2019年第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初二.doc

第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（初二）（时间2006年4月22日8：3010：00）一、填空（每题10分，共70分）1计算：_2当时，多项式的值是0，则多项式_3图1中的长方形是由四个等腰直角三角形和一个正方形拼成。已知长方形的面积为120平方厘米，则正方形的面积等于_平方厘米。4满足方程的所有的和为_。5一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完；若同时打开进水口与五个出水口，池中水9分钟放完。池中原有水_立方米。6已知+，则小于S的最大的整数是_。7如图2，数轴上标有个点，它们对应的整数是：为了确保从这些点中可以取出2006个，其中任何两个点之间的距离都不等于4，则的最小值是_。 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共30分）8如图3，是矩形，=6厘米，=10厘米，和是对角线。图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（取）9当,0,1,3,23,124,1000时，从等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问这10个方程有没有公共解？如果有，求出这些公共解。10平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度，请说明理由。三、答下列各题，要求写出详细过程（每题10分，共20分）11分解因式12已知都是正整数，并且证明：；若，求和的值。第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛参考答案（初二）一、填空（每题10分，共70分）题号1234567答案510401228802005提示：1. 2. 由已知得，代入即得53.如图，依题意，得 解得 4. 5.设池中原有水a立方米，进水速度为b立方米/分钟 则 解得 a=288，b=36. 由已知得两式相加，得再设同理可得 ，因此于是故因而0s1或 由等比数列求和公式7. 取点的距离为1,1,1,5, 1,1,1,5, . 又2006=4*501+2 所以总的距离为（1+1+1+5）*501+1+1=4010 2n=4010 得 n=2005二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共30分）8解：设三角形以为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即：（立方厘米）答：体积是立方厘米。评分参考：能判断出旋转所得到的立体的形状或画出上右图（5分）；正确计算圆锥的体积（5分）或者有算式，给10分，仅有正确答案给5分。9解：分别取，得到两个方程：先求两个方程的公共解，把它们看作二元一次方程组，解得：把代入，值恒为，此即意味着：当时，成立，所以，是对应的10个方程的公共解。答：这些方程的公共解是.评分参考：能对的特殊值求出公共解（5分）；讨论一般情况（给5分）。10解答：在平面上任取一点，过点作已知的5条直线的平行线将为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角，这10个小角的和恰等于，所以，至少有一个小角不超过。评分参考：关键是能判断出5条直线的10个小角的和是360度（5分）；其余步骤（5分）三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题10分，共20分）11解： 答：原式分解为12解： =；同样，由题设，所以， 即是的因数，只有3个因数：，所以，求出正整数另一方法：使设，代入上式都互质，一定整除