，见图5-4所示。图5-45.5 算例5用常规的高斯积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差。由可以求出该积分的精确解。这里。令，可得其中。，得其中。因此其中，。然后，应用高斯求积公式计算，结果见表5-5。表5-5C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.15.7224743E+001.3525128E-015.7147450E+003.7618949E-095.7147450E+000.018.5227589E+00-1.7327517E+011.0309064E+011.9284631E-061.0309064E+010.0018.6373697E+00-4.2085974E+011.4914120E+01-2.5338224E-051.4914124E+010.00018.6385620E+00-5.5743469E+011.9519328E+011.7712972E-041.9519293E+010.000018.6385739E+00-6.4191643E+012.4124467E+011.5914435E-052.4124463E+010.0000018.6385740E+00-6.9931625E+012.8729286E+01-1.6722165E-032.8729767E+010.00000018.6385740E+00-7.4086043E+013.3334206E+01-4.1913642E-033.3335603E+010.000000018.6385740E+00-7.7230944E+013.7939891E+01-2.1812129E-043.7939974E+010.0000000018.6385740E+00-7.9695511E+014.2546511E+013.2133970E-034.2545144E+010.00000000018.6385740E+00-8.1678650E+014.7153645E+017.0638166E-034.7150314E+01将表5-5中的数据画图，见图5-5。图5-55.6 算例6用常规的高斯积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差。由可以求出该积分的精确解这里。令，可得其中。令，可得其中。因此其中，。然后，应用高斯求积公式计算，结果见表5-6。表5-6C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.1-2.8763710E+004.8946632E-02-2.8749638E+00-1.7516644E-11-2.8749638E+000.01-3.3549911E+00-1.7338108E+00-3.4141867E+003.8593678E-08-3.4141867E+000.001-3.3662163E+00-3.0040592E+00-3.4704713E+00-1.0748975E-07-3.4704713E+000.0001-3.3663312E+00-3.1584708E+00-3.4761236E+005.4117884E-08-3.4761236E+000.00001-3.3663324E+00-3.1741884E+00-3.4766890E+002.4743615E-08-3.4766890E+000.000001-3.3663324E+00-3.1757629E+00-3.4767456E+00-4.6998474E-09-3.4767456E+000.0000001-3.3663324E+00-3.1759204E+00-3.4767512E+00-2.1751454E-09-3.4767512E+000.00000001-3.3663324E+00-3.1759361E+00-3.4767518E+00-3.0636296E-10-3.4767518E+000.000000001-3.3663324E+00-3.1759377E+00-3.4767518E+00-9.5031911E-12-3.4767518E+000.0000000001-3.3663324E+00-3.1759379E+00-3.4767519E+002.8407388E-11-3.4767519E+00将表5-6中的数据画图，见图5-6。图5-65.7 算例7用常规的高斯积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差。由可以求出该积分的精确解。这里。作变换，可得，其中。作变换，可得其中。因此其中，。然后，应用常规的高斯求积公式计算，结果见表5-7。表5-7C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.11.3232650E+01-5.5816803E-011.3306925E+016.9712098E-081.3306925E+010.015.1415025E+01-6.6753515E+011.5464803E+021.7722605E-051.5464800E+020.0015.3802183E+01-9.6569536E+011.5683618E+03-1.6160221E-041.5683644E+030.00015.3827383E+01-9.9657271E+011.5706088E+043.5437192E-031.5705531E+040.000015.3827635E+01-9.9965732E+011.5706267E+05-9.2513614E-031.5707720E+050.0000015.3827637E+01-9.9996573E+011.5702312E+06-3.5822315E-021.5707939E+060.00000015.3827637E+01-9.9999657E+011.5705810E+07-1.3690517E-021.5707961E+070.000000015.3827637E+01-9.9999966E+011.5721311E+088.4973595E-021.5707963E+080.0000000015.3827637E+01-9.9999997E+011.5742335E+092.1882055E-011.5707963E+090.00000000015.3827637E+01-1.0000000E+021.5757483E+103.1525258E-011.5707963E+10将表5-7中的数据画图，见图5-7。5.8 算例8用常规的高斯积分法和本文的变换法分别求解积分，并分别与精确解比较求出其相对误差。由可以求出该积分的精确解。图5-7这里。作变换，可得，其中。作变换，得其中。因此其中，。然后，应用高斯求积公式计算，结果见5-8。表5-8C常规积分计算变换积分计算计算值相对误差(%)计算值相对误差(%)精确解0.11.8615192E+00-1.3013401E-011.8639448E+007.4173909E-091.8639448E+000.013.1831884E+00-2.3381564E+014.1545986E+002.3799283E-064.1545985E+000.0013.2363079E+00-4.9879564E+016.4570608E+00-2.9196230E-056.4570626E+000.00013.2368603E+00-6.3048048E+018.7596638E+001.9733656E-048.7596465E+000.000013.2368659E+00-7.0739486E+011.1062233E+011.7349010E-051.1062232E+010.0000013.2368659E+00-7.5780814E+011.3364643E+01-1.7973362E-031.3364883E+010.00000013.2368659E+00-7.9340650E+011.5667103E+01-4.4588786E-031.5667802E+010.000000013.2368659E+00-8.1987377E+011.7969946E+01-2.3025937E-041.7969987E+010.0000000013.2368659E+00-8.4033274E+012.0273256E+013.3719066E-032.0272572E+010.00000000013.2368659E+00-8.5661823E+012.2576822E+017.3767188E-032.2575157E+01由表5-8中的数据可以画出图像如图5-8所示图5-8第六章 结论第六章 结论通过以上算例，将常规高斯积分方法与本文的变换方法对符合上述三种积分模型式的计算结果分别作比较，可以得出，随着的不断减小，对边界积分方程中出现的拟奇异积分，本文的变换方法能更有效地消除其拟奇异性，从而解决了拟奇异积分计算精度不高的难题。由本文中的数值算例可以看出，本文提出的新的变换方法所得的计算结果与精确值的相对误差控制在10E-1(%)内