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,111引言112对称弯曲正应力113惯性矩与平行轴定理114对称弯曲切应力简介115梁的强度条件116梁的合理强度设计117双对称截面梁的非对称弯曲118弯拉(压)组合强度计算,第十一章弯曲应力,主要介绍：梁的弯曲正应力、梁的强度分析与设计、弯拉(压)组合问题。,一、梁横截面上的内力和应力的对应关系,t=f1(FS),正应力仅与弯矩有关,111引言,切应力仅与剪力有关,s=f2(M),二、纯弯曲概念(PureBending),若,FS=FS(x)M=M(x),同时存在，,称为横力弯曲或剪切弯曲。,梁在弯曲变形的同时产生剪切变形。,如简支梁的AC、BD段。,在梁的CD段中：FS=0，M=常量,即只有M存在，没有剪力作用，称为纯弯曲。,纯弯曲：FS=0，梁横截面上没有t，只有s。,112对称弯曲正应力,一、矩形横截面梁纯弯曲实验研究,纯弯曲实验：万能材料实验机上进行。,取矩形横截面梁实验：,梁表面作与梁轴线平行的纵向线代表纵向纤维；,与梁轴线垂直的横向线代表横截面。,在梁两端加弯矩M，使梁产生纯弯曲变形。,观察现象：,1.横向线仍为直线，但相对地转过一个微小角度，仍与已弯曲成圆弧线的纵向线垂直；,与轴向拉、压时变形相似。,2.纵向线均弯曲成圆弧线，且靠近凸面处伸长，靠近凹面处缩短；,3.在伸长区，梁宽度减小，在缩短区，梁宽度增加。,伸长,缩短,二、假设,1.梁弯曲平面假设,弯曲变形时：,2.单向受力假设,由实验现象和假设可推知：,设想梁由许多层纵向纤维组成，弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或单向受压状态。,梁弯曲变形后，横截面仍保持为平面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直，只是绕该截面内某轴转过一个微小角度。,靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短；,靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。,弯曲变形时，梁横截面是绕中性轴转动的。,从伸长到缩短的过程中，必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度。,由变形的连续形可知：,中性层：由既不伸长也不缩短的纵向纤维组成。,中性轴：中性层与梁横截面的交线。,中性层,中性轴,中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。,1.变形几何关系正应变分布规律,二、弯曲正应力一般公式,取梁微段dx分析：,弯曲变形后：,设中性层曲率半径为r。,横截面1-1、2-2仍保持为平面，,取坐标轴：y轴，z轴。,y轴与截面对称轴重合；,z轴与中性轴重合(位置未定)。,但各自绕中性轴转过一个角度，形成一夹角，为dq；,距中性层为y处纵向纤维ab的变形：,弯曲前：,弯曲后：,中性层长度不变：,ab的伸长：,ab的正应变：,为横截面上正应变分布规律。,(a)式表示：纵向纤维的正应变与其离中性层的距离y成正比。,在一定的M作用下，r为常数，,|y|，|e|。,中性层下方，y为正值，e也为正值，表示为拉应变；,b,a,O2,O1,1,1,2,2,dq,r,中性层上方，y为负值，e也为负值，表示为压应变。,2.物理关系正应力分布规律,纵向纤维间无相互挤压，ab单向受拉(压)，,由s=Ee，将(a)式带入，得,为横截面上正应力分布规律。,式中E、r为常数，,(b)式表示：横截面上某点的正应力与该点离中性层的距离y成正比。,即横截面上正应力沿高度呈线性分布。,中性层下方，y为正值，s也为正值，表示为拉应力；,中性层上方，y为负值，s也为负值，表示为压应力。,y=0(中性轴上)，s=0；,|y|max(上、下表层)，|s|max。,由(b)式可得s的分布规律，但因r的数值未知，中性轴的位置未确定，y无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。,3.静力学关系确定中性轴位置及r的计算,取微面积dA：(z，y),dA,dA上微内力：sdA,截面上所有微内力sdA组成一空间平行力系，可合成为三个内力合力：,FN、My、Mz,1)AsdA=FN,FN=0,AsdA=0(c),(b)带入(c)：,E、r不为零，,AydA=0,而AydA=Sz=yCA=0,yC=0,z轴(中性轴)为形心轴。,即中性轴必须通过梁横截面的形心。,s,dA,(b)带入(e)：,令Iz=Ay2dA，称Iz为横截面对z轴的惯性矩。,即,为用曲率表示的弯曲变形公式。,2)AsdAy=Mz,Mz=M,AsdAy=M(e),横截面一定时，Iz一定。,s,dA,1/r为中性层弯曲变形后的曲率。,将EIz称为梁的抗弯刚度。,将上式带入(b)：,表示：梁横截面上的s与M成正比，与Iz成反比，沿截面高度呈线性分布。,中性轴上：y=0，s=0；,上、下表层：|y|max，|s|max。,s,dA,2.中性层曲率：,s的方向可由梁的变形直接判定：,1.中性轴位置：中性轴过截面形心；,结论：,3.正应力公式：,最大弯曲正应力,上、下表层：y=ymax，,三、最大弯曲正应力,令Wz=Iz/ymax，称Wz为横截面的抗弯截面系数。,2.弹性范围内，且Ec=Et,1.纯弯曲：平面假设条件下；,四、公式适用条件,3.对称弯曲，y轴为梁横截面的纵向对称轴。,公式、,可用于ssp，对称弯曲中纯弯曲时的正应力计算和中性层曲率计算。,例1：悬臂梁如图示，Me=20kNm，E=200GPa，梁用No18工字钢制成。试求梁的最大弯曲正应力和梁轴的曲率半径。,解：(1)工字钢Iz、Wz,(3)计算smax,由附录E表4(P359)查得：,Iz=1.66105m4,Wz=1.85104m3,(2)作M图,(4)计算梁轴的曲率半径r,由,有,113惯性矩与平行轴定理,一、简单截面的惯性矩,1.定义：,Iz=Ay2dA，为图形A对z轴的惯性矩。,Iy=Az2dA，为图形A对y轴的惯性矩。,2.分析讨论,(1)dA0，y2、z20，Iz、Iy0，单位：m4，cm4，mm4,(2)若A=A1+A2+An,则：Iz=IzA1+IzA2+IzAn=SIzAi,Iy=IyA1+IyA2+IyAn=SIyAi,为组合图形的惯性矩公式。,矩形截面的惯性矩：,取微面积dA：bdy,圆形截面的惯性矩：,取微面积dA：(z，y),Iz=Iy,且有r2=y2+z2,箱形截面的惯性矩：,由组合图形的惯性矩公式：,空心圆截面的惯性矩：,二、平行轴定理,已知：A、Iz0、Iy0,Iz=Ay2dA=A(y0+a)2dA,求：Iz、Iy,Cy0z0：过形心直角坐标系,Oyz：任意直角坐标系,z与z0平行，间距为a，,y与y0平行，间距为b，,=A(y02+2ay0+a2)dA,Iz=Iz0+a2A,Iz0=Ay02dA,同理得：,解：,y=y0+a,z=z0+b,Ay0dA=0,AdA=A,Iy=Iy0+b2A,=Ay02dA+2aAy0dA+a2AdA,即：截面对任一坐标轴z的惯性矩Iz，等于对其平行形心轴z0的惯性矩Iz0加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。,已知：d、m,求：Iz,解：,已知：h、b,求：Iz,解：,求：图示图形对形心轴z的惯性矩Iz。单位：cm,解：(1)确定形心位置,(2)Iz,Iz=IzA1+IzA2=21.28+36.59=57.87cm4,A1,A2,组合图形对形心轴z惯性矩Iz的计算步骤：,(1)将组合图形分解为几个简单图形，由形心公式确定形心位置：,(2)由平行轴定理分别计算各简单图形对z轴的惯性矩IzAi,A1,A2,IzAi=Iz0+a2Ai,解：1)作M图确定截面弯矩,例受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：,(1)1-1截面上1、2两点的正应力；(2)此截面上的最大正应力；(3)全梁的最大正应力；(4)已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。,2)计算应力,3)计算曲率半径,一、矩形截面梁横截面上的切应力,假设：,114对称弯曲切应力简介,横截面上剪力FS位于纵向对称轴上，,由切应力互等定理可知：,截面两侧边处的切应力方向应平行于侧边。,1.截面上各点切应力都与剪力平行；,2.距中性轴等距离处，切应力沿宽度均布。,当h/b1时与实际情况较接近。,在以上假设的基础上分析得切应力的计算公式为：,矩形截面：高h，宽b，hb。,即切应力沿截面高度呈抛物线分布。,Sz(w)：为所求切应力处以外图形面积w对z轴的静矩。,在中性轴上：y=0，,在上、下表层：y=h/2，t=0；,可知：,t方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h呈抛物线分布。tmax：为平均切应力的1.5倍。,二、工字形截面梁横截面上的切应力,切应力仍可用矩形截面时公式计算：,腹板上切应力：,腹板为矩形：hd,腹板上切应力的分布与矩形截面相同。,工字形截面：由中间腹板和上下两块翼板组成。,Sz(w)：为所求切应力处以外图形面积w对z轴的静矩。,求得Sz(w)后代入上式得腹板上切应力的计算公式为：,即腹板上切应力沿腹板高度呈抛物线分布。,在中性轴上：y=0，,在腹板与翼板交接处，y=h/2，,对工字型钢：,式中,翼板上切应力：,可查型钢求得。,在翼板上还存在垂直方向的切应力，数值很小，一般略去不计。,此外，在翼板上还有沿水平方向(z方向)的切应力存在，其推导方法和结果可参考有关资料。,三、弯曲正应力与弯曲切应力比较,最大弯曲正应力：,最大弯曲切应力：,当lh时，smaxtmax,对实心截面的细长梁，弯曲正应力是影响梁强度的主要因素。,115梁的强度条件,对一般梁，弯曲正应力和切应力的分布规律为：,横截面的中性轴处：有tmax，并且为纯剪切。,横截面的上下边缘处：有smax，并且为单向受拉(压)；,一、弯曲正应力强度条件,对一般梁，M=M(x)，作M图，确定Mmax，即危险截面，,s为弯曲时材料许用正应力。,则：,发生在横截面的上下边缘处，且为单向受拉(压)。,或：,弯曲正应力强度条件：,塑性材料：sc=st，,只需smaxst,脆性材料：scst，,应：,由强度条件可进行三方面强度计算：,1.强度校核：,2.设计截面：,smaxs,选择型钢时，若,则可选用。,3.确定许可载荷：,MmaxsWz,由MmaxF,二、弯曲切应力强度条件,一般对短梁(l5h)、组合截面腹板较薄(工字形、T形、槽形等)、抗剪切强度低(焊缝、胶合面、铆钉连接等)的场合要进行弯曲切应力强度校核。,弯曲切应力强度条件：,t为材料的许用切应力。,解：(1)作FS、M图,例5图示矩形截面木梁，已知b=0.12m，h=0.18m，l=3m，材料=7MPa，=0.9MPa。试校核梁的强度。,可知：FSmax=5400NMmax=4050Nm,(2)校核梁的强度,=6.25MPa,=0.375MPa,梁安全。,例6图示减速箱齿轮轴，已知F=70kN，d1=110mm，d2=100mm，材料=100MPa。试校核轴的强度。,12.25kNm,9.8,解：(1)作M图，确定危险截面,C截面：Mmax=12.25kNm，为危险截面,D截面：MD=9.8kNm，但其直径较小，也可能为危险截面。,(2)强度校核,C截面：,=93.9MPa,D截面：,=99.9MPa,|y1|,|sa|sd|即最大压应力为D截面上a点。,而最大拉应力为D截面上b点或B截面上c点，由计算确定。,stmax=33.6MPat,梁不安全。,(2)校核梁的强度,弯曲正应力是决定梁强度的主要因素，,116梁的合理强度设计,是设计梁的主要依据。,要使smax，则应使Mmax、Wz,一、合理安排梁的载荷及支座,目的：使Mmax,如：合理安排载荷,Mmax=0.25Fl,Mmax=0.167Fl,Mmax=0.125ql2,Mmax=0.025ql2,如：合理安排支座,二、梁的合理截面形状,MmaxsWz,即梁所能承受的弯矩Mmax与Wz成正比，Wz越大越有利；,另外，梁所用材料的多少和重量的大小与横截面面积A成正比，面积越小，材料越少，重量越轻，越经济。,梁的合理截面形状应为：A较小而Wz较大。,如：矩形截面，高h，宽b，hb,实际中矩形截面梁均为竖放。,竖放时：,平放时：,即矩形截面梁竖放比平放具有更高的弯曲强度。,若：h:b=3:2时，竖放时强度比平放时强度高50%。,根据弯曲正应力的分布规律：,离中性轴愈远，正应力愈大；靠近中性轴处，正应力很小。,因此靠近中性轴处的材料工作时未充分发挥作用。,如：矩形截面改为工字形截面，可提高Wz,所以应将尽可能多的材料配置在远离中性轴处的部位。,其他如箱形截面、T形截面、槽形截面等都可提高Wz。,一般可用Wz/A来评价梁截面形状的合理性和经济性。,若Wz/A较大，则表示梁截面形状较为合理性，较为经济。,矩形截面：,可知：矩形截面较圆形截面更为合理。,圆形截面：设直径d=h,工字钢、槽钢：,此外在考虑梁的合理截面形状时，还应考虑到材料的力学性能。,对t=c的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，,此时有：tmax=cmax=比较合理。,如T形截面，并使中性轴偏向于强度较弱的一边。,对tc的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面，,tmax=t，cmax=c,设计时应有：,由：,即：,可使最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。,对钢筋混凝土梁，应将钢筋置于梁中较大拉应力处。,三、等强度梁的概念,一般M=M(x),若在A-A处再开一缺口，使截面对称，则成